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1、阿基米德三角形与三道高考阿基米德三角形与三道高考试题试题（山（山东东省滕州市第一中学省滕州市第一中学 邵明志邵明志 277500） ）题题 1（2005 年江西卷，理 22 题）：如图，设抛物线的焦点为 F，动点 P 在直线上运动，过 P 作抛物线2:xyC02: yxlC 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. （1）求APB 的重心 G 的轨迹方程. （2）证明PFA=PFB. 题题 2（2006 全国卷 II，理 21 题）： 已知抛物线 x24y 的焦点为 F，A、B 是抛物线上的两动点，且AF（0） 过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为FB（）证
2、明为定值；FM AB（）设ABM 的面积为 S，写出 Sf()的表达式，并求 S 的最小值 题题 3（2007 江苏卷，理 19 题）：如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线xOyy(0)Cc，相交于两点一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线2yxAB，xAB交于点: l yc PQ，（1）若，求的值；2OA OB uu u r uuu rgc（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；PABQA（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由 上述三道高考试题都涉及到抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又 常被称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近
3、的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的阿基米德三角形有许多有趣的性质，上述三题都2 3 是某些性质的体现，可以预见，今后围绕该三角形性质的高考试题还会出现，因此对该三角形的性 质作进一步的研究是必要的、有益的下面给出阿基米德三角形的一些有趣性质，证明时均以抛物线为例，且称弦 AB 为阿基米德三角形的底边，M 为底边 AB 的中点，下不赘述22ypx性质性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴证明：设，M 为弦 AB 中点，则过 A 的切线方程为，过11( ,)A x y22(,)
4、B xy11()y yp xxB 的切线方程为，联立方程组得22()y yp xxAB CPQO xylxyOABPFl11222 112 22()()22y yp xxy yp xxypxypx 解得两切线交点 Q(，)，进而可知x 轴.12 2y y p12 2yyQM此性质即为题 3 考查内容 性质性质 2 若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内定点 C，则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线 证明：设 Q(x，y)，由性质 1，x=，y=12 2y y p， 12 2yy122y ypx由 A、B、C 三点共线知，1012 222 121 0222yyyy yyyxppp 即，将 y=
5、22 1121020102yy yy xy xypy，代入得，即为12 2yy122y ypx00()y yp xx点的轨迹方程.Q性质性质 3 抛物线以 C 点为中点的弦平行于 Q 点的轨迹利用两式相减法易求得以 C 点为中点的弦的斜率为，因此该弦与 Q 点的轨迹即直线 平行0p yl性质性质 4 若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点ll证明：如上图，设 方程为，且，弦 AB 过点 C，l0axbyc11( ,)A x y22(,)B xy00(,)xy由性质 2 可知点的轨迹方程，该方程与表示同一条直线，对照可Q00()y yp xx0axbyc得，即弦
6、 AB 过定点 C（，）.00,cbpxyaa c abp a性质性质 5 底边长为 a 的阿基米德三角形的面积的最大值为28a p证明：|AB|=a，设 Q 到 AB 的距离为 d，由性质 1 知l=，设直线 AB 方程为：，则22 121212122|2244xxy yyyy ydQMppp2 12() 4yy pxmyn，即 S=ad.22 21(1)()amyy2 21()yy2ad 24a p1 228a p性质性质 6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 Q 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p证明：由性质 2，若底边过焦点，则，Q 点轨迹方程为即为准线；易验00,
7、02pxy2px 证，即 QAQB，故阿基米德三角形为直1QAQBkk 角三角形，且 Q 为直角顶点； |QM|=+=12 2xx2p22 12 4yy p 2p122| 4y y p2p+=，而22 4p p2pp121|()2QABSQMyyV12|QMy y2p性质 6 即为题 2 所涉及性质 性质性质 7 在阿基米德三角形中，QFA=QFB 证明：如图，作 AA准线，BB准线，连接 QA、QB、QF、AF、BF，则，显然1 FAykp ，FAQA，又|AA|=|AF|，由三角1FAQAkk 形全等可得QAA=QAF，QAAQAF， |QA|=|QF|，QAA=QFA，同理可证|QB|=
8、|QF|， QBB=QFB，|QA|=|QB|，即QAB=QBA QAA=QAB+900=QBA+900=QBB, QFA=QFB，结论得证 此性质即题 1 的结论，但原解答采用代数法相当 复杂，这里给出的几何法简洁明了 性质性质 8 在抛物线上任取一点 I（不与 A、B 重合） ，过 I 作抛物线切线角 QA、QB 于 S、T，则 QST 的垂心在准线上证明：设、，易求得过 B、I 的切线交点 T2 11(2,2)Aptpt2 22(2,2)Bptpt2 33(2,2)Iptpt，过 T 向 QA 引垂线，其方程为，它和抛物线准线2 323(2, ()pt tp tt1231 2 32()4
9、t xyp ttpt t t的交点纵坐标为 y =，显然这个纵坐标是关于对称的，因此从 S 点向1231 2 3()4p tttpt t t123, ,t t tQB 引垂线，从 Q 点向 ST 引垂线，它们与准线的 交点也是上述点，故结论得证 性质性质 9 |AF|BF|=|QF|2证明：|AF|BF|=12() ()22ppxx=+，21212()24ppx xxx212()2y y p22 12 4yy24p而|QF|2=+221212()()222y yyyp p212()2y y p+=|AF|BF|.22 12 4yy24p性质性质 10 QM 的中点 P 在抛物线上，且 P 处
10、的切线与 AB 平行证明：由性质 1 知 Q(，)，M12 2y y p12 2yy，易得 P 点坐标为1212(,)22xxyy，此点显然在抛物线上；2 1212()(,)82yyyy p过 P 的切线的斜率为=，121222pp yyyyABk结论得证 性质性质 11 在性质 8 中，连接 AI、BI，则ABI 的面积是QST 面积的 2 倍 证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即QAB、TBI、SAI；应用阿基米德三角形的性质： 弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的；设 BI 与抛物线所围面积为，AI 与抛物2 31S线所围面积为，AB 与抛物线所围面积为，则2
11、SS=1233 22ABIQABQSTSSSSSVVV=12333 222QSTSSSSV123()2QSTSSSSV，23 2ABIQSTSSVVABISVQSTSV性质性质 12 设，AQB=，则Q( ,)x y2( , )2f x yypx（1）2 QAQBpkKx（2） QAQBykKx（3）( ,)|QAQBf x ykKx（4）2( ,)| tan|2 |f x y xp（5）=222|( ,)( )ABf x yypp222( ,)(2 ) ( ,)fx yx ppf x yp（6）=QABSV3 21( ,)f x yp以上各结论的证明即是将 Q、A、B 三点的坐标代入进行检验，限于篇幅恕不赘述，详细可参看 文1 参考文献 1吴跃生再谈抛物线的阿基米德三角形的性质数学通讯，1999（8）
