正弦定理高中数学教学设计

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1、课题：正弦定理课题：正弦定理科目科目数学教学对象教学对象高二学生课时课时一课时一课时 提供者提供者申云申云单位单位长治市第十七中长治市第十七中 一、教学目标一、教学目标1知识与技能：知识与技能：让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。2过程与方法：过程与方法：通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，

2、发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。3情感态度与价值观：情感态度与价值观：通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。二、教学内容及模块整体分析二、教学内容及模块整体分析 本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修 5 （人教 A 版）第一章，正 弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的应用；同 时，作为三角形中的一个定

3、理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本 身的应用又十分广泛。 根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第 一层次教师通过引导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手， 带着疑问，以及特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法” 、 “等积法” 、 “外接圆 法” 、 “ 向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式； 第三层次利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦 定理的探索、发现和证明，感受“观察实验猜想证明应用”这一思维 方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神 三、学情分析三、学情

4、分析 学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修 4 中，又学习了三角函数的基础知识和平面向量 的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这不仅是学习正弦定理 的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重 要定理之一，课程标准强调在教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可 以使学生进一步了解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一 种亲和力与认同感。 四、教学策略选择与设计四、教学策略选择与设计 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立

5、自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为 基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维， 逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。五、教学重点及难点五、教学重点及难点 教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。 教学难点：正弦定理的猜想提出过程。 六、教学过程六、教学过程教师活动教师活动学生活动学生活动设计意图设计意图（一）结合实例，激发动机（一）结合实例，激发动机 教师：展示情景图如图 1，船从港口 B 航行 到港口

6、 C，测得 BC 的距离为，船在港600m 口 C 卸货后继续向港口 A 航行，由于船员 的疏忽没有测得 CA 距离，如果船上有测角 仪我们能否计算出 A、B 的距离？教师：若已知测得，75BAC ，要计算 A、B 两地距45ACB 离，你有办法解决吗？（图（图 1 1）老师：对，很好，在初中，我们学过相似 三角形，也学过解直角三角形，大家还记 得吗？师生：共同回忆解直角三角形，直角三 角形中，已知两边，可以求第三边及两个 角。直角三角形中，已知一边和一角， 可以求另两边及第三个角。教师：引导，是斜三角形，能否利用ABC 解直角三角形，精确计算 AB 呢？解：过作于AADBCD学生：思考提出测

7、量角 A，C学生：思考交流，画一个三 角形，使得为A B C B C 6cm，75B A C ，量得45A C B 距离约为 4.9cm，利用A B 三角形相似性质可知 AB 约 为 490m。学生：思考，交流，得出过 作于如图 2，AADBCD 把分为两个直角三角ABC 形，解题过程，学生阐述， 教师板书。兴趣是最好 的老师。如 果一节课有 良好的开头， 那就意味着 成功的一半。 因此，我通 过从学生日 常生活中的 实际问题引 入，激发学 生思维，激 发学生的求 知欲，引导 学生转化为 解直角三角 形的问题， 在解决问题 后，对特殊 问题一般化， 得出一个猜 测性的结论 猜想， 培养学生从

8、特殊到一般 思想意识， 培养学生创 造性思维能 力。在中，Rt ACDsinADACBAC2sin600300 22ADACACBmg，45ACBQ75BAC18060ABCACBACBoo在中，Rt ABDsinADABCAB300 2200 6sin3 2ADABmABC教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决 问题的过程中，若，能否ACbABc 用、表示 呢？BbCc 教师：引导学生再观察刚才解题过程。教师：引导 ，在刚才的推理过程中， 你能想到什么？你能发现什么？教师：引导，sin sinbCcBsin sinaCcA，我们习惯写成对称形式sin sinbAaB学生：发现，sinADCbsi

9、nADBcsinsinADbCcB sin sinbCcB 学生：发现即然有，那么也有sin sinbCcB，。sin sinaCcAsin sinbAaB，sinsincb CBsinsinca CA，因此我们可以发现sinsinab AB，是否任意三角形都有sinsinab ABsinc C这种边角关系呢？（二）数学实验，验证猜想（二）数学实验，验证猜想 教师：给学生指明一个方向， 我们先通过特殊例子检验是否成立，举sinsinab ABsinc C出特例。 （1）在ABC 中，A，B，C 分别为，对应的边606060 长 a：b：c 为 1：1：1，对应角的正弦值分别为，引23 23 2

10、3导学生考察，Aa sinBb sin的关系。 （学生回答它们相等）Cc sin（2） 、在ABC 中，A，B，C 分别为，对应的边454590长 a：b：c 为 1：1：，对应角2的正弦值分别为，22，1；（学生回答它们相等）22（3） 、在ABC 中，A，B，C 分别为，对应的边306090长 a：b：c 为 1：2，对应角3的正弦值分别为，1。 （学21 23生回答它们相等） （图 3）让学生体验 数学实验， 激起学生的 好奇心和求 知欲望。学 生自己进行 实验，体会 到数学实验 的归纳和演 绎推理的两 个侧面。（图（图 3 3） 教师：对于呢？Rt ABC教师：那么任意三角形是否有呢？

11、学生按事先安排分sinsinsinabc ABC组，出示实验报告单，让学生阅读实验报 告单，质疑提问：有什么不明白的地方或 者有什么问题吗？（如果学生没有问题， 教师让学生动手计算，附实验报告单。 ）教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换，、值仍然保持相等。sina Asinb Bsinc C我们猜想：=Aa sinBb sinCc sin学生：思考交流得出，如图 4，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c,则有，si naAcsi nbBc又,si n1cCc 则sinsinsinabccABC从而在直角三角形 ABC 中，si nsi nsi nabc ABC学生：分组互动，

12、每组画一 个三角形，度量出三边和三 个角度数值，通过实验数据计算，比较、sina Asinb B的近似值。sinc C（三）证明猜想，得出定理（三）证明猜想，得出定理 教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体 技术支持，对任意的三角形，如何用数学学生：思考得出 在Rt ABC中，成立，如 前面检验。经历证明猜 想的过程， 进一步引导 启发学生利的思想方法证明呢？前sinsinsinabc ABC面探索过程对我们有没有启发？学生分组 讨论，每组派一个代表总结。 （以下证明过 程，根据学生回答情况进行叙述）在锐角三角形中，如图 5 设BCa，CAb，ABc 作：ADBC，垂足为D在Rt ABD中，si

13、nADBABsinsinADABBcB在Rt ADC中，sinADCACsinsinADACCbC sinsincBbCsinsincb CB同理，在ABC中，sinsinac ACsinsinsinabc ABC在钝角三角形中，如图 6 设C为钝角，BCa， CAb，ABc 作ADBC交BC的延长线 于D在Rt ADB中，sinADBABsinsinADABBcB在Rt ADC中，sinADACDACsinsinADACACDbACB sinsincBbACB sinsincb ACBB 同锐角三角形证明可知sinsinac ACsinsinsinabc ABACB用已有的数 学知识论证 猜

14、想，力图 让学生体验 数学的学习 过程。教师：由于时间有限，对正弦定理的证明 到此为止，有兴趣的同学回家再探索。（四）利用定理，解决引例（四）利用定理，解决引例 教师：现在大家再用正弦定理解决引例中 提出的问题。学生：马上得出 在ABC中，18060 ,sinsincbBACCB oosin600 sin45200 6sinsin60bCcmB 利用正弦定 理，重新解 决引例，让 学生体会用 新的知识， 新的定理， 解决问题更 方便，更简 单，激发学 生不断探索 新知识的欲 望。 （五）了解解三角形概念（五）了解解三角形概念 教师：一般地，把三角形的三个角A、 B、C和它们的对边a、b、c叫做

15、三角形 的元素，已知，三角形的几个元素，求其 他元素的过程叫做解三角形。让学生了解 解三角形概 念，形成知 识的完整性（六）运用定理，解决例题（六）运用定理，解决例题 教师：引导学生从分析方程思想分析正弦 定理可以解决的问题。学生：讨论正弦定理可以解 决的问题类型： 如果已知三角形的任意两 个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如si n si nbAaB；自己解决问 题，提高学 生学习的热 情和动力， 使学生体验 到成功的愉 悦感，变 “要我学”师生：例 1 的处理，先让学生思考回答解 题思路，教师板书，让学生思考主要是突 出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。例 1：在ABC中，已知30A ， 45B ，6acm，解三角形。 分析“已知三角形中两角及 一边，求其他元素” ，第一步可由 三角形内角和为180求出第三个角 C，再由正弦定理求其他两边。例 2：在ABC中，已知2 2a ，2 3b ，45A ，解三角形。例 2 的处理，目的是让学生掌握分类讨论 的数学思想，可先让中等学生讲解解题思 路，其他同学补充交流用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的 解答。如果已知三角形任意两边 与其中一边的对角，求另一 边与另两角，如si nsi naABb。