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1、专题复习三1第三讲 导数的应用(二)知识梳理：知识梳理： 1函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值； 如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值 (2)求可导函数极值的步骤 求f(x)； 求方程f(x)0 的根； 检查f(x)在方程f(x)0 的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如 果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点 2函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f
2、(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的 最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函 数的最小值 (3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大 值和最小值的步骤如下： 求f(x)在(a，b)内的极值； 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个 是最小值 3利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题 中变量之间的函数关系式yf(x)； (
3、2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0； (3)比较函数在区间端点和f(x)0 的点的函数值的大小，最大(小)者为最大 (小)值； (4)回归实际问题作答易误警示两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念专题复习三2(2)f(x0)0 是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0 处取得极小值，但在x0 处
4、不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0 不是f(x)x3的极值点(3)若 yf(x)可导，则 f(x0)0 是 f(x)在 xx0处取极值的必要条件基础检测：基础检测： 1若 a0，b0，且函数 f(x)4x3ax22bx2 在 x1 处有极值，则 ab 的最大值等于( )A2 B3 C6 D9解析 f(x)12x22ax2b，由函数 f(x)在 x1 处有极值，可知函数 f(x)在x1 处的导数值为零，122a2b0，所以 ab6，由题意知 a，b 都是正实数，所以 ab229，当且仅当 ab3 时取到等号(ab2)(62)2已知函数 f(x) x4 x32x2，则 f(x)( )1443
5、A有极大值，无极小值 B有极大值，有极小值C有极小值，无极大值 D无极小值，无极大值3已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y x381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( 13 )A13 万件 B11 万件 C9 万件 D7 万件4函数 f(x)x33x21 在 x_2_处取得极小值5若函数 f(x)在 x1 处取极值，则 a_3_.x2ax1典例导悟：典例导悟： 【例 1】(2011重庆)设 f(x)2x3ax2bx1 的导数为 f(x)，若函数 yf(x)的图象关于直线 x 对称，且 f(1)0.12(1)求实数 a，b 的值；
6、(2)求函数 f(x)的极值审题视点 由条件 x 为 yf(x)图象的对称轴及 f(1)0 求得 a，b 的值，12专题复习三3再由 f(x)的符号求其极值解 (1)因 f(x)2x3ax2bx1，故 f(x)6x22axb.从而 f(x)62b，即 yf(x)的图象关于直线 x 对称，(xa6)a26a6从而由题设条件知 ，解得 a3.a612又由于 f(1)0，即 62ab0，解得 b12.(2)由(1)知 f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)令 f(x)0，即 6(x1)(x2)0，解得 x12，x21.当 x(，2)时，f(x)0，故 f(x)在(，2
7、)上为增函数；当 x(2,1)时，f(x)0，故 f(x)在(2,1)上为减函数；当 x(1，)时，f(x)0，故 f(x)在(1，)上为增函数从而函数 f(x)在 x12 处取得极大值 f(2)21，在 x21 处取得极小值 f(1)6.运用导数求可导函数 yf(x)的极值的步骤：(1)先求函数的定义域，再求函数 yf(x)的导数 f(x)；(2)求方程 f(x)0 的根；(3)检查 f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值【训练 1】 (2011安徽)设 f(x)，其中 a 为正实数ex1ax2(1
8、)当 a 时，求 f(x)的极值点；(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范43围解 对 f(x)求导得 f(x)ex.1ax22ax1ax22(1)当 a 时，若 f(x)0，则 4x28x30，43解得 x1 ，x2 .3212综合，可知专题复习三4x(，12)12(12，32)32(32，)f(x)00f(x)极大值 极小值 所以，x1 是极小值点，x2 是极大值点3212(2)若 f(x)为 R 上的单调函数，则 f(x)在 R 上不变号，结合与条件 a0，知ax22ax10 在 R 上恒成立因此 4a24a4a(a1)0，由此并结合 a0，知 0a1.【例 2】已知
9、a 为实数，且函数 f(x)(x24)(xa)(1)求导函数 f(x)；(2)若 f(1)0，求函数 f(x)在2,2上的最大值、最小值审题视点 先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值解 (1)f(x)x3ax24x4a，得 f(x)3x22ax4.(2)因为 f(1)0，所以 a ，有 f(x)x3 x24x2，所以 f(x)12123x2x4. 令 f(x)0，所以 x 或 x1.43又 f，f(1) ，f(2)0，f(2)0，(43)502792所以 f(x)在2,2上的最大值、最小值分别为 、.925027一般地，在闭区间a，b上的连续函数 f(x)必有最大值与最小值，在开区间(
10、a，b)内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数 yf(x)在闭区间a，b上单调递增，则 f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，则 f(a)是最大值，f(b)是最小值【训练 2】 函数 f(x)x3ax2b 的图象在点 P(1,0)处的切线与直线 3xy0 平行(1)求 a，b；(2)求函数 f(x)在0，t(t0)内的最大值和最小值解 (1)f(x)3x22ax由已知条件Error!Error!即Error!Error!解得Error!Error!专题复习三5(2)由(1)知 f(x)x33x22，f(x)3x26x3x(x2)，f(x)与 f(x)随 x 变化情况如下：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)22由 f(x)f(0)解得 x0，或 x3 因此根据 f(x)的图象当 03 时，f(x)的最大值为 f(t)t33t22，最小值为 f(2)2.【例 3】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量 y(升)关于行驶速度 x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(00.专题复习三6则当 x80 时，f(x)取到最小值 f(80)11.25(升)因此当汽车以 80 千米/小时行驶时耗油最省，最小耗油量为 11.25 升
