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1、概率统计高考，加油1. 甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为1()2p p，且各局胜负相互独立已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59（1）求p的值；（2）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E解: （1）当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9pp，解得13p或23p又12p，所以23p,6 分（2）依题意知的所有可能取值为2，4，65(2)9P，5520(4)(1)9981P52016(6)1 98181P，所以随机变量的分布列为：246P59
2、20811681所以的数学期望52016266246 9818181E,12 分2、第 26 届世界大学生夏季运动会将于2011 年 8 月 12 日到 23 日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12 名男志愿者和18 名女志愿者。将这30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位：cm） ：若身高在 175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在 175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取 5 人，再从这5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多
3、少？（2）若从所有“高个子”中选3 名志愿者， 用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望。答案】解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子” 18 人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 61305，所以选中的“高个子”有2 6112人，“非高个子”有36118人用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选中则()P A12 52 3 CC1071031因此，至少有一人是“高个子”的概率是 107（ 2 ） 依 题 意 ，的 取 值 为0, 1, 2, 3 5514CC)0(3 123 8P，5528C
4、CC)1(3 122 81 4P，5512CCC)2(3 121 82 4P，551CC)3(3 123 4P因此，的分布列如下 : 0123p 55145528551255115513551225528155140E【点评】：本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识3 某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4 次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为1 8的等差数列，他参加第
5、一次考核合格的概率超过1 2，且他直到参加第二次考核才合格的概率为9 32.(1) 求小李第一次参加考核就合格的概率P1；(2) 求小李参加考核的次数X的分布列和数学期望E(X) 解： ( 1) 由题意得 (1 P1)P118932， P114或58.P112，P158.( 2) 由(1 ) 知小李 4 次考核每次合格的概率依次为58，3 4，7 8，1，所以P(X1) 5 8，P(X2) 9 32，所以X的分布列为X 1234 P(X3) 15 813 47821 256，P(X4) 15 813 417 813 256，E(X) 15 829 32321 25643 256379 256.
6、4. 某学生在上学路上要经过4 个路口， 假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2min. （）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；（）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的分布列及期望 . 【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力. （）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，因为事件A 等于事件“这名学生 在 第 一 和 第 二 个 路 口 没 有 遇 到 红 灯 ， 在 第 三 个 路 口 遇
7、到 红 灯 ” ， 所 以 事 件A 的 概 率 为11141133327P A. （）由题意，可得可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）. 事件“2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k0，1，2，3，4） ，4 41220,1,2,3, 433kkkPkCk，即的分布列是0 2 4 6 8 P16813281827881181的期望是163288180246881812781813E. 5. 在我市“城乡清洁工程”建设活动中，社会各界掀起净化美化环境的热潮. 某单位计划在小区内种植,A B C D四棵风景树，受本地地理环境的影响，,A B两棵树的成活的概率均为12， 另外两
8、棵树,C D为进口树种，其成活概率都为(01)aa，设表示最终成活的树的数量. （1）若出现,A B有且只有一颗成活的概率与,C D都成活的概率相等，求a的值；（2）求的分布列（用a表示） ；（3）若出现恰好两棵树成活的的概率最大，试求a的取值范围 . P 5 89 3221 2563 256解： （1）由题意，得2112(1)22a，22a. ,2（2）的所有可能取值为0,1,2,3,4. ,3分02022 2211(0)(1)(1)(1)24pCCaa, 4 102021 22221111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2222pCCaCC aaa,5 22021102222 2222
9、2211111(2)( )(1)(1)(1)(1)(122)22224pCCaCC aaCC aaa,6分221122 2222111(3)( )(1)(1)2222apCC aaCC a,7 分2 2222 221(4)( )24apCC a,8分得的分布列为：,9分0 1 2 3 4 p21(1)4a1(1)2a21(122)4aa2a24a（3）由01a，显然21(1)4a1(1)2a, 24a2a,10分(2)(1)pp21(122)4aa211(1)(241)024aaa,11分(2)(3)pp21(122)4aa21(21)024aa,12分由上述不等式解得a的取值范围是22222
10、a. ,13分6. 随机抽取某厂的某种产品200 件，经质检，其中有一等品126 件、二等品 50件、三等品20 件、次 品 4 件已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为6 万元、2 万元、1 万元，而 1 件次品亏损2 万元设1 件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求 1 件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%如果此时要求 1 件产品的平均利润不小于4.73 万元，则三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P，50(2)0.25200P20(1)0
11、.1200P，4(2)0.02200P故的分布列为：6 2 1 -2 P0.63 0.25 0.1 0.02 （2）6 0.6320.251 0.1( 2)0.024.34E（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时 1 件产品的平均利润为 ( )60.72(10.70.01)( 2)0.014.76(00.29)E xxxx依题意，( )4.73E x，即4.764.73x，解得0.03x所以三等品率最多为3%7. 某中学的高二 (1) 班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组（1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；（2）经过一个
12、月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68,70,71,72,74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由. 解：（ 1）416015nPm某同学被抽到的概率为115设有x名男同学，则45604x，3x男、女同学的人数分别为3,1（ 2 ） 把3名 男 同 学 和1名 女 同 学 记 为123,a aab， 则 选 取 两 名 同 学
13、的 基 本 事 件 有121312123231323(,),(,),(, ),(,),(,),(, ),(,),(,),(, ),a aa aa baaa aa baaaaab123( ,),(,),( ,)b ab ab a共12种，其中有一名女同学的有6种选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122P（3）16870717274715x ，26970707274715x22 2 1(6871)(7471)4 5s ，22 2 2(6971)(7471)3.2 5s第二同学的实验更稳定. 8某班同学利用春节进行社会实践，对25,55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的
14、调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族” ，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图并求n、a、p的值；（2）从年龄段在40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1 人年龄在40, 45)岁的概率 . 解： （1）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以高为0.30.065频率直方图如下：第一组的人数为1202000.6，频率为0.0450.2，所以20010000.2n由题可知， 第二组的频率为03，所以第二组的人数为10000.33
15、00，所以1950.65300p第四组的频率为0.0350.15，所以第四组的人数为10000.15150，所以1500.460a（2）因为40,45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1，所以采用分层抽样法抽取6 人，40,45)岁中有 4 人，45,50)岁中有 2 人. 设40,45)岁中的 4 人为a、b、c、d，45,50)岁中的 2 人为m、n，则选取2 人作为领队的有( , )a b、( , )a c、( , )a d、( ,)a m、( , )a n、( , )b c、( ,)b d、( ,)b m、( , )b n、( ,)c d、( ,)c m、( , )c n、( ,)d m、( , )d n、(, )m n， 共 15 种；其中恰有 1 人年龄在40,45)岁的有( ,)a m、( , )a n、( ,)b m、( , )b n、( ,)c m、( , )c n、( ,)d m、( , )d n，共 8 种. 所以选取的2 名领队中恰有1 人年龄在40,45)岁的概率为815P9甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 32和 43假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影
