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1、1：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否 由三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：w w w w w w .x.x k k b b 1.c1.c o o m m222 cos2bcaAbc222 cos2acbBac222 cos2bacCba 理解定理理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三
2、条边就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三 角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC 中，C=，则，这时090cos0C222cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例 1在ABC 中，已知，求 b 及 A2 3a62c060B1余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两倍奎屯王新敞新疆 即2aAcos2bBcos2cCcos2余弦定理可以解决的问题 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （
3、2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角奎屯王新敞新疆 【范例分析】例 1（1）在ABC 中，a2=b2c2bc，则 A 等于 （ ）A60 B45 C120 D302（2）在ABC 中，abc=12，ABC 等于 （ ）A123 B231 C132 D312（3）在ABC 中，sinAsinBsinC=324，则 cosC 的值为（ ）A B C D例 2在ABC 中，BC=a, AC=b, a, b 是方程的两个根，且02322xx2cos(A+B)=1 。求（1）角 C 的度数；（2）AB 的长度；（3）ABC 的面积。w!w!w.!x!k!b!1.c来源:学|科例 3(1) 在中
4、，已知，求角的大小。ABC()()abc abcabC(2)在ABC 中，已知C=60，求的值。cab cba x k b1 . co 例 4在中，、分别是，的对边长。已知，且ABCabcABC2bac，求的大小及的值。22acacbcAsinbB c【规律总结】 1余弦定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以 把角的关系转化为边的关系。余弦定理的边角互换功能 222sinsinsin2sinsincosABCBCA222sinsinsin2sinsincosBCACAB222sinsinsin2sinsincosCABABC32注重余弦定理的公式结构，已知条件
5、出现的形式，可转化为。222abc2cosbcA一、选择题：1在中，且，则等于（ ）ABC2bac2cacosBABCD1 43 42 42 32在中，若，且，则等于（ ）ABC4,2 2ABBC8BA BC uu u r uuu rACABCD2 244 22 10 3边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和的 （ ） A90B120C135D1504在中，则等于（ ）ABC()()()ac acb bcAA、 B、 C、 D、30o60o120o150o5在中，已知，则的大小为 （ ABC222sinsinsin3sinsinBCAACB）. A150.B30.C120.D60 二
6、、填空题6在ABC 中，已知 sinAsinBsinC=654，则 奎屯王新敞新疆cos A 7在中，已知，则最大角的余弦值是_ABC7,8ab13cos14C 8在ABC 中，cosC 是方程的一个根，则ABC 周长的10ba02322 xx最小值是_。 三、解答题：9在中，角的对边分别为ABCABC，tan3 7abcC ，（1）求；cosC（2）若，且，求5 2CB CA uu u r uu u rg9abc10在ABC中，已知角B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3， 求AB奎屯王新敞新疆x k b 1 . c o m411设 A 是ABC 中的最小角，且，则实数 a 的取值
7、范围是（ ）11cosaaAAa3Ba1C1a3Da0 12ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，如果 a2=b（b+c） ，求证：A=2B.一、选择题 1若三条线段的长为，则用这三条线段（ ）能组成锐角三角形 能组成直角三角形 能组成钝角三角形 不能组成三角形 2已知锐角三角形的边长分别为 1，3，a，则 a 的范围是（ ）ABCD 10, 810,810,88 ,103已知ABC 的三边长，则ABC 的面积为 （ ）6, 5, 3cbaABCD14142151524在 ABC 中,，则 ABC 的外接圆直径为（ ）1,45 ,2ABCaBSoA、 B、 C、 D、4 3
8、55 26 25ABC 中，a、b、c 分别为A、B、C 的对边，如果 2b=a+c.，B=30，ABC 的面积为，那么 b 等于（ ）23A. B.1+ C. D.2+2313232 3二、填空题x k b 1 . c o m6在中，已知，则的形状是 ABC2abc2sinsinsinABCABC7在中，的对边分别为，已知，三角形的面ABC,ABC, ,a b c60A o1b 积为，求的值为 。3a8在ABC 中，角A、B、C 所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S=（a2+b2c2） ，41则C 的度数是_ . 三、解答题9根据所给条件，判断的形状。ABC（1）； （2）；（3）co
9、scosaAbBcoscoscosabc ABC2cos22Abc c10在ABC 中，C60，BCa，ACb，ab165(1)试写出ABC 的面积 S 与边长 a 的函数关系式； (2)当 a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值1应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化； 2利用正、余弦定理解决平面几何中的问题。 1、解三角形：由三角形的六个元、解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至元素（其中至 少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地
10、，这里所说的元素还可以包 括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问解三角形的问 题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给 出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形。 2、解斜三角形的主要依据是：、解斜三角形的主要依据是： 设设ABC 的三边为的三边为 a、b、c，对应的三个角为，对应的三个角为 A、B、C。 （1）角与角关系：）角与角关系：A+
11、B+C = ； （2）边与边关系：）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，ab b； （3）边与角关系：）边与角关系：正弦定理正弦定理 （R 为外接圆半径）为外接圆半径） ；RCc Bb Aa2sinsinsin余弦定理余弦定理 c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：它们的变形形式有：a = 2R sinA，。ba BAsinsin bcacbA2cos222例 4在ABC 中，A30，cosB2sinBsinC奎屯王新敞新疆3(1)求证：ABC 为等腰三角形；一、选择题 1如果把直角
12、三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定2在ABC 中，若，则ABC 是（ ）cC bB aAsincoscosA有一内角为 30的直角三角形 B等腰直角三角形 C有一内角为 30的等腰三角形D等边三角形 3在ABC 中，AB=3，BC=，AC=4，则边 AC 上的高为（ ）13A.B. C. D.3 223323 2335ABC 中，则ABC 的周长为（ ）,3,3ABCA B4 3sin()33B4 3sin()36BC D6sin()33B6sin()36B二、填空题6已知ABC 的三个内角满足，且
13、 AB1，BC4，则边 BC 上的中线 AD 的2BAC6APBC长为 7已知三角形两边长分别为 1 和，第三边上的中线长为 1，则三角形的外接圆半径3为 8在中，的对边分别为，若，则的取值范围是 ABC,ABC, ,a b c2bacB。14在ABC 中，已知 a，b，c 分别为A，B，C 所对的边，S 为ABC 的面积若向量 p（4，a2b2c2） ，q（，S）满足 pq，则C_3本小题满分 12 分）如图，在中，90，ABCABC3AB1BC为内一点，90PABCBPC（）若，求；21PBPA（）若150，求.APBPBAtan三角形 ABC 中，内角 A，B，C 所对边 a，b，c 成公比小于 1 的等比数列，且 。sinsin()2sin2BACC（1）求内角 B 的余弦值；7（2）若，求 ABC 的面积3b 已知函数，当时取得最小值-4( )sin(2)(0,0)f xAxA3x (I)求函数的解析式；( )f x()若等差数列前 n 项和为，且，求数列的前 n nanS24(0),()6afaf1nS项和.nT15在ABC 中，则_.,2,34ABCABBCsinBAC86(2013 辽宁，理 6)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin
