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1、分院名称：学生学号：本科毕业论文（设计）本科毕业论文（设计）（理工类）题 目： 平方差型不定方程的解法 专 业： 数学与应用数学 作 者 姓 名： 指导教师姓名： 指导教师职称： 2011 年 5 月本科毕业论文（设计）II目 录承诺保证书承诺保证书1 1 不定方程及其解法简介不定方程及其解法简介 111.1 几类不定方程 11.1.1 一次不定方程 11.1.2 沛尔方程 21.1.3 勾股方程 21.1.4 不定方程 3ztxy 1.2 在数学竞赛中不定方程问题的类型 3 1.3 解决不定方程的常用方法 3 2 平方差型不定方程的解法平方差型不定方程的解法 4 42.1 质因子分析 4 2
2、.2 奇偶性分析 72.3 整数范围分析 92.4 运用二项式定理10参考文献参考文献 1414英文摘要英文摘要 1515本科毕业论文（设计）0平方差型不定方程的解法摘要：摘要：本文简析了不定方程的含义、几类不定方程的类型及在中学数学竞赛中不定方程问题的类型,并简单阐述了六种解不定方程的方法.文中着重介绍了平方差型不定方程，归纳总结了什么是平方差型不定方程，并通过实例讨论了平方差型不定方程在质因子分析、奇偶性分析、整数范围分析和运用二项式定理等方面的解法.关键词关键词：不定方程 平方差型 解法 不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容.古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类
3、方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一.不定方程的内容十分 丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系. 所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组.不定方程在经过了无数数学家的反复研究、解答以及证明后，终于总结出几类不定方程、不定方程的解法以及解答不定方程的解题技巧.在本文的第一部分将作简单的介绍，第二部分将着重分析不定方程中的一种-平方差型不定方程的解题方法.1 不定方程及其解法简介1.11.1 几类不定方程几类不定方程通常我们把不定方程分为一次不定方程、沛尔
4、方程、勾股方程)(pell、不定方程这四种. 222zyx1ztxy 1.1.1 一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 0, 0, 0bacbyax1本科毕业论文（设计）1通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理:定理一：不定方程为整数.有整数解的充要条件是.cbacbyax,cba,定理二：若为之一解，则方程全部解是，00, 1),(yxba且11btxx0（ 为整数）.atyy0t1.1.2 沛尔方程)(pell形如 的方程称为沛尔方程.能够122 dyx不是完全平方数，dNd证明它一定有无穷多组正整数解；又设为该方程的正整数解中使),(11
5、yx),(yx最小的解，则其全部正整数解由dyx （）给出. 111111111()() 2 1()() 2nn nnn nxxd yxd yyxd yxd yd 1,2,3,n L只要有解，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解.1),(11yx满足的关系 2nnyx , . 11()nnnxydxyd11211222nnnnnnxx xxyx yy 21.1.3 勾股方程222zyx这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足的解，此时易知1),(yx实际上两两互素.这种两两互素的正整数解称为方程的本原zyx,zyx,),(zyx解，也称为本原的勾股数.容易看出一奇一偶，无妨设为偶数，下面的结
6、yx,y 果勾股方程的全部本原解通解公式.定理三：方程满足，的全部正整数解可表为222zyx1),(yx2| y),(zyx2222,2,bazabybax 3其中是满足一奇一偶，且的任意整数.ba,baba, 01),(ba1.1.4 不定方程ztxy 这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：本科毕业论文（设计）2设，则,其中，故，azx),(adzacx,1),(dc1),(,dcdtcyadtacy因即所以.因此方程的正整数解可表示为bctbtyyd则设,|ztxy .,bctadzbdyacx其中都是正整数，且.反过，易知上述给出的都是解. dcba,1),(d
7、ctzyx,1.21.2 在数学竞赛中，不定方程问题的类型在数学竞赛中，不定方程问题的类型不定方程问题一般会分为三类即求不定方程的解、判断不定方程是否有解及判断不定方程解的数量（有限还是无限）.随着问题的不同解题的方法也就不同.1.31.3 解决不定方程问题的常用方法解决不定方程问题的常用方法解决不定方程的问题有很多种方法，下面就简单介绍一下因式分解法、估计法、同余法、构造法、无穷递降法、换元法这六种方法.1.3.1 因式分解法将方程的一边化为常数，作质因数分析，另一边含未知数的代数式也作因式分解.考虑各因式的取值情况，可将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有
8、可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解 .1.3.2 估计法先通过对所考察的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围，这是解不定方程的一个常用技巧.1.3.3 同余法如果不定方程有整数解，则对于任意，其整0,21nxxxF 4Nm数解 满足，利用这一条件，同余可nxxx,21 0,21nxxxFmmod以作为探究不定方程整数解的一块试金石 .利用同余关系解不定方程关键在于模的选择.一般而言，可考虑除数或除m数的因数、项的系数或幂的指数作为模.1.3.4 构造法在处理不定方程问题时，可根据题设的特点，构造出符合要求的特解，或本科毕业论文（设计）3构造
9、一个求解的递推式等.构造法常用来证明不定方程有解或者有无穷多组解.1.3.5 无穷递降法若关于正整数的命题对某些正整数成立，设是使成立的n np0n np最小正整数，可以推出：存在正整数，使得成立，适合证明不定方n1n 0n程无正整数解 .1.3.6 换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系） ，通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解目的 .2 平方差型不定方程一般来说，平方差型不定方程是指未知数在指数位置，并且可通过平方差公式将方程化简解决的不定方程.解决平方差型不定方程通常先选择适当的模数（或结合二项式定理）对其指数进行奇偶性分析，再因式分解.最后，通过对质因子的分
10、析来求解.下面就介绍在数学竞赛中常见的几类平方差型不定方程的解法.2.12.1 质因子分析质因子分析首先通过观察或计算方程得出方程的未知数的奇偶性，其次将式子变形分解，再将未知数替换成两个或两个以上的其他未知数，将方程分成两个简单的方程，最后讨论解得情况. 例 1 试求方程的全部正整数解.232xnm 5xnm,分析 为了分解方程创造条件，应先证明是偶数.是偶数这一232xnmmm事实，从原方程本身不易导出来.我们将原方程模 ，那么方程被化简，消去两3个未知量，进而易于产生某些结果.解 显然 与不同余，故3x3mod12x将方程模 ，得出232xnm3本科毕业论文（设计）4 3mod1321m
11、nm因此是偶数，设，将原方程变形为mkm2nkkxx322 6 2由及唯一分解定理推出正整数与都是（素数） 的方幂，但这两 2kx2kx23数的和是（注意 与不同余） ，故x23x12,2kkxx因此必有，12 kxnkx32 由以上两式消去，得x1213kn 3若为奇数，则是奇数平方的 倍，故得nn33 3左边，右边4mod2134mod0这不可能，因此式偶数，设，将的左n导出来这也可以从原方程模4ln2 3边用平方差公式分解，不难求出其解，但我们宁愿用下面的方法是奇数，设为，则成为l312 u 2121kuu 4若，则与中至少有一个有奇素数因子，显然不能成立，从而1uu1u 4，故，这样易
12、知所求的全部解为.1u2k 5 , 2 , 4,xnm例 2 已知为完全平方数，求所有的有序整数对.ba73 ba,分析 显然均为非负整数，且必为一奇一偶.那么我们就应用质因子分析，ba,将原方程变形分解，使之更易讨论得出结果.解 设，首先方程两边得273nba为正整数n4mod 4mod11732baban注意到，则必为一奇一偶，下分别讨论：4mod22nba,本科毕业论文（设计）5为奇数，为偶数1ab设，则cb2ccbannn77732 7注意到不为 的倍数，则和不可能均为 的倍cccnn72773cn7cn73数，故必有17 cn从而1723ca若，则，从而为一组解.0c1a 0 , 1
13、,ba若，则，易知使得的最小正整数，从而满1c7mod13 a7mod13 a6a足上式的均为的倍数，这与为奇数矛盾.a6a为偶数，为奇数 2ab设，则ca2ccabnnn33372注意到不为的倍数，则和不可能均为的倍cccnn32337cn3cn37数，故必有13 cn从而1327cb若，则，从而为一组解.1c1b 1 , 2,ba若，则，而使得的最小正整数，从而满足1c9mod17 b9mod17 b3b上式的均为 的倍数.设注意到为大于等于 的奇数，并记则b3db3d1dy7cy3213从而本科毕业论文（设计）611322yyyc注意到是奇数，则12 yy，uy321vyy312其中为正整数，且
