《武汉理工大学--矩阵论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《武汉理工大学--矩阵论（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、矩阵论武汉理工大学数学系 周树民E-Mail：Tel：027-87651827绪绪 论论一、线性代数课程的延伸一、线性代数课程的延伸二、讲授的内容二、讲授的内容1. 1. 线线性空性空间间 2. 2. 矩矩阵阵与与 Jordan 标标准形准形 3. 3. 矩矩阵阵分析与矩分析与矩阵阵函数函数 4. 矩矩阵阵微分方程微分方程三、参考教材三、参考教材矩阵论及其应用（黄有度等）中国科技大学出版社出版（2002 年）第一章第一章 线性空间线性空间空间=集合+结构1 1、数域、数域数域 P（1）至少有一个非零元；（2）有单位元；（3）非零元有逆；（4）可交换。 注：实数域 R，复数域 C2 2、运算、运
2、算加法满足 4 条数乘满足 4 条3 3、线性空间、线性空间线性（向量）空间=集合+闭运算（加法、数乘）加法，数乘线性空间的例：集合在数域上的元数组的全体，运算为向量的加法和数乘。nPPnT nxxx,21L：集合=复数域，运算为数的加法和数乘。nCPC：集合=实数域，运算为数的加法和数乘。nRPR非空集V 集合数域线性空间非空集V 非空集V 非空集V数域P k非空集V k，运算为函数的加法与 ：集合为复数域上次数不超过的一元多项式全体nC xn数乘。，运算为矩阵的加法与数乘。：集合为复数域上的全体矩阵n nCm n在复数域上对加法和数乘不构成线性空间。|,0X AXb b4 4、线性空间的结
3、构、线性空间的结构维数维数=基向量的个数 注：（1）基不唯一；（2）维数唯一同 构 线性空间 V 线性空间 Uxyxyxx定理：任何 n 维线性空间 V 与向量空间同构。nP基变换12nV, L中的一组基12nV, L中的另一组基定理： Pnn,2121LL1212nn,x ,x ,x LL在基下的坐标基变换1212nn,x ,x ,x LL在另一组基下的坐标为线性空间基坐 标定理： nnxxxPxxxMM211215 5、线性子空间与分解、线性子空间与分解其内加法、乘法封闭 sS dim 无关VSdimdims,21LsS dim为子空间0、V交 和21VV 21VV 注：（1）)dim()
4、dim()dim()dim(212121VVVVVV（2）0)dim(0212121VVVVVV（3）VVVVVVV212121、6 6、内积空间、内积空间Smith对称性，线性性，正交性线性空间 V线性子空间 S生成子空间 sspanS,21L直和21VV 线性空间内积空间正交补空间正交分解内积正交正交基线性空间12VVV7 7、线性映射（算子）、线性映射（算子）线性映射（算子）TmnVV mmnnVV,2121LL的基，的基零变换 恒等变换在两组基下12nTA L下下下下下下下下下下下下1212 11kkTTABTATTABTA下下下下下下维线性空间nnV维线性空间mmV线性变换T线性变换
5、的运算ATmn,),(2121LLT nT nxxxAyyy,2121LL1212(,)(,)nnTA LL1212(,)(,)nnTB LLAPPB1 Pnn,2121LL8 8、不变线性子空间、不变线性子空间线性映射TnVTR)(9 9、特征值与特征向量、特征值与特征向量特征值AT下下下属于 的特征向量特征多项式： AIf特征方程： 0f特征根：n,21L )0(T)0(A)0(0A)0(0AI)0(0AI0 AI维线性空间nnV维线性空间mmV零子空间 TN零度( )dim( )null TN T象子空间)(TR不变子空间nWVW ,T()W下维数( )dim( ( )r TR T)di
6、m()()(nVTrTnull niinknhjihjiknjijinniinnniif1221121 11) 1() 1() 1(LLLLLknkknkAtr)() 1(0 niin nAAtrAtr1 211)(,L几何重数=0 0s 0dimV代数重数=为的重根数0 0t0 0f特征子空间 00( ),VTV 00ts 1212121122i(),dim innnnnTAVn LLLL第二章第二章 矩阵与矩阵与 Jordan 标准形标准形找使的次数最小( )m( )0f A 显然( )( )mf( ( )r A矩阵的秩( )Di行列式因子( )di不变因子初等因子()0fA 数值矩阵 A
7、矩阵的等价( )( ):ABSmith 标准形ni重特征值初等变换10 1 0i JordanJiO块Jordan 标准形tJJJO21JIAIJAAJIAIJ:( )fI A特征多项式( )( )( )( )1fmdnDn 最小多项式( )A 矩阵第三章第三章 矩阵分析与矩阵函数矩阵分析与矩阵函数1 1、矩阵数列、矩阵数列定义极限研究的问题运算法则数列nalimnna 收敛、发散线性、乘法、商矩阵数列( )nijAanlim(lim( )nijnnAan 收敛、发散线性、乘法、逆2 2、矩阵级数、矩阵级数定义部分和和研究的问题数列级数1n na 1nni isalimnnss 收敛、发散、和
8、矩阵级数11( )nij nnAan 1nni iSAlimnnSS 收敛、发散、和3 3、函数矩阵的极限、函数矩阵的极限定义运算法则函数( )f t 0lim( ) ttf t 加法、数乘、乘法函数矩阵( )A t 00lim( )(lim( ) ijttttA ta t加法、数乘、乘法4 4、函数矩阵的微分与积分、函数矩阵的微分与积分函数矩阵连续导数积分( )A t 00lim( )( ) ttA tA t ( )( )ijA ta t( )( ) )xxijaaA t dta t dt5 5、其他形式的微分、其他形式的微分数量函数对向量的导数 12(,)Tndffff dXxxxL数量函
9、数对矩阵的导数 ()ijdff dXx向量函数对向量的导数 ,TTdada dXdX()T T Tdada dXdX6 6、向量与矩阵的范数、向量与矩阵的范数7 7、矩阵函数、矩阵函数，0( )n n nfa0( )n n nf Aa A0AI数列级数收敛1n nami i na收敛收敛1n na1n na收敛半径为 R1n n na矩阵级数收敛1n nAmi i nA收敛收敛1n nA1n nA收敛半径为 R1n n na AV 线性空间赋范线性空间范数（正定性、齐次性、三角不等 式）范数等价F-范数A算子范数向量范数第四章第四章 矩阵微分方程矩阵微分方程1 1、线性定常系统的状态方程、线性
10、定常系统的状态方程2 2、线性时变系统的状态方程、线性时变系统的状态方程00dx( t )=Ax(t) dt x|xtt00dx( t )Ax( t ) Bu( t )dt x|xtt0() 0A t txex0000tA( t t )A( t t )txexeBu(t )dt( ) ( )dxA t x tdtx |= x0t=t0dx= A(t)x(t)dt00x |xt tdxA(t )x(t ) B(t )u(t )dt00( , )xt tx000( , )( , ) ( ) ( )ttxt t xt v B v u v dv001020000 0( , )( ( , ),( , ),( , )( , )( , )( ) ( , )nt ti it tt tt tt tt tIdt tA tt tdtL0( )0( , )ttA v dvt te矩阵论矩阵论矩阵论内容提要内容提要内容提要集合空间结构过渡矩阵基变换 坐标变换基 维数 坐标线性空间闭运算加法、数乘空间的同构子空间空间的分解内积空间正交基空间的正交分解内积线性映射线性变换映射矩阵函数矩阵极限级数导数积分入一矩阵Smith 标准形变换矩阵特征值、特征向量矩阵的相似性AJordan 标准形
