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1、1第七章 数据分析建模方法(下) * 在建立数学模型的过程中,经常需求建立变量之间的关系. * *由于由于对研研讨对象的内部机理不甚了解象的内部机理不甚了解, ,不不能能经过合理的假合理的假设, ,或根据物理定律、原理或根据物理定律、原理, , 经过机理分析法而得到机理分析法而得到. .问题处理思理思绪2*选择适当的数学式适当的数学式对变量量间的关系的关系进展展拟合合.*经过对数据充分察看和分析数据充分察看和分析, 获得数据所含得数据所含 信息信息;*提示提示变量量间的内在的内在联络;xoy* 借助于由借助于由实验或丈量得到的一批离散数据或丈量得到的一批离散数据.3两两类变量量关关系系 确定性
2、关系确定性关系 确定的函数关系确定的函数关系相关关系相关关系 存在相依关系存在相依关系,但未到达相但未到达相互确定的程度互确定的程度.两两类数数据据知知规律律(函数函数)的的测试数据数据(在特定在特定时间点或点或间隔上的数据隔上的数据)呈呈现随机性的数据随机性的数据,可看成具有某种概可看成具有某种概率分布的随机率分布的随机样本本值.4 针对两种不同两种不同类型的数据型的数据, 有不同的建立模有不同的建立模型方法型方法:1. 数据数据拟合法合法(适用于第一适用于第一类数据数据)根本思想根本思想 知函数知函数 y= f(x) 的一的一组测试数据数据 (xi , yi)， (i=1，2，n)，寻求一
3、个函数求一个函数(x)，使，使(x)对上述上述测试数据数据的的误差差较小，即小，即(xi)yi，于是可以用，于是可以用(x)来近似替代来近似替代f (x).常用的数据常用的数据拟合方法：普通插合方法：普通插值法、最小二法、最小二乘法、乘法、样条函数光条函数光顺法等法等.5 插插值法的根本思想法的根本思想 寻觅 f(x)的近似替代函数的近似替代函数(x), 在插在插值节点点xi 上上满足足 ( xi )=yi， (i=1,2,，n)，其他点用其他点用(x)近似替代近似替代f (x ), 称称(x)为f (x)的的插插值函数函数.6 最小二乘法根本思想最小二乘法根本思想 寻觅 f (x)的近似替代
4、的近似替代函数函数(x), 使使2. 随机分析方法随机分析方法 对于随机数据于随机数据进展展拟合合, ,可用可用统计学中的学中的回回归分析方法或分析方法或时间序列分析方法序列分析方法. . 二二阅历模型的建立模型的建立 以上两种建模方法都是建立在对数据进展充分分析的根底上.7 寻觅或或选择适当的函数适当的函数拟合合变量之量之间的关系的关系(函数关系或回函数关系或回归关系关系)是重要的是重要的环节.普普通通步步骤 1绘制数据分布制数据分布图； 2分析数据分布分析数据分布图； 3选择函数关系方式函数关系方式. 1) 经过分析数据分布分析数据分布图可以可以获得得对变量量间关系的感性关系的感性认识,
5、构成初步的看法构成初步的看法, 以便以便于于对问题做做进一步的分析一步的分析.见见p1568氮施肥量氮施肥量N 土豆土豆产量数据分布量数据分布图9磷施肥量磷施肥量 土豆土豆产量数据分布量数据分布图102分析数据分布分析数据分布图； 对数据分布图进展分析,可以分析出变量的关系是：1线性的性的还是非是非线性的？性的？2有无周期性？有无周期性？3呈呈现何种何种变化化趋势？变化率如何？化率如何？，等等有用的初步结论.11 例例1 建立一个建立一个简约的函数关系式来描画的函数关系式来描画某个地域人的身高和体重的某个地域人的身高和体重的对应关系关系, 数据数据见表表7.4(p156). 曲曲线特征是体重特
6、征是体重W 随身高随身高H 的增的增长而而单调增增长，但，但可以察看到是非可以察看到是非线性增性增长.身高体重数据分布身高体重数据分布图12练习试分析以下分析以下问题 1. 氮施肥量氮施肥量N、磷施肥量、磷施肥量 P 关于土豆关于土豆产量量的数据分布的数据分布图(P153例例7.1.1). 2. 海浪潮高度海浪潮高度x 随随时间t 的数据分布的数据分布图.133选择函数关系方式函数关系方式 1. 方式尽能方式尽能够简约, 尽能尽能够线性化；性化；原原那那么么2. 根据根据实践践问题的精度要求的精度要求,符合符合实践践规律律. 续例续例7.2.1 选择幂函数选择幂函数 W= , 描画身描画身高体
7、重关系高体重关系.优点点 此函数可以此函数可以线性化性化.两两边取取对数数, 有有14 变换为线性函数性函数 例例7.2.2 可可选二次函数二次函数 注：其中注：其中 b0= y(0) = 15.18. 描画氮肥施肥量与土豆描画氮肥施肥量与土豆产量量间的的变量关系量关系. 关于磷肥施肥量和土豆关于磷肥施肥量和土豆产量的量的变量关系可量关系可选择威布威布尔模型：模型：15合理性合理性?3. y 是是单调升函数升函数. 也可以也可以选择S 函数：函数： 16S函数也函数也满足：足： 3. y 是是单调升函数；升函数； 哪个模哪个模型更好型更好？分析分析 S 模型所含参数更少模型所含参数更少, 另外
8、假另外假设令令可得可得线性模型性模型17 重要定理重要定理(维尔斯脱拉斯斯脱拉斯 ) 假假设函数函数f(x)在在有限有限闭区区间上延上延续, 那么存在一个多那么存在一个多项式序式序列列Pn(x)在有限在有限闭区区间a , b上一致收上一致收敛于于f(x).称称 f(x) 在在 a ,b 上可由多上可由多项式函数逼近式函数逼近. 例例6.2.3 估估计供水塔的水流量供水塔的水流量 试用以下数据估用以下数据估计恣意恣意时辰辰( (包括水包括水泵正在正在输水的水的时间内内) )从水塔流出的流量从水塔流出的流量f(t),f(t),并估并估计一天的一天的总用水量用水量. .18时间(秒秒) 水位水位(0
9、.01英尺英尺) 时间(秒秒) 水位水位(英尺英尺) 0 3175 46636 3350 3316 3110 49953 3260 6635 3054 53936 3167 10619 2994 57254 3087 37 2947 60574 3012 17921 2892 64554 2927 21240 2850 68535 2842 25223 2795 71854 2767 28543 2752 75021 2697 32284 2697 79254 水水泵开开动 35932 水水泵开开动 82649 水水泵开开动 39332 水水泵开开动 85968 3475 39435 3550 89953 3397 43318 3445 92370 334019某小某小镇某天水塔水位分布某天水塔水位分布图 20思索思索 为什么思索用多什么思索用多项式函数？有什么式函数？有什么优点？点？ 假假设 水位高度或水塔的水容量是延水位高度或水塔的水容量是延续变化的化的. 可以可以选择n 次多次多项式式Pn(x)来近似描画水位随来近似描画水位随时间的的变化化规律律.问题归结为选择足足够大的大的n 及估及估计各个系数各个系数值.21参见电子科技大学参见电子科技大学p228 “非线性交调的频率设计问题非线性交调的频率设计问题.
