高中数学 函数概念的历史发展

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1、函数概念的历史发展众所周知，函数是数学中一个重要概念，它几乎渗透到每一个数学 分支，因此考察函数概念的发展历史及其演变过程，无疑有助于我们 学生更深刻、更全面地理解函数的本职，并且从中得到有益的方法论 启示。1 函数概念的产生阶段变量说马克思曾认为，函数概念是源于代数中自罗马时代就已经开始的不 定方程的研究，那时，伟大的数学家丢番图对不定方程的研究已有相 当程度，据此，可以认为函数概念至少在那时已经萌芽。实际上作为 变量和函数的朴素概念，几乎和数学源于同一时期，因为数学家在研 究物体的大小及位置关系时，自然会导致通常称为函数关系的那种从 属关系。但是，真正导致函数概念得以迅速发展则是在 16

2、世纪以后， 特别是由于微积分的建立，伴随这一学科的产生、发展和完善，函数 概念也经历了产生、发展和完善的演变过程。哥白尼的天文学革命以后，运动成为文艺复兴时期科学家共同感兴 趣的问题，到了 16 世纪，对于运动的研究已变成自然科学的中心问题。 在这一时期，函数概念在不同科学家那里有着不同形式的描述。在伽 利略的两门新科学一书中，几乎从头到尾包含着函数的思想，他 用文字和比例的语言表述函数关系。例如，他提出：“两个等体积圆 柱体的面积之比，等于它们高度之比的平方根。”“两个侧面积相等 的正圆柱，其体积之比等于它们高度之比的反比。”他又说：“从静 止状态开始以定常加速度下降的物体，其经过的距离与所

3、用时间的平 方成正比。”这些描述非常清楚地表明伽利略已涉及并讨论变量和函 数，但他并没有做出一般的抽象，并且也没有把文字叙述表示为符号 形式。几乎与此同时，许多数学家，如托里拆利、瓦里斯、笛卡儿、牛 顿、莱布尼兹等，从不同角度对函数进行了不同程度的研究.有的数学 家是把一些具体的函数看成曲线进行研究,尽管当时还没有建立实连续 的概念,但数学家却默认曲线都是连续的。托里拆利就曾对曲线 进行过研究；而瓦里斯在他的动学中研究过正弦曲线，0xaeyex并注意到了这一函数的周期性。麦尔先纳研究了旋轮线等等，总的来 讲，当时关于对数曲线和指数曲线的研究比较普遍。在解析几何产生 前后，人们除了已认识的代数曲

4、线外，还确定了相当多的超越曲线。 笛卡儿在其著作中提到了几何曲线与机械曲线的区别并由此引出代数 曲线(函数)和超越曲线(函数)的区别。到了 17 世纪，牛顿在创立微积分的过程中一直用“流量”一词来 表示变量之间的依赖关系，并且从运动的角度，把曲线看成是动点的 轨迹。他在求曲边形的面积中说：“我认为这里的数学量，不是 由小块合成的，而是由连续运动描出的，线(曲线)是描画出来的，因而 它的产生不是由于凑零为整，而是由于点的连续运动”格雷果里在 他的论文论圆和双曲线的求积中，给出函数这一模式的素朴描述 ，他定义函数是从一些其它的量经过一系列代数运算而得到的量，或 者是经过任何其它可以想象到的运算而得

5、到的。据他自己解释，这里 的“可以想象到的运算，除了加、减、乘、除和开方外，还有极限运 算。格雷果里给出的是函数的解析定义，由于此后不久就证明这一定 义太狭窄，也就逐渐被人们遗忘。 “函数“作为数学术语是由微积分的另一位创立者莱布尼兹于 1673 年引进的,他用“函数“一词表示任一个随着曲线上的点变动的量,并指出: “象曲线上点的横坐标、纵坐标、切线的长度、垂线的长度等,所有与曲 线上的点有关的量称为函数.“除此以外,他还引进了“常量”、 变量”和“参变量”等概念,一直沿用到现在,这个定义仅是在几何范 围内揭示某些量之问所存在的依赖关系,并无给出函数的解析定义,因此, 莱布尼兹所给出的函数的定

6、义可看成是“函数概念的几何起源“。 总之，到了 17 世纪末，人们还没有从普遍意义上对函数这一概念 的本质认识清楚。 2 函数概念的发展阶段对应说 正如所知,微积分是一门研究变量和函数的学科。尽管牛顿和莱布 尼兹创立了微积分，但由于他们对包括函数在内的一些基本概念，特 别是对微积分赖以建立的基础一无穷小量的认识含混不清，出现了运 算过程中的逻辑矛盾，导致了数学发展史上所谓的第二次数学危机。 从而促使了数学家进一步寻找微积分可靠的基础，在这艰苦的探索过 程中，函数自然也就成为数学家必须研究的对象。 第一个在莱布尼兹工作的基础上作出函数概念推广的是约翰贝 努里，他指出：在这里，一个变量的函数是指由

7、这个变量和常数以任 意一种方式构成的量。在符号方面，约翰贝努里利用 x 或心表示一 般的 x 的函数，但到了 1718 年，他又改为中 x。约翰贝努里在函数 概念中所说的任意的方式，包括代数式子和超越式子。 数学家欧拉首先以函数的概念表示以及研究函数的无限过程建立 一个与几何学和代数学相独立存在的分支一分析学，他在无穷小分 析引论(以下简称引论)中，函数概念起着重要而又明确的作用，欧拉是把函数而不是把曲线作为主要研究对象的，他第一个把对数作 为指数、把三角函数作为数值之比而不是作为一些线段进行系统论述 的，并且指出了显函数与隐函数、单值函数与多值函数、一元函数与 多元函数之间的区别，引进了现用

8、的函数符号 f(x)。欧拉把约翰贝努 里给出的函数的定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和 超越函数，同时指出前者只有自变量问的代数运算，后者指三角函数、 对数函数、指数函数以及变量的无理数幂所表示的函数。在引 论中，欧拉把指数函数和对数函数分别定义为：，nnx nxe)1 (lim ) 1(log1 limnnxnx他还详细地讨论了指数函数、对数函数以及三角函数的展开式，并搞 清了三角函数的周期性，引入了三角函数符号和角弧度。除了上述所 讨论的各种函数外，欧拉还考虑了“表示任意地画出的曲线的函数”， 并称之为“随意函数”，众所周知，连续函数所表示的曲线与 xfy y 轴平行的两直线及

9、 x 轴所围成图形的面积 S(x)，可用 f(x) 定积分 来表示，但 S(x) 却未必只由 x 和常数 C 经过算术、三角、对dttfxa)( 数和指数运算而得到的函数来表示。从而函数概念由微积分得到进一 步扩展。不难看出，欧拉给出的函数的定义比约翰贝努里的定义更 普遍、更具有广泛意义。欧拉给出的定义是 一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的 解折表达式。 除此之外，欧拉还规定一个给定的函数在它的整个“定义域”内 是由同样一个“解析表达式“来描述的，这种观点在数学家拉格朗日的 著作中也有所体现,如在他的名著解析函数论中,他把函数定义为在 其中可以按任何形式出现并对计算有用的

10、表达式。他在函数计算教 程中说：“函数代表着要得到未知量的值而对已知量要完成的那些 不同运算，未知量的值本质上只是计算的最终结果。也就是说，函数 是运算的一个组合。”尽管后来由于欧拉、达朗贝尔和丹尼尔贝努 里在偏微分方程的研究中发现：整条曲线并不能用一个方程来表示， 这迫使数学家修正函数的概念，但到了 18 世纪，甚至 19 世纪初，函 数由一个解析式给出的观点仍然占统治地位，并认为连续曲线给出的 连续函数一定能由一个解析表达式表示，由不连续的曲线或折线所表 示的函数不可能由一个解析式表示。由于受到多项式函数的影响，即若对于 n+ 1 个 x 的值 多项式与011 1axaxaxan nn n

11、 L011 1bxbxbxbn nn n L 都相等，则这两个多项式相等。人们普遍认为，对区间上的一切值，ba， 恒有相同函数值的两个函数是完全相同的，而对以外的 x 值，这两ba， 个函数的值也相等。与此类似，由于受到三角函数特性的影响，许多数学家认为，只 有周期性的曲线才能用周期函数来表示。在这一时期，既没有得到任 何广泛采用的定义，也没有解决什么样的函数可用三角级数来表示， 所有这些表明，函数的概念还有待于继续发展。 1800 年前后，数学家开始关心分析的严密化问题，函数概念自然 也成为严密化的对象。具体地表现在两个方面：一方面对原来有关函 数的错误看法和片面的观点进行橙清纠正；另一方面

12、继续探讨函数概 念的本质，建立含义更广泛的函数概念第一个冲破用解析式给出函数 的观点是拉克鲁瓦，他在 1797 年给出的函数的定义是 每一个量，如果它依赖一个或几个别的量，不管人们知道不知道 用何种必要的运算可以得到前者，就称前者为这个或这些量的函数。 拉克鲁瓦还以五次方程的根是系数的函数为例给出相应的说明， 这无疑对函数的概念又作出一次扩展。 在这一时期，傅里叶对函数概念的发展做出了巨大的贡献，尽管 他也支持用解析式给出函数的观点，但他更深刻地揭示了函数的本质， 他在 1807 年发表的题为热的分析理论的论文中，证明了“由不连 续的曲线给出的函数，能用一个三角函数式来表示”。通过实例分析，

13、傅里叶指出不连续函数可用一个式子，或者可用多个式子来表 示，这就否定了“不连续函数不可能用一个解析式来表示”的观点。 傅里叶通过实例指出“在某一区问上恒有相同函数值的两个函数是完 全相同的”这一观点的错误。根据傅里叶的研究，不仅周期函数，而 且任意连续函数 f(x) 在-的范围内都可用正弦函数、余弦函数 x 这样的周期函数来表示，甚至不能用解析式给出的函数都可用三角级 数来表示，这个观点非常重要，它动摇了 18 世纪关于分段连续函数的 观念。 柯西于 1823 年分别给出了变量和函数的定义，指出“人们把依次 取许多互不相同的值的量叫做变量。”“当变量之网这样联系起来的 时候，即给定了这些变量中

14、的一个值，就可以决定所有其它变量的值 的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表示的，这时这个量 就取名为自变量，而由这自变量表示的其它的量就叫做这个自变量的函数。”按照此定义，不管 y 是用一个式子还是用多个式子表示，只 要对每个 x 的值，有完全确定的 y 值与它对应，y 就是 x 的函数。柯西 当时非常清楚无穷级数是规定函数的一种方法，但函数未必受到解析 式的约束，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这仍 然是一个很大的限制。 突破这一限制的是杰出数学家狄利克雷，他给出函数数的定义是 若对 x 的每一个值，有完全确定的 y 值与之对应，不管建立起的 这种对应方式如何，都称 y

15、 是 x 的函数。 由这个定义不难看出，狄利克雷是用对应的观点给出函数定义的， 至于自变量之阿的联结方式如何，即 y 是按照一种或多种规律依赖于 x，或者 y 依赖于 x 是否可用数学运算表示，这是无关紧要的。并且他 还构造一个以他自己名字命名的著名的狄利克雷函数 a x 为有理数 f(x)=a、b 为不同的常数bX 为无理数为无理数上述对应的思想是数学开始由过去研究的“算”到以后研究“观 念”性质和结构的转变的标志，具有重要的理论意义。 随后的斯铎克斯、罗巴切夫斯基、黎曼等都分别给出了函数的定 义。例如，黎曼于 1851 年给出这样一个定义： 我们假定 z 是一个变量，它可以逐次取所有可能的

16、实数值。若对 它的每个值都有未定量 w 的唯一的一个值与之对应，则 w 称为 y 的函 数. 黎曼指出，这个定义完全没有规定在单个的函数值之间存在一种 规律，此时，如果函数在某个区问已有定义，它在该区问外的延拓方 式是完全任意的，人们所定义的量 w 对量 z 的依赖关系是任意给定的 或是由量的某种运算所确定并没有什么差异。 总之，从 18 世纪前后开始，经过许多数学家的不断探索和研究函 数概念有了长足的发展。但至少到 19 世纪前半期，关于函数概念的叙 述仍是不一致的，比如，当时一些最好的教科书，有的沿用 18 世纪函 数解析式的定义，有的利用近似黎曼的定义等等。因此函数的概念仍 需进一步完善。 3 函数概念的完善阶段关系说 在分析严格化的过程中，集合论的思想逐渐形成。皮亚诺发展了 无穷悖论标志他第一个朝着建立集合的明确理论的方向迈出积极 步伐的人。后来的康托尔对集合的概念、性质以及集合与集合之问的关系进行了一系列的系统研究，从而建立起具有