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1、第十二章 二次函数 高频考点考查频率所占分值考 情 分 析1.二次函数的图象和性质 2.二次函数图象的平移 3.二次函数图象位置与字母系数的关系 4.二次函数解析式的确定 5.二次函数与一元二次方程的关系 6.二次函数的最值问题 7.二次函数的实际问题中的应用 1520 分知能图谱 222, ,0004,242,20yaxbxc a b cay axbxc aaabacb aabxa bxyxaa x 一般地，形如是常数且的函数叫做二次函数二次函数的定义一般形式: =上下平移“ 上加下减”图象的平移规律左右平移“ 左加右减”开口方向：0，开口向上；，开口向下顶点坐标：对称轴：直线=-二次函数的
2、图象与 随的增大而增大性质图象与性质增减性二次函数 2212,2,20 ,200:0byxa bxyxaabxyxaya xhk ayaxbxc aya xxxxa 随的增大而减小随的增大而减小随的增大而增大数学规律及关系 二次函数顶点式: 解析式的待定系数法一般式:确定 交点式拓展2222240440404ybacxbacxbacxbacxxxbac 二次函数在实际问题中的应用顶点二次函数图象中的特殊点与轴的交点与x轴的交点实当时，抛物线与轴有两个交点践利用判与断抛物线与轴当时，抛物线与轴有一个交点探二次函数图象抛物线的交点个数当时，抛物线与轴没有交点 索与轴交点的判断根据抛物线与轴的交点个
3、数，利用求字母系数的取值或取值范 20yaxbxc a 围二次函数的最大值或最小值第 26 讲 二次函数的定义、图象及性质 知识能力解读 知能解读(一)二次函数的定义一般地，形如(是常数，且)的函数叫作二次函数.其中是自2yaxbxc, ,a b c0a x变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.例如，, ,a b c等都是二次函数.22213,32,223yxyxyxx 注意(1)任何一个二次函数的解析式都可以化成 (是常数，且)的2yaxbxc, ,a b c0a 形式，因此，把 (是常数，且)叫作二次函数的一般式.2yaxbxc, ,a b c0a (2)二次函数中，都是
4、变量，是常量，自变量的取值20yaxbxc a, x y, ,a b cx是全体实数，和可以是任意实数，是不为 0 的实数，所以二次函数还有如下特殊形bca式: (当时)； (当时)；2yax0,0,0abc2yaxbx0,0,0abc(当时).2yaxc0,0,0abc(3)二次函数的结构特征:等号右边是关于自变量的二次整式.20yaxbxc ax知能解读(二)二次函数的图象和性质20yaxa二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是轴，顶点是原点.20yaxay 20yaxa0a 0a 图象OxyyxO开口方向向上向下顶点坐标0,00,0对称轴轴y轴x增减性当时，随的增大而减小；0x yx
5、当时，随的增大而增大0x yx当时，随的增大而增大；0x yx 当时，随的增大而减小0x yx最值当时，0x =0y最小值当时，0x 0y最大值 注意(1)(供参考)抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越小；20yaxaaa越小，抛物线的开口越大.a(2)画的图象时，描点法画出的只是整个图象的一部分，是近似的，由于20yaxa可取一切实数，所以图象应向两方无限延伸.x (3)选取自变量的值时，为了计算方便，一般取整数.xx知能解读(三)二次函数 2220 ,0 ,yaxk aya xhaya xhk的图象和性质0a 1 二次函数的图象和性质20yaxk a二次函数的图象是一条拋物线，它的
6、对称轴是轴，顶点坐标是.20yaxk ay0,k二次函数的图象和性质20yaxk a的符号a0a 0a 0k xOy yxO图象0k OyxyOx开口方向向上向下对称轴轴(直线)y0x 轴(直线)y0x 顶点坐标0,k0,k增减性当时，随的增大而减小；0x yx 当时，随的增大而增大0x yx当时，随的增大而增大；0x yx 当时，随的增大而减小0x yx最值当时，0x yk最小值当时，0x yk最大值2 二次函数的图象和性质 20ya xha二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是平行于轴或与轴 20ya xhayy重合的直线，顶点坐标是.xh,0h函数 20ya xha 20ya xha图
7、象y=a(x-h)2y=a(x-h)2 (h0) (h0)y=a(x-h)2yxO顶点最低点,0h最高,0h对称轴直线，当时，对称轴在轴的右侧；xh0h y 当时，对称轴在轴的左侧0h y 开口方向向上向下增减性当时，随的增大而减小；xhyx 当时，随的增大而增大xhyx当时，随的增大而增大；xhyx 当时，随的增大而减小xhyx最值当时，xh0y最小值当时，xh0y最大值3 二次函数的图象和性质20ya xhk a二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线，顶点20ya xhk axh坐标为., h k函数20ya xhk a图象0a 0a OxyyxO开口方向向上向下对称轴经过点且平行于
8、轴的直线,0hy xh经过点且平行于轴的直线,0hy xh顶点坐标顶点是图象的最低点，坐标是, h k顶点是图象的最高点，坐标是, h k增减性当时，随的增大而减小；xhyx 当时，随的增大而增大xhyx （简记为“左减右增” ）当时，随的增大而增大；xhyx 当时，随的增大而减小（简xhyx 记为“左增右减” ）最值当时，xhyk最小值当时，xhyk最大值 注意(1)由可直接看出抛物线的顶点坐标2ya xhk, h k(2) 决定抛物线的形状、大小，决定抛物线的位置.a, h k 具体的平移操作如图所示.点拨(1)对于函数的性质，要注意与20ya xhk a对比学习，通过图象得出函数 222
9、0 ,0 ,0yaxayaxk aya xha的性质.20ya xhk a(2)二次函数的图象可由抛物线的图象平移得到，与的符号2ya xhk2yaxhk分别确定左右平移和上下平移的方向，与的绝对值确定平移的距离.抛物线平移规律是hk “左右平移，左加右减：上下平移.上加下减”知能解读(四)二次函数的图象与性质20yaxbxc a关系式一般式20yaxbxc a顶点式20ya xhk a图象形状抛物线 开口方向当时，开口向上；到那个时，开口向下0a 0a 顶点坐标24,24bacb aa, h k对称轴2bxa xh0a 对称轴左侧，即或随增大而减小；2bxa ,xh yx对称轴右侧，即或随增
10、大而增大2bxa ,xh yx增 减 性0a 对称轴左侧，即或随增大而增大；2bxa ,xh yx对称轴右侧，即或随增大而减小2bxa ,xh yx0a 当时，2bxa 24 4acbya最小值当时，xhyh最小值最 大 值0a 当时，2bxa 24 4acbya最大值当时，xhyk最大值知能解读(五)二次函数图象的画法20yaxbxa a(1)描点法，其步骤如下:把二次函数解析式化成的形式；20yaxbxa a20ya xhk a确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称描点画图. 注意 若抛物线与轴有交点，最好选取交点描点，特别是作抛物线草图时，应抓住以
11、下五点:x 开口方向；对称轴；顶点；与轴交点；与轴交点.xy (2)平移法，其步骤如下：利用配方法把二次函数解析式化成的形式，确定其顶点坐标20ya xhk a；, h k作出的图象；20yaxa将的图象平移，使其顶点移到.20yaxa, h k知能解读(六)待定系数法求二次函数的解析式 二次函数解析式有三种常见形式：(1)般式(或三点式)： (为常数，)；2yaxbxa, ,a b c0a (2)顶点式(或配方式)： (为常数，)；2ya xhk, ,a h k0a (3)交点式(或两根式)： (是常数，拓展点).12ya xxxx12,a x x0a 注意(a)任何一个二次函数解析式通过配
12、方都可以化成顶点式，抛物线顶点2ya xhk坐标为.当时，抛物线顶点在轴上；当时，抛物线顶点在轴上；当, h k0h y0k x时，抛物线顶点在原点处.0,0hk(2)两根式又叫交点式，是抛物线与轴的交点的横坐标，即交点，交点12,x xx1,0A x.2,0B x(3)确定二次函数解析式时，根据所给的条件；合理地选择恰当的表达式.一般地，已知抛 物线上；任意三点时，通常设函数解析式为一般式；当已知顶点坐标时，通常设函数解析 式为顶点式；当已知抛物线与轴的两个交点时，通常设函数解析式为交点式.x知能解读(七)二次函数的图象特征与的符号之间的关系20yaxbxc a, ,a b c项目 字母字母
13、的符号图象的特征a0a 0a 开口向上 开口向下b0ab （同号）0ab , a b（异号）0ab , a b对称轴为轴y 对称轴在轴左侧y 对称轴在轴右侧yc0c 0c 0c 图象过原点 与轴正半轴相交y 与轴负半轴相交y 注意 (1)由抛物线的开口方向可确定的符号，简记为“上正下负”.(2)由的符号及对称轴aa的位置可确定的符号.特殊地，对称轴为轴时，；般情况可简记为2bxa by0b “左同右异” ，即对称轴在轴左侧，同号，对称轴在轴右侧，异号.(3)当抛物y, a by, a b 线与轴交于原点时，否则可简记为“上正下负” ，即抛物线与轴交于轴上方，y0c yx 为正；交于轴下方，为负.cxc 方法技巧归纳 方法技巧(一)识别二次函数的方法 判断一个函数是否为二次函数，主要依据有三条：(1)数解析式的右边必须是整式；化筒 后的自变量最高次数是 2；(3)二次项系数必须不为零. 方法技巧(二)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴的方法(1)公式法：，所以顶点坐标为22 24024bacbyaxbxca xaaa，对称轴是直线.24,24bacb aa2bxa (2)配方法:运用配方法，将拋物线的关系式化为的形式，得到顶20ya xhk a点为，对称轴是直线., h kxh(3)对称点法：由于抛物线是轴对称图形，所以连接对称点所得线段的垂直
