学案39 数学归纳法

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1、学案学案 39 数学归纳法数学归纳法导学目标： 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题自主梳理 1归纳法 由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫归纳法根据推理过程中考查的对 象是涉及事物的全体或部分可分为_归纳法和_归纳法 2数学归纳法 设Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题_(或_) 成立；(2)在假设_成立的前提下，推出_也成立，那么可以断定Pn对一切正 整数成立 3数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值_时命题成立 (2)(归纳递推)假设_时命题成立，证明当_时命 题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从

2、n0开始的所有正整数 n 都成立 自我检测1用数学归纳法证明：“1aa2an1 (a1)”在验证 n1 时，左1an21a 端计算所得的项为( ) A1 B1a C1aa2 D1aa2a3 2如果命题 P(n)对于 nk (kN*)时成立，则它对 nk2 也成立，又若 P(n)对于 n2 时成立，则下列结论正确的是( ) AP(n)对所有正整数 n 成立 BP(n)对所有正偶数 n 成立 CP(n)对所有正奇数 n 成立 DP(n)对所有大于 1 的正整数 n 成立3(2011台州月考)证明1)，当 n2 时，中间式子n2212131412n 等于( )A1 B112C1 D1 1213121

3、314 4用数学归纳法证明“2nn21 对于 nn0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起 始值 n0应取( ) A2 B3 C5 D6 5用数学归纳法证明“n3(n1)3(n2)3 (nN*)能被 9 整除” ，要利用归纳假设证 nk1 时的情况，只需展开( ) A(k3)3 B(k2)3 C(k1)3 D(k1)3(k2)3探究点一 用数学归纳法证明等式 例 1 对于 nN*，用数学归纳法证明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1 n(n1)(n2)16变式迁移 1 (2011金华月考)用数学归纳法证明：对任意的 nN*,1 .12131412n112n1n11n212n探究点二 用

4、数学归纳法证明不等式例 2 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式(113)(115) (112n1)均成立2n12变式迁移 2 已知 m 为正整数，用数学归纳法证明：当 x1 时，(1x)m1mx.探究点三 用数学归纳法证明整除问题 例 3 用数学归纳法证明：当 nN*时，an1(a1)2n1能被 a2a1 整除变式迁移 3 用数学归纳法证明：当 n 为正整数时，f(n)32n28n9 能被 64 整除从特殊到一般的思想 例 (14 分)已知等差数列an的公差 d 大于 0，且 a2、a5是方程 x212x270 的两根，数列bn的前 n 项和为 Tn，且 Tn1 bn.12 (

5、1)求数列an、bn的通项公式；(2)设数列an的前 n 项和为 Sn，试比较与 Sn1的大小，并说明理由1bn 【答题模板】 解 (1)由已知得Error!，又an的公差大于 0，a5a2，a23，a59.d2，a11，a5a23933an1(n1)22n1.2 分Tn1 bn，b1 ，当 n2 时，Tn11 bn1，122312bnTnTn11 bn，12(112bn1)化简，得 bn bn1，4 分13bn是首项为 ，公比为 的等比数列，2313即 bn n1，23(13)23nan2n1，bn.6 分23n(2)Snnn2，Sn1(n1)2，.12n121bn3n2以下比较与 Sn1的

6、大小：1bn当 n1 时， ，S24，S5.1b32721b31b48121b4猜想：n4 时，Sn1.9 分1bn 下面用数学归纳法证明： 当 n4 时，已证假设当 nk (kN*，k4)时，Sk1，即(k1)2.10 分1bk3k2那么，nk1 时，33(k1)23k26k3(k24k4)1bk13k123k22k22k1(k1)12S(k1)1，nk1 时，Sn1也成立12 分1bn由可知 nN*，n4 时，Sn1都成立1bn综上所述，当 n1,2,3 时，Sn1.14 分1bn1bn 【突破思维障碍】 1归纳猜想证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和 存在性问题，本例

7、中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索 出一般规律 2数列是定义在 N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推 公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决 【易错点剖析】 1严格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取 两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础 2在进行 nk1 命题证明时，一定要用 nk 时的命题，没有用到该命题而推理证明 的方法不是数学归纳法1数学归纳法：先证明当 n 取第一个值 n0时命题成立，然后假设当 nk (kN*，kn0)时命题成立，并证明当 nk

8、1 时命题也成立，那么就证明了这个命题 成立这是因为第一步首先证明了 n 取第一个值 n0时，命题成立，这样假设就有了存 在的基础，至少 kn0时命题成立，由假设合理推证出 nk1 时命题也成立，这实质 上是证明了一种循环，如验证了 n01 成立，又证明了 nk1 也成立，这就一定有 n2 成立，n2 成立，则 n3 成立，n3 成立，则 n4 也成立，如此反复以至无穷， 对所有 nn0的整数就都成立了 2(1)第步验证 nn0使命题成立时 n0不一定是 1，是使命题成立的最小正整数 (2)第步证明 nk1 时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学 归纳法 (满分：75 分)一、

9、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时，xnyn能被 xy 整除” ，在第二步时， 正确的证法是( ) A假设 nk(kN*)时命题成立，证明 nk1 命题成立 B假设 nk(k 是正奇数)时命题成立，证明 nk1 命题成立C假设 n2k1 (kN*)时命题成立，证明 nk1 命题成立 D假设 nk(k 是正奇数)时命题成立，证明 nk2 命题成立2已知 f(n) ，则( )1n1n11n21n2Af(n)中共有 n 项，当 n2 时，f(2) 1213Bf(n)中共有 n1 项，当 n2 时，f(2) 121314Cf(n)中共有 n2n 项，当

10、n2 时，f(2) 1213Df(n)中共有 n2n1 项，当 n2 时，f(2) 121314 3如果命题 P(n)对 nk 成立，则它对 nk1 也成立，现已知 P(n)对 n4 不成立， 则下列结论正确的是( ) AP(n)对 nN*成立 BP(n)对 n4 且 nN*成立 CP(n)对 n的过程中，由1n11n21nn1324 nk 推导 nk1 时，不等式的左边增加的式子是_ 8凸 n 边形有 f(n)条对角线，凸 n1 边形有 f(n1)条对角线，则 f(n1)f(n) _. 三、解答题(共 38 分)9(12 分)用数学归纳法证明 1 1 n (nN*)n2121312n1210

11、(12 分)(2011新乡月考)数列an满足 an0，Sn (an)，求 S1，S2，猜想 Sn，并121an 用数学归纳法证明11(14 分)(2011郑州月考)已知函数 f(x)e(其中 e 为自然对数的底数)1x21|x| (1)判断 f(x)的奇偶性； (2)在(，0)上求函数 f(x)的极值；(3)用数学归纳法证明：当 x0 时，对任意正整数 n 都有 f( )521，n05. 5A 假设当 nk 时，原式能被 9 整除， 即 k3(k1)3(k2)3能被 9 整除 当 nk1 时，(k1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展 开，让其出现 k3即可 课堂

12、活动区 例 1 解题导引 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等 式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由 nk 到 nk1 时，等式的两边会增加多 少项，增加怎样的项 证明 设 f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)当 n1 时，左边1，右边1，等式成立； (2)假设当 nk (k1 且 kN*)时等式成立， 即 1k2(k1)3(k2)(k1)2k1 k(k1)(k2)，16 则当 nk1 时， f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)12(k1)1 f(k)123k(k1) k(k1)(k2) (k1)(k11)1612 (k1)(k2)

13、(k3)16 由(1)(2)可知当 nN*时等式都成立 变式迁移 1 证明 (1)当 n1 时，左边1 右边，1212111 等式成立 (2)假设当 nk (k1，kN*)时，等式成立，即1 12131412k112k.1k11k212k 则当 nk1 时，1 12131412k112k12k112k21k11k212k12k112k21k111k1212k12k1(1k112k2)，1k111k1212k12k112k1即当 nk1 时，等式也成立， 所以由(1)(2)知对任意的 nN*等式都成立 例 2 解题导引 用数学归纳法证明不等式问题时，从 nk 到 nk1 的推证过程中， 证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等证明 (1)当 n2 时，左边1 ；右边.134352 左边右边，不等式成立 (2)假设当 nk (k2，且 kN*)时不等式成立，即.(113)(115) (112k1)2k12 则当 nk1 时，(113)(115) (112k1)112k112k122k22k12k22 2k14k28k42 2k1.4k28k32 2k12k3 2k12 2k12k112 当 nk1 时，不等式也成立 由(1)(2)知，对于