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1、1第第 3-4 讲讲 状态估计理论基础状态估计理论基础4.1 引引 言言在自动控制、航空航天、通讯、导航和工业生产等领域中，越来越多地遇到“估计估计”问题。所谓“估计”，简单地说，就是从观测数据中提取信息就是从观测数据中提取信息。例如，在做实验时，为了便于说明问题，常把实验结果用曲线的形式表示，需要根据观测数据来估计和描述该曲线的方程中的某些参数，这一过程叫做参数估计参数估计，这些被估计的参数都是随机变量随机变量。再举一个例子，在飞行器导航中，要从带有随机干扰的观测数据中，估计出飞行器的位置、速度、加速度等运动状态变量，2这就遇到状态变量的估计问题状态变量的估计问题，这些状态变量都是随机过程随
2、机过程。因此， “估计估计”的的任务任务就是从带有随机误差的观测数据中估计出某些参数或某些状态变量，这些被估参数或状态变量统称为被估量被估量。本讲主要讨论状态变量的估计问题，即状态估计。状态与系统相联系。而所谓状态估计，顾名思义，是对动态随机系统状态状态与系统相联系。而所谓状态估计，顾名思义，是对动态随机系统状态的估计。的估计。设有动态系统，已知其数学模型数学模型和有关随机向量的统计性质有关随机向量的统计性质。系统的状态估计问题，就是根据选定根据选定的估计准则和获得的量测信号，对系统的状态进行估计。其中状态方程状态方程确定了被估计的随机状态的向量过程。估计准则估计准则确定了状态3估计最优性的含
3、义，通过测量方程得到的测量信息，提供了提供了状态估计所必需的统计资料。随机过程的估计问题，是从 20 世纪 30 年代才积极开展起来的。主要成果为 1940 年美国学者维纳（Wiener N）所提出的在频域中设计统计最优滤波器的方法，称为维纳滤波维纳滤波。同一时期，苏联学者哥尔莫郭洛夫（.F）提出并初次解决了离散平稳随机序列离散平稳随机序列的预测和外推问题35。维纳滤波和哥尔莫郭洛夫滤波方法，局限于局限于处理平稳随机过程，并只能处理平稳随机过程，并只能提供稳态的最优估值提供稳态的最优估值。这一滤波方法在工程实践由于不具有实时性，实际应用受到很大限制！1960 年，美国学者卡尔曼(Kalman
4、R E)和布西（Bucy R S）提4出最优递推滤波方法，称为 Kalman 滤波滤波。这一滤波方法，考虑了被估量和观测值的统计特性，可用数字计算机来实现。Kalman 滤波滤波既适用于既适用于平稳随机过平稳随机过程程，又适用于又适用于非平稳随机过程非平稳随机过程，因此，因此，Kalman 滤波方法得到广泛的应用滤波方法得到广泛的应用！本讲共分九节，第二节介绍了 Kalman 滤波问题提出的背景；第三节是两个定理矩阵求逆引理和正交定理；第四节和第五节分解介绍了白噪声情况下Kalman 最优预测和 Kalman 最优滤波的基本方程；第六节讨论了最优平滑问题；第七节讨论了有色噪声情况的 Kalma
5、n 滤波问题；第八节将线性的卡尔曼最优估计问题推广到非线性的情形，得到了推广的 Kalman 滤波方法。第九节是小结。54.2 滤波问题的提出滤波问题的提出4.2.1 卡尔曼滤波问题的提法卡尔曼滤波问题的提法在许多实际控制过程中，例如，飞机或导弹在运动过程中，往往受到随机随机干扰干扰的作用。在这种情况下，线性控制过线性控制过程可用下式来表示(4.2.1)()()()()()()(tWtFtUtBtXtAtX&式中，为控制过程的 维状态向量；为 维控制向量；为均值为零)(tXn)(tUr)(tW的维白噪声向量；为矩阵；为矩阵；为矩阵。p)(tAnn)(tBrn)(tFpn在许多实际问题中，往往不
6、能直接得到不能直接得到形成最优控制规律所需的状态变量。如飞机或导弹的位置、速度等状态变量都是无法直接得到的，需要通过需要通过雷达或6其他测量装置进行观测进行观测，根据观测得到的信号来确定飞机或者导弹的状态变量。在雷达或别的测量装置中都存在都存在随机干扰的问题，因此，在观测得到的信号中往往夹杂有随机噪声。我们要从夹杂有随机噪声的观测信号中分离出飞机或导弹的运动状态变量。要想准确地得到所需状态变量是不可能的是不可能的，只能根据观测信号来估计或预测这些状态变量。根据估计或预测得到的状态变量来形成最优根据估计或预测得到的状态变量来形成最优控制规律控制规律。一般情况下，观测系统可用下述观测方程观测方程（
7、或测量方程）来表示(4.2.2)()()()()(tVtYtXtCtZ其中，为维观测值；为观测矩阵；为观测系统的系统误差)(tZm)(tCnm)(tY7（已知的非随机序列） ；为均值为零的白噪声)(tV在式(4.2.1)，(4.2.2)中假定，均为均值为零的白噪声向量。其统计)(tW)(tV性为(4.2.3) )()()()()()()()()()()()(ttSVtWEttRVtVEttQWtWETTT其中，是狄拉克函数，它具有性质)(t， tt0)t (1d )(tt式(3.2.2.3)式中是对称的非负定矩阵，是对称的正定矩阵。正定的物理正定的物理)(tQ)(tR8意义是意义是观测向量各分
8、量均附加有随机噪声。、可对 连续微分。)(tQ)(tRt我们的任务是我们的任务是在已知的初始状态的统计性，如：)(tX)(0tX期望期望:00)(mtXE协方差：协方差：)()()(00000TmtXmtXEtP的条件下，从观测信号中得到状态变量的最优估计值。)(tZ)(tX所谓最优估计，是指在某种准则下达最优，估计准则所谓最优估计，是指在某种准则下达最优，估计准则不同会导致不同不同会导致不同的估的估计方法。我们这里采用线性最小方差估计计方法。我们这里采用线性最小方差估计。线性最小方差估计可阐述如下线性最小方差估计可阐述如下：假定线性控制过程如(4.2.4)()()()()()()(tWtFt
9、UtBtXtAtX&9所示，观测方程如式(4.2.5)()()()()(tVtYtXtCtZ所示。从时刻开始进行观测，得观测值；现在已知内的观测值0t)(tZtt0，要求找出的最优线性估计， （这里，记号表示利用 时刻)(Z)(1tX)|(1ttXtt |1t以前的观测值来估计出 时刻的） 。)(Z 1t)(1tX最优线性估计包含以下几点意义：最优线性估计包含以下几点意义：1) 估计值是 ()的线性函数线性函数；)|(1ttX)(Z tt02) 估计值是无偏的无偏的，即；)()|(11tXEttXE3) 要求估计误差的方差阵为最小方差阵为最小，即)|()()|( 111ttXtXttX10mi
10、n)|()|(11ttXttXET4) 根据 和 的大小关系，估计问题可分成三类分成三类：1tt（1）称为预测（或外推）问题；tt 1（2）称为滤波（或估计）问题；tt 1（3）称为平滑（或内插）问题。tt 1比较起来，预测和滤波问题稍微简单些，平滑问题最为复杂。通常讲的Kalman 滤波指的是预测和滤波。114.2.2 连续系统的离散化过程连续系统的离散化过程在用计算机进行控制时，需要把连续系统离散化，需要把连续系统离散化，即把即把微分方程转微分方程转化为化为差差分方程分方程。设连续系统方程为(4.2.4)()()()()()()(tWtFtUtBtXtAtX&初始条件为。则利用常微分方程基
11、本理论常微分方程基本理论，可得线性非齐次方程可得线性非齐次方程00)(XtX(4.2.4)满足初始条件满足初始条件的解为的解为00)(XtX(4.2.6)dWFtdUBtXtttXtttt)()(),()()(),(),()(0000上式中， 是矩阵微分方程的解。),(tItttAtt),(),()(d),(d为矩阵，称为转移矩阵转移矩阵。),(tnn12下面从下面从(4.2.6)出发，求出相应的差分方程出发，求出相应的差分方程。假定等间隔采样，采样间隔 为常值。由(4.2.6)可得下式1kkttt(4.2.6)dWFtdUBtXtttXtttt)()(),()()(),(),()(0000d
12、WFtdUBttXtttXkkkkttkttkkkkk)()(),()()(),()(),()(11 1111 (4.2.7)在采样间隔内，认为认为保持常值，设为，据(4.2.7)1kkttt)(),(WU)(),(kktWtU式可得dtWFtdtUBttXtttXkttkkttkkkkkkkkk)()(),()()(),()(),()(11 1111 (4.2.8)即13(4.2.9)()(),()()(),()(),()(11 1111kttkkttkkkkktWdFttUdBttXtttXkkkk 令(4.2.10),()(),(111 kkttkttGdBtkk(4.2.9),()()
13、,(111 kkttkttdFtkk可得方程可得方程(4.2.4)的差分方程的差分方程(4.2.10)(),()(),()(),()(1111kkkkkkkkkktWtttUttGtXtttX如为维白噪声，则是为维白噪声序列。)(tWp)(ktWp观测方程观测方程(4.2.5)的差分方程为的差分方程为14(4.2.5)()()()()(tVtYtXtCtZ(4.2.11)()()()()(kkkkktVtYtXtCtZ为简便期间，差分方程(4.2.10)和(4.2.11)中，用 代表 ，则方程(4.2.10)和kkt(4.2.11)可分别简写为(4.2.12)(), 1()(), 1()(),
14、 1() 1(kWkkkUkkGkXkkkX(4.2.13)()()()()(kVkYkXkCkZ上式中(4.2.10)和(4.2.11)，都是白噪声序列，其统计特性如下)()(kVkW和jkkTjkkTjkkTSjVkWERjVkVEQjWkWEkVEkWE,)()()()()()(0)()(4.2.14)式中为克罗迪克 函数，其特性如下jk,15 jkjkjk, 0, 1,在(4.2.14)中，是对称的非负定矩阵(Why)，是对称的正定矩阵(Why)，kQkR和都是方差阵。正定正定的物理意义是观测向量各分量均附加有随机噪声。kQkR差分或离散化条件差分或离散化条件: 离散方式是普通的周期性
15、采样离散方式是普通的周期性采样。采样是等间隔的等间隔的，采样周期为 T；采样脉冲宽度远小于远小于采样周期，因而忽略不计忽略不计。 采样周期采样周期 T 的选择满足香农采样定理的选择满足香农采样定理，即离散函数可以完全复原为连续函数的条件为：或，其中为采样的角频率采样的角频率，为连续2sccT 2sTc函数频谱的上限角频率频谱的上限角频率。16 保持器为零阶保持器保持器为零阶保持器，即当时， (1)kTtkT )()(),()(kktWWtUU下面讨论、与、的关系。我们这里仅给出和关系式的推kQkR) t (Q)(tRkQ) t (Q导过程，和关系式的推导过程完全类似18。kR) t (R由于假定采样间隔很小，在采样间隔内，近似为常值，所以，有)(tW(4.2.15)ttWdttWkkttk1)()(由ttQdQdtdttQdtdWtWEdWdttWEkkkkkkkkkk
