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1、知识就是力量必修三 第 2 章 统计第 8 课时：线性回归方程本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 普通高中课程标准实验教科书数学必修三苏教版2.42.4 第第 8 8 课时课时 线性回归方程线性回归方程(1)(1)教学目标教学目标 （1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变 量间的相关关系； （2）在两个变量具有线性相关关系时，会在散点较长中作出线性直线，会用线性回 归方程进行预测； （3）知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数 公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义 教学重点教学重点 散点图的画法，回归直线方程
2、的求解方法 教学难点教学难点 回归直线方程的求解方法 教学过程教学过程 一、问题情境1情境：客观事物是相互联系的 奎屯王新敞新疆过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一 种非因果关系 奎屯王新敞新疆比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认 为数学是“因” ，物理是“果” ，或者反过来说 奎屯王新敞新疆事实上数学和物理成绩都是“果” ，而真 正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度 奎屯王新敞新疆所以说，函数关系存在着一种确定性关系 奎屯王新敞新疆但还存在着另一种非确定性关系相关关系相关关系奎屯王新敞新疆 2问题： 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随
3、机统计并制作了某 6 天卖出热 茶的杯数与当天气温的对照表：气温/ C02618131041杯数202434385064如果某天的气温是，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？50C二、学生活动为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标表示气x 温，纵坐标表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成y 的个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称6 这样的图为散点图散点图(scatterplot).从右图可以看出.这些点散布在一条直线的附近,故可用一个线 性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系?我们有多种思考方案: (
4、1)选择能反映直线变化的两个点,例如取这两点(4,50),(18,24) 的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同； （3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求知识就是力量必修三 第 2 章 统计第 8 课时：线性回归方程直线的斜率、截距；怎样的直线最好呢?三、建构数学1最小平方法：用方程为的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。 ybxa那么，怎样衡量直线与图中六个点的接近程度呢？ ybxa我们将表中给出的自变量的六个值带入直线方程,得到相应的六个的值:x y.这六个值与表中相应的实际值应该26,18,
5、13,10,4,babababababa 越接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和22222222( , )(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)12866140382046010172Q a bbababababababaabba 是直线与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来( , )Q a b ybxa衡量直线与图中六个点的接近程度,所以,设法取的值,使达到最小 ybxa, a b( , )Q a b 值.这种方法叫做最小平方法最小平方法(又称最小二乘法最小二乘法) .先把看作常数,那么是关于的二次函数.易知,当时,
6、取aQb1403820 2 1286ab Q得最小值.同理, 把看作常数,那么是关于的二次函数.当时, bQa140460 12ba 取得最小值.因此,当时，取的最小值，由此解得Q1403820 2 1286 140460 12abba Q.所求直线方程为.当时,1.6477,57.5568ba 1.647757.5568yx 5x ,故当气温为时,热茶销量约为杯.66y 50C66 2线性相关关系：像能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系线性相关关系. ybxa 3线性回归方程： 一般地,设有个观察数据如下：n x1x2x3xnx y1y2y3yny当使取得最小值时,就称, a b2
7、22 1122()().()nnQybxaybxaybxa为拟合这对数据的线性回归方程线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. ybxan上述式子展开后，是一个关于的二次多项式，应用配方法，可求出使为最小, a bQ值时的的值即, a b知识就是力量必修三 第 2 章 统计第 8 课时：线性回归方程,（*） , 1112211()()()nnniiii iii nnii iinx yxy b nxxaybx niixnx11 niiyny11四、数学运用1例题： 例 1 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交 通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相
8、关关系，求出线性回归方程；如果 不具有线性相关关系，说明理由 机动车辆数千台x9511 011 2120129135150180交通事故数千件y6.27.57.78.58.79.810.213 解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相 关关系计算相应的数据之和：，8888211111031,71.6,137835,9611.7iiiii iiiixyxx y将它们代入（）式计算得，0.0774,1.0241ba 所以，所求线性回归方程为$0.07741.0241yx 2练习： （1）第 75 页练习 1、2 （2）下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D
9、 ） A角度和它的余弦值B.正方形边长和面积 C正边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高奎屯王新敞新疆 （3）给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据： 施化肥量 x15202530354045 水稻产量 y330345365405445450455 (1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形 奎屯王新敞新疆 解：(1)散点图（略） (2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格 i1234567 xi15202530354045 yi330345365405445450455 xiyi49506900912512150155751800020475,3 .399,30yx777 22
10、1117000,1132725,87175iiii iiixyx y故可得到 2573075. 43 .399,75. 430770003 .399307871752ab从而得回归直线方程是(图形略)4.75257yx五、回顾小结：1对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数知识就是力量必修三 第 2 章 统计第 8 课时：线性回归方程的计算公式，算出由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，, a b, a b谨防计算中产生错误求线性回归方程的步骤：计算平均数；计算的积，求yx,iiyx 与；计算；将结果代入公式求；用 求；写出回归方程 奎屯王新敞新疆 iiyx2 ixaxaybb六、课外作业：课本第 75 页习题 2.4 第 1、2、3 题
