解三角形个性化辅导教案

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1、 个性化辅导教案个性化辅导教案学习中心：学习中心： 授课老师：授课老师：学生姓名学生姓名学生性别学生性别填写时间填写时间学科学科数学数学年级年级高一高一教材版本教材版本必修四必修四课题名称课题名称解三角形解三角形课时计划课时计划（全程或具体时间）（全程或具体时间）第（ ）课时 共（ ）课时授课时间授课时间教学过程教学过程一一 【课标要求课标要求】 （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简 单的三角形度量问题； （2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。二二 【命题走向命题走向】 对本讲内容的考察主要涉及三角形的

2、边角转化、三角形形状的判断、三角形内三角函数的求值 以及三角恒等式的证明问题，立体几何体的空间角以及解析几何中的有关角等问题。今后高考的命 题会以正弦定理、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际应用问题考察正弦定理、 余弦定理及应用。题型一般为选择题、填空题，也可能是中、难度的解答题 三三 【要点精讲要点精讲】 1直角三角形中各元素间的关系： 如图，在ABC 中，C90， ABc，ACb，BCa。 （1）三边之间的关系：a2b2c2。 （勾股定理） （2）锐角之间的关系：AB90； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosB，cosAsinB，tanA。ca cb b

3、a2斜三角形中各元素间的关系： 如图 6-29，在ABC 中，A、B、C 为其内角，a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。 （1）三角形内角和：ABC。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。RCc Bb Aa2sinsinsin（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍 a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。 3三角形的面积公式：（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示 a、b、c 上的高） ；21 21 21（2）absinCbcsi

4、nAacsinB；21 21 21（3）；Rabc 4（4）；)()(csbsass )(21cbas4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个 是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中 线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形： 若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三 角形 解斜三角形的主要依据是： 设ABC 的三边为 a、b、c，对应的三个角为 A、B、C。 （1）角与角关系：A+B+C = ； （2）边与边关系：a

5、+ b c，b + c a，c + a b，ab b； （3）边与角关系：正弦定理 （R 为外接圆半径） ；RCc Bb Aa2sinsinsin余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA，。ba BAsinsin bcacbA2cos2225三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在ABC 中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。；2s

6、in2cos,2cos2sinCBACBA（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。（3）在ABC 中，熟记并会证明：A，B，C 成等差数列的充分必要条件是B=60； ABC 是正三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列。 四四 【典例解析典例解析】 题型 1：正、余弦定理（岳阳一中第四次月考）.已知ABC中，ABauuu rr ，ACbuuu rr ，0a br r ，15 4ABCS，3,5abrr ，则BAC（ ） A. 30o B 150o C0150 D 30o或0150答案 C例 1 （1）在AB

7、C 中，已知，求 b 及 A；2 3a62c060B（2）在ABC 中，已知，解三角形134.6acm87.8bcm161.7ccm解析：（1）2222cosbacacB=cos22(2 3)( 62)2 2 3 ( 62) 045=212 ( 62)4 3( 3 1)=82 2.b求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：A解法一：cos222222(2 2)( 62 )(2 3)1, 222 2 2 ( 62)bcaAbc060 .A解法二：sin02 3sinsin45 ,2 2aABb又，即622.4 1.4 3.8,2 32 1.8 3.6,ac00A090 ,060 .A （2）由余

8、弦定理的推论得：cos2222bcaAbc22287.8161.7134.6 2 87.8 161.70.5543,；056 20Acos2222cabBca222134.6161.787.8 2 134.6 161.70.8398,；032 53B0000180() 180(56 2032 53)CA B090 47. 点评：应用余弦定理时解法二应注意确定 A 的取值范围。 题型 2：三角形面积例 2在中，求的值和的面积。ABCsincosAA2 2AC 2AB 3AtanABC解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinooQAAAA又,

9、0180ooA4560 ,105 .AAooo,13tantan(4560 )2313A oo.46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinoooooooA。SACABAABC1 21 22326 43 426sin()解法二：由计算它的对偶关系式的值。sincosAAsincosAAQ sincosAA2 2. 0cos, 0sin,1800 21cossin221)cos(sin2AAAAAAAooQ,23cossin21)cos(sin2AAAAQsincosAA6 2 + 得 。sin A 26 4 得 。cos A 26 4从而 。sin264t

10、an23cos426AAA 以下解法略去。 点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力， 是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？例 3 （湖南卷文）在锐角ABC中，1,2 ,BCBA则cosAC A的值等于 ，AC的取值范围为 . 答案 2)3,2( 解析 设,2 .AB由正弦定理得,12.sin2sin2coscosACBCACAC 由锐角ABC得0290045oooo，又01803903060ooooo，故233045cos22oo，2cos( 2, 3).AC例 4 （浙江理） （本题满分 14 分）在ABC中，角, ,

11、A B C所对的边分别为, ,a b c，且满足2 5cos25A，3AB ACuuu r uuu r （I）求ABC的面积； （II）若6bc，求a的值解 （1）因为2 5cos25A，234cos2cos1,sin255AAA ，又由3AB ACuuu r uuu r得cos3,bcA 5bc，1sin22ABCSbcA （2）对于5bc ，又6bc，5,1bc 或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，2 5a 题型 3：三角形中求值问题例 5的三个内角为，求当 A 为何值时，取得最大值，ABCABC、cos2cos2BCA并求出这个最大值。解析：由 A+B+C=，得=

12、，所以有 cos =sin 。B + C 2 2A 2B + C 2A 2cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ ；B + C 2A 2A 2A 2A 21 23 2当 sin = ，即 A=时, cosA+2cos取得最大值为 。A 21 2 3B + C 23 2点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数 的性质求得结果。例 6 （浙江文） （本题满分 14 分）在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且满足2 5cos25A，3AB ACuuu r uuu r （I）求AB

13、C的面积； （II）若1c ，求a的值解（）531)552(212cos2cos22AA 又), 0(A，54cos1sin2AA，而353cos.bcAACABACAB，所以5bc，所以ABC的面积为：254521sin21Abc（）由（）知5bc，而1c，所以5b所以5232125cos222Abccba点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以 及倍角公式，考察应用、分析和计算能力 题型 4：三角形中的三角恒等变换问题 题型 5：正、余弦定理判断三角形形状 例 7在ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直

14、角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 答案：C 解析：2sinAcosBsin（AB）sin（AB）又2sinAcosBsinC，sin（AB）0，AB 点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向， 通畅解题途径例 8 （四川卷文）在ABC中，AB、为锐角，角ABC、所对的边分别为abc、，且510sin,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、的值。 解（I）AB、为锐角，510sin,sin510AB 222 53 10cos1 sin,cos1 sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB 0AB 4AB （II）由（I）知3 4C， 2sin2C 由sinsinsinabc ABC得5102abc，即2 ,5ab cb又 21ab 221bb