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1、全等三角形的识别（一）全等三角形的识别（一） 【 【重点重点难难点点】 】重点：掌握三角形全等的识别方法（三）：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。 （简记为：“A.S.A.” ）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （简记为：“A.A.S.”掌握三角形全等的识别方法（四）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简称为：“HL”难点：“A.A.S.” 、 “A.S.A.” 、 “HL”识别方法的应用。【 【学学习习方法方法】 】1在认识两个三角形全等的识别方法中，要切实地体会并会用“SSS” 、 “SAS” 、 “ASA” 、 “AAS”及“
2、HL”的识别两三角形全等。2. 正确地使用两三角形的全等来证明两线段相等，两个角相等。3. 全等三角形是两三角形相似时相似比为 1 的特例。【 【典型例典型例题题分析分析】 】例例 1.已知如图，ABCABC，AD、AD分别是ABC 和ABC的高。试说明：ADAD. 并用一句话说出你的发现。分析：分析：由于ABCABC，即给出了 AD、AD所在三角形的一些边角的相等关系。从而可得到线段AD 与线段 AD相等。解解：因为ABCABC，所以 AB=AB,B=B,（全等三角形的对应边、对应角相等）因为 AD、AD分别是ABC 和ABC的高，所以ADB=ADB=90在ABD 和ABD中，B=B, AD
3、B=ADB， AB=AB,所以 ABDABD （AAS）所以 ADAD总结：全等三角形对应边上的高相等。例例 2如图，CDAB,BEAC，垂足分别为 D、E，BE,CD 相交于点 O，且1=2，试说明OB=OC。分析：分析：要证：OB=OC 两条线段相等，即证这两条线段所在的三角形全等，即ADO 和AEO 全等。解：解：因为 CDAB,BEAC，所以ADO=AEO=90DCBADCBA21OEDCBA又因为1=2，AOAO，所以ADOAEO (AAS)所以 DO=OE又因为BDO=CEO90，BOD=EOC，所以 BDOCEO （ASA）所以 OB=OC.变式一：变式一：如图，CDAB,BEA
4、C，垂足分别为 D、E，BE,CD 相交于点 O，且 OB=OC,试说明1=2。分析分析：要证：1=2 两角相等，即证1、2 所在的ADO 和AEO 全等，在ADO 和AEO 中，有ADOAEO，且 AOAO，故只要证 OD=OE,即证BDO 与CEO 全等。解解：因为 CDAB,BEAC，所以ADO=AEO=90。又因为BOD=EOC,BO=OC,所以BDOCEO（AAS）.所以 OD=OE.在 RtADO 与 RtAEO 中，OD=OE, AO=AO所以 RtADORtAEO (HL)所以 12。变式二：变式二：如图：已知点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和 CD 相交于点
5、 O，AB=AC,B=C,试说明BD=CE.分析：要证 BD=CE，按上例证法，即证BODCOE 较困难，如果能证明 AD=AE，则 BD=CE. 而判断ADCAEB 比较容易。解：解：在ADC 和AEB 中，A=A, AC=AB, C=B。ACDABE（ASA）所以 AD=AE,又因为 AB=AC,所以 BD=CE.变式三：如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和 CD 相交于点 O,BD=CE,B=C,试说明 AB=AC.分析：要证 AB=AC,只要证明BAECAD，即证BDOCEO 即可。解：解：在BODCOE 中，B=C,BOD=COE，BD=CE.所以 BDOCED
6、 （AAS）所以 OB=OC, OD=OE.所以 BO+OE=OC+OD.所以 BE=CD21OEDCBAOEDCBAOEDCBA在ABE 和ACD 中，BE=CD,A=A,B=C所以 ABEACD（AAS）所以 AB=AC.变式四：已知：在 AB、AC 上各取一点 E、D,使 AD=AE,连结 BD、CE 相交于点 O，连结 AO,1=2，试说明BC.分析：分析：要证B、C 两角相等，即证BAO 与CAO 全等，即证AOB=AOC, 也就是要证AOE=AOD,即证 AEO 与ADO 全等。解：解：在AEO 与ADO 中，AE=AD,1=2，AO=AO所以 AEOADO (SAS)所以 AOE
7、=AOD又因为 BOE=COD所以 AOB=AOC在AOB 与AOC 中1=2，AO=AO, AOB=AOC所以AOBAOC （ASA）所以 BC.例例 3 如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM、CBN 是等边三角形，直线 AN、MC 交于点 E,直线BM，CN 交于点 F.试猜想线段 AN、BM 的大小关系；试判断CEF 的形状；将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 90，其他条件不变，在图 2 中补出符合要求的图形，并判断第、两小题结论是否仍然成立？分析：分析：有已知根据ACM、CBN 是等边三角形，可得到CANMCB，即可得到ANC=CBF，也有NCEBCF，即 CE=CF，即有C
8、EF 为等边三角形。21OEDCBA(1)NMFECBA (2)NMCBA解解：因为ACM、CBN 是等边三角形所以 AC=MC,CN=CB,因为ACM=BCN60，所以CAN=60所以ACNMCB 所以 AN=BM由CANMCB 得ANC=MBC又 CN=CB,BCF=NCE=60由ENC=FBC,所以BCFNCE.所以 CE=CF又ECF=60，所以CEF 是等边三角形补出图形如图所示，AN=BM 仍然成立CEF 是等边三角形不成立。例例 4已知，在ABC 和ABC中，CD、CD分别是高，且 AC=AC,AB=AB,CD=CD.判断ABC 与ABC是否全等，说说你的理由。分析：分析：由已知
9、可知三角形形状不惟一，所以解此题要分类讨论。解：解：当ABC 和ABC都为锐角三角形时因为 CD、CD分别是ABC 和ABC高，所以ADC=ADC=90，又 AC=AC,CD=CD所以 RtADCRtADC (理由 )则有A=A.在ABC 和ABC中AC=AC,A=A,AB=AB,得ABCABC.当ABC 为锐角三角形，ABC为钝角三角形。NMFECBAABCDDCBADCBAABCD显然，ABC 与ABC不全等。当ABC 和ABC都是钝角三角形时由 CD=CD， AC=AC,D=D=90。根据 HL 可得到ACDACD得CAD=CAD,于是CAB=CAB所以 ABCABC说明：当两个三角形有
10、对应高相等时要注意分类讨论。如两个三角形有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形不一定全等。例例 5如图，A、E、F、C 在一条直线上，AE=CF,过 E、F 分别作 DEAC,BFAC,若 AB=CD,试说明 BD 平分 EF。若将DEC 的边 EC 沿 AC 方向移动变为时，其余条件不变，上述结论是否成立，请说明理由。要说明 BD 平分 EF,即 FG=EG,可通过BFGDEG 得到，为此由已知先说明 RtABFRtCDE 得到 BF=DE 即可。解：因为 DEAC,BFAC所以DEG=BFE=90因为 AE=CF,AE+EF=CF+EF即 AF=CE在 RtABF 和 RtCDE 中，
11、因为 AF=CE,AB=CD所以 RtABFRtCDE （HL）BF=DE.在BFG 和DEG 中，DCAABCDB(2)DACG FEB(1)DCAGF EBBFG=DEG,BGF=DGE,BF=DE所以BFGDEG（AAS）所以 FG=EG,即 BD 平分 EF说明方法是：由 AE=CF,得 AF=CE结合已知得 RtABFRtCDE所以 BF=DE所以BFGDEG (AAS)所以 FG=EG故 结论依然成立。同步练习同步练习一、填空题：一、填空题：1.如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，CD 与 BE 相交于点 O,且 AD=AE,AB=AC,若B=20，则C= . 2.如
12、图，点 F、C 在线段 BE 上，且12，BC=EF.若要使ABCDEF,则还须补充一个条件： 。3. 如图，12，要使ABEACE,还需添加一个条件是 。二、选择题：二、选择题：4. 如图，E 在 AB 上， D 在 AC 上，且B=C,那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABEACD 的是（ ）A. AD=AE B. AEB=ADC C. BE=CD D. AB=AC5.如图，梯形 ABCD 中，ADBC,AB=CD，对角线 AC 与 BD 交于点O,则图中全等三角形共有（ ）A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对三、解答题三、解答题6. 如图，梯形 ABCD 中，ADBC,
13、AB=CD,OA=OC.求证：AOBCOD. DACOBOEDCBA(1)21 FEDCBA(2)(3)21ECBAODCBAEDCBA7.已知：如图点 A、E、F、C 在同一条直线上，ADBC,AD=CB,AE=CF.求证：BE=DF8.已知：如图梯形 ABCD 中，ABCD,AD=BC,E 为底边 AB 的中点。求证：DE=CE。9.已知：如图，点 D 是等腰ABC 底边 BC 上的一点，它到两腰 AB、AC 的距离分别是 DE、DF，当点 D 在什么位置时，DE=DF？并加以证明。10.已知：如图，AB=AF，BC=FE,B=F,D 是 CE 的中点。求证：ADCE;连结 BF 后，还能
14、得出什么新的结论（请写出两个，不要求证明）？11.如图，B、C、E 三点在一条直线上，ABC 和DCE 均为等边三角形，连结 AE、DB.求证：AE=DB; 如果把DCE 绕点 C 顺时针再旋转一个角度，中的结论还成立吗？DACFEBEDCBAFEDCBADFECBADECBA12.在ABC 中，ACBC,C90，将一块三角板的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P 处，将三角板绕P 点旋转，三角板的两直角边分别交 AC、CB 于 D、E 两点，如图（1） 、 （2）所示。 问 PD 与 PE 有何大小关系？并以图为例证明； 在旋转过程中，还会存在与图、不同的情形吗？若存在，请在图中画出，并加以证明。参考答案：参考答案：一、填空题：1. 202.B=E(或 AC=DF 或A=D) 3.BAE=CAE (或B=C 或 EB=EC)二、选择题：4. B 5.C 三、解答题6.因为 ABCD,所以 C=A， B=D,所以可以证出AOBCOD7.可先证明ADFCBE8.先证明ADEBCE.9.点 D 在 BC 中点时，DE=DF;即可证EBDFCD.10.连结 AC、AE,可先证ABCAFE; 如果 ADBF,A
