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1、例说完全平方公式的运用例说完全平方公式的运用完全平方公式的原型是222()2abaabb.我们在充分理解它的基础上，还要熟悉它的变形式:222()2ababab2()2abab2222()()2()ababab22()()4ababab完全平方公式的运用是灵活多变的，在很多的中考题里都会有不同的形式出现，我们 要充分理解和灵活运用.理解是运用的前提，运用是理解的升华.下面笔者举例谈谈完全平方 公式的运用.一、完全平方公式中系数的运用例 1 如果多项式24xkx是一个完全平方式，则k的值是多少?分析 这里是首末两项是x和 2 的平方，那么中间项就为加上或减去x和 2 的乘积的2 倍.解 24xk
2、xQ是一个完全平方式，2 2kxx g 4k 注 本题大部分学生都只会求出一个答案 4，缺少4.问题在哪里呢?第一，被kx项的 符号迷惑;其二没有真正理解完全平方公式的结构特征，完全平方项的符号相同，积的 2 倍项与符号无关.这道题如果改成多项式24xkx是一个完全平方式，求k的值;出错的学生会更多，他们往往被这个负号带入了死胡同；关键在于没有充分理解公式的特征:在本题的 结构下，任意给出其中两项，未知的第三项均可以求出，要注意积的 2 倍的符号，有两种情况，不可漏解.如，若24xxym是一个完全平方式，求m的值，就可以运用同样的方法求解. 二、完全平方公式在求值中的运用例 2 已知。13aa
3、 .求:(1) 2 21aa;(2)21()aa的值分析 要求出结论，只要求出a的值即可，但是这样做很复杂，联想到完全平方公式 及倒数的相关知识，就可以顺利解答此题;解 (1)Q22 211()2aaaa22 21( 3)27aa (2)22 211()2aaaaQ21()725aa注 很多学生缺乏整体意识和适当的变形，对互为倒数的两数之积为 1 的性质掌握不 够，而若运用解一元二次方程的方法，试图通过求a的值来求解，必然带来很大的麻烦三、将条件及结论变形，再运用完全平方公式求值例 3 已知2310xx ，求2421x xx的值.分析 由条件变形为:13xx，由结论变形为 2 21 11xx，
4、再由完全平方公式变形为 21 1()1xx，就可以求出结论.解 2310xx Q,13xx .24222 211=11112+1x xxxxxxQ （）,原式=211 32 18.注 解答本题时，很多学生会走最熟悉的路径，即解一元二次方程，运用求x的值来求解，但计算比教复杂;也有学生由231xx，代入2421x xx，就可以得出31 248x x ，化简得出结论;实际运用倒数法，结合完全平方公式求解，显得比较简单.四、完全平方公式在因式分解及求位中的运用例 4 已知1ab，求2211 22aabb的值.分析 本题要求代数式的值，先求出a、b的值是很难的，而运用完全平方公式，将结论变形为21()
5、2ab，就可以轻松求出结果.解 222221111(2)()2222aabbaabbabQ原式211122.注 也有学生对条件变形求解:1,1abab Q，再代入2211 22aabb，就可以得到2211(1)(1)22bbbb，即可求出结果.但是这样做比较复杂，不是命题者的初衷. 五、完全平方公式在求差法中的运用例 5 已知a、b、c是ABC的三边，试比较222abc和2bc的大小.分析 要比较大小运用两式子相减，然后再因式分解，判定符号后即可得到两式的大 小.解 222222()abcbcabcQ,2222()()abcbcabc abc.Qa、b、c是ABC的三边，0,0abcabc ,
6、()()0abc abc,22220abcbc,2222abcbc.注 本题考查了因式分解、三角形的三边关系及平方差和完全平方公式的运用.作差、 因式分解及分组构造完全平方公式是解题的关键.六、拆项构造完全平方公式在非负数中的运用例 6 若224250abab，求2 2ab ab 的值.分析 求代数式的值，求出a、b的值是关键,一个等式两个未知数，就联想到构造完 全平方公式再利用非负数求解.解 224250ababQ,2244210aabb ,22(2)(1)0ab,2010ab ,21ab .故 原式=41341.注 本题考查了非负数性质的运用，拆项法构造完全平方公式的运用，解答时将常数 5
7、 拆成 4 和 1 是难点. 七、拆项、配方构造完全平方公式在证明中的运用例 7 已知a、b、c是ABC的三边，满足222166100abcabbc，求证: 2acb.分析 将216b拆分成29b和225b，再构成两个完全平方公式，由等式的性质就可以求出结论.证明 222166100abcabbcQ22229256100abbcabbc,2222(96)(2510)0ababbcbc,22(3 )(5)0abbc,22(3 )(5)abbc.Qa、b、c是ABC的三边, 35abbc , 2acb .注 本题需要对多项式进行分组，运用完全平方公式进行变形，难点在分组，关键是 在拆项，抓住6ab
8、和10bc两个系数是拆项的突破点.八、配方法构造完全平方公式求值的运用例 8 已知: 28,16ababc，求2016(1)abc 的值.分析 将条件通过恒等变形得到22()0abc，利用非负数的性质即可求出结论.解 8,abQ22264abab216abcQ，24644abc由，得22224ababc ，22()(2 )0abc，0,0abc .故 原式2016( 1)1 .注 本题考查了配方法的运用，非负数的性质，解答本题的关键是利用完全平方公式 进行恒等变形. 九、添项法构造完全平方公式分解因式的运用例 9 分解因式: 44x .分析 本题是二项式，不能运用平方差公式分解，可以将其转化为
9、422444xxx,在运用公式法分解即可.解 原式=42222222444(2)4(22 )(22 )xxxxxxx xx.注 解答本题采用的是添项法，在解答中采用添项的方法，构建完全平方公式是解题的突破点，也是难点441x 可以运用同样的方法解答.十、配方法构建完全平方公式在证明中的运用例 10 已知a、b、c为三角形的三边，且2220abcabbcac，求证: ABC为等边三角形.分析 可将题目所给的关于a、b、c的等量关系进行适当变形，转换为几个完全平 方式，然后根据非负数的性质求出a、b、c三边的数量关系，进而就可以判断ABC的 形状.解 2220abcabbcacQ，2222222220abcabbcac，222222(2)(2)(2)0aabbbbcccaca，222()()()0abbcca，000abbcca ，abc， ABC是等边三角形. 注 本题运用配方法构造完全平方公式，将已知转化为偶次幂的和，再由非负数的性 质求解，解答难点是对条件进行变形和因式分解. 综上可见，完全平方公式及落变形的运用，是学习中的一个难点，这就需要我们仔细 分析公式的结构特点，以及常用的变形形式.只有熟悉了结构，才能理解结构的变形，通过 对变形的理解，才能运用自如，得心应手.
