《高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》（1.1）word学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学苏教版选修2-1第3章《空间向量与立体几何》（1.1）word学案（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、31 空间向量及其运算空间向量及其运算31.1 空间向量及其线性运算空间向量及其线性运算学习目标 1.掌握空间向量相关的概念，几何表示法、字母表示法.2.掌握空间向量的加减运算及运算律.3.借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义知识链接观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量，它们OAOBOC和以前所学的向量有什么不同？(如图)答：，是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在OAOBOC同一平面内预习导引1空间向量的概念在空间中，既有大小又有方向的量叫做空间向量，向量的大小叫向量的长度或模2空间向量的加减法(1)加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类
2、似于平面向量的加减法(如图)ab；OBOAABab.CAOAOC(2)运算律交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)3空间向量的数乘运算(1)定义实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍是一个向量，称为向量的数乘运算当 0 时，a 与 a 方向相同；当 0 时，a 与 a 方向相反；当 0 时，a0.a 的长度是 a 的长度的|倍如图所示(2)运算律分配律：(ab)ab；结合律：(a)()a.4共线向量定理(1)共线向量的定义与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 ab.(2)充要条件对于空间任意两个向量 a，b(b0)，b
3、 与 a 共线的充要条件是存在实数 ，使 ba.要点一 空间向量的概念例 1 判断下列命题的真假(1)空间向量就是空间中的一条有向线段；(2)不相等的两个空间向量的模必不相等；(3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；(4)向量与向量的长度相等BAAB解 (1)假命题，有向线段只是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来(2)假命题，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和终点(4)真命题，与仅是方向相反，它们的长度是相等的BAAB规律方法 在空间中，
4、平行向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等跟踪演练 1 给出以下命题：若空间向量 a，b，c 满足 ab，bc，则 ac；若空间向量 a、b 满足|a|b|，则 ab；在正方体 ABCDA1B1C1D1中，必有；ACA1C1若空间向量 m、n、p 满足 mn，np，则 mp；空间中任意两个单位向量必相等其中不正确命题的个数是_答案 3解析 因为 0 平行于任意向量，若 b0 则 a 与 c 不一定平行，故错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但中向量 a 与 b 的方向不一定相同，故错；根据正方体的
5、性质，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相ACA1C1等，应有，故正确；命题显然正确；对于命题，空间中任意两个单位向量模均ACA1C1为 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故错要点二 空间向量的线性运算例 2 如图所示，已知长方体 ABCDABCD，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)；AACB(2)；ABBCCD(3).12AD12AB12AA解 (1).AACBAABCAAADAD(2).ABBCCDAD(3)连结 AC，设 M 是线段 AC的中点，则 (12AD12AB12AA12AD12AB12AA12ADAB).向量、如图所示AA12ACAMA
6、DAM规律方法 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则，遇到减法时既可转化成加法，也可按减法法则进行运算加减法之间可以转化表达式中各向量的系数相等时，根据数乘分配律，可以把相同的系数提到括号外面跟踪演练 2 已知平行六面体 ABCDABCD，点 M 是棱 AA的中点，点 G 在对角线AC 上且 CGGA21，设a，b，c，试用向量 a、b、c 表示向量、CDCBCCCA、.CACMCG解 如图所示，ab；CACBCDabc；CACACCCMCAAMCBCD12CCab c；12 (abc)CG23CA23要点三 空间向量的共线问题例 3 设 e1、e2是平面上不共线的向量，已知2e
7、1ke2，e13e2，2e1e2，若ABCBCDA、B、D 三点共线，求 k 的值解 e14e2，2e1ke2，BDCDCBAB又 A、B、D 三点共线，由共线向量定理得 ，124kk8.规律方法 灵活应用共线向量定理，正确列出比例式跟踪演练 3 设两非零向量 e1、e2不共线，e1e2，2e18e2，3(e1e2)试问：ABBCCDA、B、D 是否共线，请说明理由解 BDBCCD(2e18e2)3(e1e2)5(e1e2)，5，BDAB又B 为两向量的公共点，A、B、D 三点共线1在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，与向量相等的向量共有_个AD答案 3解析 与相等的向量有， ，共 3
8、个ADA1D1BCB1C12设 M 是ABC 的重心，记a，b，c，则等于_BCCAABAM答案 cb3解析 (cb)AM23ACAB2133在平行六面体 ABCDABCD中，模与向量的模相等的向量有_AB个答案 7解析 |DCCDDCCDBAAB|.BAAB4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：()；()ABBCCC1AA1A1D1；()；().其中运算的结果为的有_D1C1ABBB1B1C1AA1A1B1B1C1AC1个答案 4解析 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：()ABBCCC1AC；()；()CC1AC1AA1A1D1D1C1AD1D1C1AC1A
9、BBB1；().所以 4 个式子的运B1C1AB1B1C1AC1AA1A1B1B1C1AB1B1C1AC1算结果都是.AC11.空间向量的概念和平面向量类似，向量的模，零向量，单位向量，相等向量等都可以结合平面向量理解2向量可以平移，任意两个向量都是共面向量因此空间两个向量的加减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行3空间向量的数乘运算和平面向量完全相同；利用数乘运算可判定两个向量共线一、基础达标1下列命题中，假命题是_若与共线，则 A、B、C、D 不一定在同一直线上；ABCD空间中，把所有单位向量的起点移到同一个点上，则终点形成一个球面；只有零向量的模等于 0；共
10、线的单位向量都相等答案 解析 容易判断是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量2已知空间四边形 ABCD 中，a，b，c，则等于_ABBCADCD答案 cab解析 如图，0.ABBCCDDA即 abc0，CDcab.CD3给出下列命题：向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量；有向线段就是向量，向量就是有向线段其中假命题的个数为_答案 3解析 假命题，若 a 与 b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；真命题；假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；假命题，向量可用有向线段来表
11、示，但并不是有向线段4已知平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且a，b，则等于_OAOBBC答案 ab解析 如图，a，b，OAOBb，a，BOOCba.BCBOOC5下列条件，能说明空间不重合的 A、B、C 三点共线的是_ ABCDABBCACBDBCAD答案 解析 由知与共线，又因有一共同的点 B，故 A、B、C 三点共线ABBCABBC6.如图所示，空间四边形 OABC 中，a，b，c，点 M 在 OAOAOBOC上，且 OM2MA，N 为 BC 中点，则等于_MN答案 a b c231212解析 由向量加法法则可知 () a (bc)MNMOON23OA12OBOC2312 a b
12、 c.2312127如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M、N 分别是 AB、B1C 的中点如何用、表示向量？ABADAA1MN解 MNMBBCCN ()12ABAD12CBBB1 ()12ABAD12ADAA1.12AB12AD12AA1二、能力提升8如图，在四棱柱的上底面 ABCD 中，则下列向量相等的是ABDC_与 与 与 与ADCBOAOCACDBDOOB答案 解析 ，|，ABDC，即四边形 ABCD 为平行四边形，由平行四边形的性质ABDCABDC知，.DOOB9如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，若a，b，c，则CACBCC1_.A1B答案 abc解析 A1BA1AAB
13、()C1CCBCAcba.CC1CBCA10如图，在三棱锥 ABCD 中，若BCD 是正三角形，E 为其重心，则化简的结果为_AB12BC32DEAD答案 0解析 延长 DE 交边 BC 于点 F，则，故0.AB12BCAF32DEADADDFAFAB12BC32DEAD11.如图所示，在三棱柱 ABCA1B1C1中，M 是 BB1的中点化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；CBBA1(2) ；ACCB12AA1(3).AA1ACCB解 (1) .CBBA1CA1(2)因为 M 是 BB1的中点，所以.BM12BB1又，所以.AA1BB1ACCB12AA1ABBMAM(3).AA1ACCBCA1CBBA1向量，如图所示CA1AMBA112如图所示，已知空间四边形 ABCD，连结 AC，BD，E，F，G 分别是BC，CD，DB 的中点，请化简(1)；ABBCCD(2)，并标出化简结果的向量ABGDEC解 (1).ABBCCDA
