《抛物线的简单几何性质37》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线的简单几何性质37（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高二文科班数学课堂学习单高二文科班数学课堂学习单 37 班级班级 姓名姓名 小组小组 23.2 第一课时 抛物线的简单几何性质一，学习目标一，学习目标: 1、 理解抛物线的几何性质 2、能用几何性质解决简单的问题 二，自学导航自学导航：p-p例 1 已知顶点在原点，以 x 轴为对称轴，且过焦点垂直于 x 轴的弦 AB 的长为 8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程小结：求抛物线的标准方程步骤：（1）定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；（2）定量，即求出方程中 p 的值，从而求出方程例 2已知 A、B 是抛物线 y22px(p0)上两点，O 为坐标原点，若|OA|OB|，且OA
2、OB，求|AB|的值例 3 过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则 AB 的中点 M 到抛物线准线的距离为_小结：抛物线 y22px(p0)的过焦点的弦长|AB|x1x2p，其中 x1，x2分别是点A、B 横坐标的绝对值；焦半径|OB|= x1；通径为 2p;抛物线 x22py(p0)的过焦点的2p弦长|AB|y1y2p，其中 y1，y2分别是点 A、B 纵坐标的绝对值；焦半径|OB|= y1；2p通径为 2p4，我生成的问题：我生成的问题：三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、易错点三，我的收获：本节课的知识结构、学到的方法、
3、易错点四，课堂检测：四，课堂检测：1已知点 A，B 为抛物线 y x2上的动点，且|AB|a(a 为常数且 a4)，求 AB 的中14点 P 到 x 轴的最近距离2过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)、B(x2，y2)，如果 x1x26，求|AB|的值3顶点在原点，焦点为 F( ，0)的抛物线的标准方程是( )32Ay2 x By23x Cy26x Dy26x324P 为抛物线 y22px(p0)上任意一点，F 为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y 轴的位置关系为( )A相交 B相离 C相切 D不确定5(2011北京高考)已知点 A(0,2)，B(2,0)若点 C
4、 在函数 yx2的图像上，则使得ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( )A4 B3 C2 D16已知过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A、B 两点，|AF|2，则|BF|_.7抛物线 y2x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_8抛物线的顶点在原点，以 x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为 135的直线被抛物线所截得的弦长为 8，试求抛物线方程五，作业五，作业一、选择题1设抛物线的焦点到顶点的距离为 3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是( )A(6，) B6，)C(3，) D3，)解析：抛物线的焦点到顶点的距离为 3， 3，即 p6.p2又抛物线上的点到准线的距离
5、的最小值为 ，p2抛物线上的点到准线的距离的取值范围为3，)答案：D2(2011辽宁高考)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( )A. B134C. D.5474解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段 AB 中点到 y 轴的距离为： (|AF|BF|) .1214321454答案：C3.如图，已知点 Q(2，0)及抛物线 y上的动点 P(x，y)，则 y|PQ|的最小值是( )2x24A2 B3C4 D22解析：如图所示，过 P 作 PM 垂直准线于点 M，则由抛物线的定义可知 y|PQ|PM|1|PQ
6、|PF|PQ|1，当且仅当 P、F、Q 三点共线时，|PF|PQ|最小，最小值为|QF|3.2 202012故 y|PQ|的最小值为 312.答案：A4(2011山东高考)设 M(x0，y0)为抛物线 C：x28y 上一点，F 为抛物线 C 的焦点，以 F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线 C 的准线相交，则 y0的取值范围是( )A(0,2) B0,2C(2，) D2，)解析：圆心到抛物线准线的距离为 p，即 4，根据已知只要|FM|4 即可根据抛物线定义，|FM|y02，由 y024，解得 y02，故 y0的取值范围是(2，)答案：C二、填空题5设 P 是抛物线 y24x 上任意一点，设
7、 A(3,0)，则|PA|的最小值为_解析：设 P 的坐标为(x，y)，则 y24x，x0|PA|2(x3)2y2x26x94xx22x9(x1)28.当 x1 时，|PA|最小为 2.2答案：226已知点(2，y)在抛物线 y24x 上，则 P 点到抛物线焦点 F 的距离为_解析：点 P(2，y)在抛物线 y24x 上，点 P 到焦点 F 的距离等于 P 点到准线 x1 的距离，点 P 到准线距离为 3，P 点到焦点的距离也为 3.答案：37对于抛物线 y24x 上任意一点 Q，点 P(a,0)都满足|PQ|a|，则 a 的取值范围是_解析：设点 Q 的坐标为(，y0)y2 04由|PQ|a
8、|，得|PQ|2a2，即 y (a)2a2，2 0y2 04整理，得 y (y 168a)0.2 0 2 0y 0，y 168a0.即 a2恒成立2 02 0y2 08而 2的最小值为 2.y2 08a2.答案：(，28已知顶点与原点 O 重合，准线为直线 x 的抛物线上有两点 A(x1，y1)和14B(x2，y2)，若 y1y21，则AOB 的大小是_解析：由已知得抛物线方程为 y2x，因此x1x2y1y2y y y1y2(1)2(1)0.OAu uu u u u r r OBu uu uu u r r2 1 2 2.AOB90.OAu uu u u u r r OBu uu uu u r
9、r答案：90三、解答题9过定点 A(2，1)，倾斜角为 45的直线与抛物线 yax2交于 B、C，且|BC|是|AB|、|AC|的等比中项，求抛物线方程解：设 A(2，1)、B(x1，y1)、C(x2，y2)在 x 轴上的射影分别为 A(2,0)、B(x1,0)、C(x2,0)|BC|2|AB|AC|，|BC|2|AB|AC|.于是有|x1x2|2(x12)(x22)直线 AC 的方程为 yx1.代入 yax2并整理得 ax2x10.x1x2 ，x1x2 1a1a把代入得，a1 或 a .14当 a1 时，方程 ax2x10 根的判别式 0；当 a 时，0，B、C 重合，不合题意，舍去14抛物
10、线方程为 yx2.10.已知直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于A、B 两点(1)若|AF|4，求点 A 的坐标；(2)求线段 AB 的长的最小值解：由 y24x，得 p2，其准线方程为 x1，焦点 F(1,0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)分别过 A、B 作准线的垂线，垂足为 A、B.(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1 ，p2从而 x1413.代入 y24x，解得 y12.3点 A 的坐标为(3,2)或(3，2)33(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)与抛物线方程联立Error!消去 y，整理得 k2x2(2k24)xk20，
11、因为直线与抛物线相交于 A、B 两点，则 k0，并设其两根为 x1，x2，则 x1x22.4k2由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.4k2当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，与抛物线相交于 A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，所以，|AB|4，即线段 AB 的长的最小值为 4.抛物线的几何性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图像焦点F( ，0)p2F( ，0)p2F(0， )p2F(0， )p2准线 xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x 轴y 轴顶点O(0,0)离心率e1性质开
12、口方向向右向左向上向下小问题大思维1抛物线 y22px(p0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示：有一条对称轴，即 x 轴，不是中心对称图形2抛物线上一点与焦点 F 的连线的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦，若 P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦半径|PF|PF|_|PF|_|PF|_|PF|_焦点弦|AB|AB|_|AB|_|AB|_|AB|_提示：x0 x0 y0 y0 p2p2p2p2x1x2
13、p px1x2 y1y2p py1y21求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线是 y4；(2)顶点在原点，通过点(，6)，且以坐标轴为对称轴3解：(1)顶点在原点，准线是 y4 的抛物线的标准方程可设为 x22py(p0)因为准线是 y4，所以 p8.因此，所求抛物线的标准方程是 x216y.(2)若 x 轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为 y22px，因为点(，6)在抛物3线上，所以(6)22p，解得 2p12，故所求抛物线的标准方程为 y212x.333若 y 轴是抛物线的轴，同理可得抛物线的标准方程为 x2 y.12例 2 已知 A、B 是抛物线 y22px(p0)
14、上两点，O 为坐标原点，若|OA|OB|，且AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线 AB 的方程自主解答 |OA|OB|，设 A、B 坐标分别为 A(x0，y0)、B(x0，y0)AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点 F，kFAkOB1，即()1，y0x0p2y0x0y x0(x0 )2px0(x00，p0)2 0p2x0 p.直线 AB 的方程为 x p.5252研一题4.抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴证明直线 AC 经过原点 O.证明 法一：设直线 AB 的方程为 xmy ，p2A(x1，y1)，B(x2，y2)，C( ，y2)p2由Error!Error!得 y22pmyp20，y1y2p2.kOA，kOCy1x1y2p22y2pkOA.2p2y1p2py1y2 1x1y1y
