矩阵的角分解

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1、1第十讲第十讲 矩阵的三角分解矩阵的三角分解一、一、 Gauss 消元法的矩阵形式消元法的矩阵形式n 元线性方程组元线性方程组11112211211222221122nnnnnnnnnnaaabaaabaaab L LL LMML L Axb T 12T 12(),ijnnAaxbb bb L LL L 设设,设设 A 的的 k 阶顺序主子式为阶顺序主子式为，若，若， (0) ijn nAAa k (0) 1110a 可以令可以令(0) 1 1(0) 11i iaca 并构造并构造 Frobenius 矩阵矩阵21 1110 101nn ncLc MMO O211 1110 101ncLc M

2、MO O计算可得计算可得(0)(0)(0) 11121 (1)(1) (1)1(0)222 1(1)(1) 20nnnnnaaa aaAL Aaa L L L L MMO OMM L L(0)(1) 1AL A 初等变换不改变行列式，故初等变换不改变行列式，故，若，若，则，则，又，又(0)(1) 21122a a 20 (1) 22a0 可定义可定义2，并构造，并构造 Frobenius 矩阵矩阵(1) 2 2(1) 22(3,4,)i iacina L L3222111ncLc O OMM1 3222111ncLc O OMM(0)(0)(0)(0) 1112131 (1)(1)(1) 22

3、232 (2)1(1)(2)(2) 2333(2)(2) 3nnnnnnaaaaaaa AL Aaaaa L LL LL LMMMML L(1)(2) 2AL A 依此类推，进行到第依此类推，进行到第(r-1)步，则可得到步，则可得到(0)(0)(0)(0) 111111(2)(2)(2) (1)1111 (1)(1)(1)(1)rrnrrr rrrrrrn rr rrrnrr nrnnaaaaaaaAaaaa L LL LO OMMMML LL LL LMMMML L(2,3, )rn L L则则 A 的的 r 阶顺序主子式阶顺序主子式，若，若，则，则(0)(1)(2)1 112211rr

4、rrrrraaaa L L0r 可定义可定义，并构造，并构造 Frobenius 矩阵矩阵10r rra 11r ir irr rraca 111 11r rrnrLcc O OMMO O1111 11r rrnrLcc O OMMO O3(0)(0)(0)(0) 111111(1)(1)(1) ( )111 ( )( ) 111( )( ) 1rrnrrr rrrrrrrn rrr rrrnrr nrnnaaaaaaaAL Aaaaa L LL LO OMMMML LL LL LMMMML L(1)( )rr rAL A (2,3,1)rn L L直到第（直到第（n1）步，得到）步，得到则完

5、成了消元的过程则完成了消元的过程(0)(0)(0) 11121 (1)(1) (1)222(1)nnnn nnaaaaaAa L LL LO OMM而消元法能进行下去的条件是而消元法能进行下去的条件是 0r (1,2,1)rn L L二、二、 LU 分解与分解与 LDU 分解分解(0)(1)(2)(1) 1121231n nAAL AL L AL L LLA L LL L容易求出容易求出为下三角矩阵为下三角矩阵2112111121211 111nnnnnnncLL LL ccccc MMO OL L令令为上三角矩阵，则为上三角矩阵，则(1)nUA （L: lower U: upper L: l

6、eft R: right）ALU 以上将以上将 A 分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，就分解成一个单位下三角矩阵与上三角矩阵的乘积，就称为称为 LU 分解或分解或 LR 分解。分解。LU 分解不唯一，显然，令分解不唯一，显然，令 D 为对角元素不为零的为对角元素不为零的 n 阶对角阵，阶对角阵，4则则1ALULDD ULU 可以采用如下的方法将分解完全确定，即要求可以采用如下的方法将分解完全确定，即要求（1）L 为单位下三角矩阵为单位下三角矩阵 或或（2）U 为单位上三角矩阵为单位上三角矩阵 或或（3）将将 A 分解为分解为 LDU，其中，其中 L，U 分别为单位下三角，单位上三分别

7、为单位下三角，单位上三角矩阵，角矩阵，D 为对角阵为对角阵，而，而12diag,nAd dd L L 1k kkd 。(1,2, )kn L L01 n 阶非奇异矩阵阶非奇异矩阵 A 有三角分解有三角分解 LU 或或 LDU 的充要条件是的充要条件是 A 的顺的顺序主子式序主子式 0r (1,2, )rn L Ln 个顺序主子式全不为零的条件实际上是比较严格的，特别是个顺序主子式全不为零的条件实际上是比较严格的，特别是在数值计算中，在数值计算中，很小时可能会带来大的计算误差。因此，有必很小时可能会带来大的计算误差。因此，有必( -1)k kka要采取选主元的消元方法，这可以是列主元（在要采取选

8、主元的消元方法，这可以是列主元（在中选取模最大者作为新的中选取模最大者作为新的） 、行主元（在、行主元（在( -1)( -1)( -1) 1,kkk kkkknkaaa L L( -1)k kka中选取模最大者作为新的中选取模最大者作为新的）全主元（在所有）全主元（在所有( -1)( -1)( -1) 1,kkk kkkkknaaa L L( -1)k kka（）中选模最大者作为新的）中选模最大者作为新的） 。之所以这样做，。之所以这样做，( -1)k ija,ki jn ( -1)k kka其理论基础在于对于任何可逆矩阵其理论基础在于对于任何可逆矩阵 A，存在置换矩阵，存在置换矩阵 P 使得

9、使得 PA 的的所有顺序主子式全不为零。所有顺序主子式全不为零。列主元素法：在矩阵的某列中选取模值最大者作为新的对角元列主元素法：在矩阵的某列中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以下的各元素。比如第一步：找第一个素，选取范围为对角线元素以下的各元素。比如第一步：找第一个未知数前的系数未知数前的系数最大的一个，将其所在的方程作为第一个方程，最大的一个，将其所在的方程作为第一个方程，1|ia即交换矩阵的两行，自由项也相应变换；第二步变换时，找即交换矩阵的两行，自由项也相应变换；第二步变换时，找5中最大的一个，然后按照第一步的方法继续。中最大的一个，然后按照第一步的方法继续。2|(

10、2)iai 行主元素法：在矩阵的某行中选取模值最大者作为新的对角元行主元素法：在矩阵的某行中选取模值最大者作为新的对角元素，选取范围为对角线元素以后的各元素，需要记住未知数变换的素，选取范围为对角线元素以后的各元素，需要记住未知数变换的顺序，最后再还原回去。因此需要更多的存储空间，不如列主元素顺序，最后再还原回去。因此需要更多的存储空间，不如列主元素法方便。法方便。全主元素法：若某列元素均较小或某行元素均较小时，可在各全主元素法：若某列元素均较小或某行元素均较小时，可在各行各列中选取模值最大者最为对角元素。与以上两种方法相比，其行各列中选取模值最大者最为对角元素。与以上两种方法相比，其计算稳定

11、性更好，精度更高，计算量增大。计算稳定性更好，精度更高，计算量增大。Axb ALULyb Uxy 三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三 三三、其他三角分解三、其他三角分解1. 定义定义 设设 A 具有唯一的具有唯一的 LDU 分解分解（1）若将若将 D，U 结合起来得结合起来得（） ，则称为，则称为 A 的的ALU UDU Doolittle 分解分解（2）若将若将 L，D 结合起来得结合起来得（） ，则称为，则称为 A 的的ALU LLD Crout 分解分解2. 算法算法（1）Crout 分解，设分解，设，11212212nnnnl llLlll MMMM O O L L12121 11nnuu uU L L L L O OMM6由由乘出得乘出得ALU （1）11(1)1,2,3,( ,1)iilainA L L L三 三三 三三 三三 三三 三三 三（2）1 111(1)2,3,( ,1)j jaujnA Ul L L三 三三 三三 三三 三三 三三 三（3）22112(2)(2,3,)( ,2)iiilal uinA L L L三 三三 三三 三三 三（4） 22211 2213,4,( ,2)jjjual ujnA Ul L L三 三三 三三 三三 三（5）一般地，对）一般地，对 A,的第的第 k 列运算，有列运算，有L 11(1,2, ;,1