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1、习题六6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同? 答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化力学平衡态与热力学平衡态不同当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、 无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡而个别粒子所受合外力可以不为零而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何? 答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律， 通过统计平均的办法，求出热运动的宏
2、观结果，再由实验确认的方法从宏观看， 在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低， 温度越高， 这种近似的准确度越高理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点6-3 何谓微观量 ?何谓宏观量 ?它们之间有什么联系? 答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量如微观粒子( 原子、分子等 ) 的大小、质量、 速度、能量等 描述大量微观粒子( 分子或原子 ) 的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量气体宏观量是微观量统计平均的结果6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率? iN21 4 6 8 2 )sm(1 i
3、V10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 解：平均速率2864215024083062041021iii NVNV7.21418901sm方均根速率2864215024081062041021223222 2iiiNVNV6.251sm6-5 速率分布函数)(vf的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度，N为系统总分子数) （1）vvfd)(（2）vvnfd)(（ 3）vvNfd)(（4）v vvf0d)(（5）0d)(vvf（6）21d)(vvvvNf解：)(vf：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.
4、 (1) vvfd)(：表示分布在速率v附近，速率区间vd内的分子数占总分子数的百分比. (2) vvnfd)(：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度(3) vvNfd)(：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数(4)v vvf0d)(：表示分布在21 vv区间内的分子数占总分子数的百分比(5) 0d)(vvf：表示分布在0的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1. (6)21d)(vvvvNf：表示分布在21 vv区间内的分子数. 6-6 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用处? 答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应
5、的速率叫做气体分子的最概然速率物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有Pv的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大分布函数的特征用最概然速率Pv表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率6-7 容器中盛有温度为T的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么 ? 答：该气体分子的平均速度为0. 在平衡态， 由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同从统计看气体分子的平均速度是0. 6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子
6、和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗? 答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此， 一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小6-9 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了，温度也因此而升高吗? 答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度， 分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能温度与系统的整体运动无关只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化6-10
7、 题 6-10 图(a) 是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题 6-10 图(b) 是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高? 答：图 (a) 中 (1) 表示氧， (2) 表示氢；图 (b) 中(2) 温度高题 6-10 图6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么? 答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义温度微观本质是分子平均平动动能的量度6-12 下列系统各有多少个自由度：(1) 在一平面上滑动的粒子；(2) 可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币；(3) 一弯成三角形的金属
8、棒在空间自由运动解： (1) 2，(2)3，(3)66-13 试说明下列各量的物理意义（1）kT 21（2）kT 23（3）kTi2（4）RTiMMmol2（5）RTi2（6）RT 23解： (1) 在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为k 21T(2) 在平衡态下，分子平均平动动能均为kT 23. (3) 在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为kTi2. (4) 由质量为M，摩尔质量为molM，自由度为i的分子组成的系统的内能为RTiMM2mol. (5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为RTi2. (6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能RT 2
9、3，或者说热力学体系内，1 摩尔分子的平均平动动能之总和为RT 23. 6-14 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同?(1) 分子数密度； (2) 气体质量密度； (3) 单位体积内气体分子总平动动能；(4) 单位体积内气体分子的总动能解： (1) 由 kTpnnkTp,知分子数密度相同；(2) 由 RTpMVMmol知气体质量密度不同；(3) 由kTn 23知单位体积内气体分子总平动动能相同；(4) 由kTin2知单位体积内气体分子的总动能不一定相同6-15 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数? 解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况
10、下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为M的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和即RTiMME2mol是温度的单值函数6-16 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么? (1) 分子的平均平动动能；(2) 分子的平动动能；(3) 内能解： (1) 相等，分子的平均平动动能都为kT 23(2) 不相等，因为氢分子的平均动能kT 25，氦分子的平均动能kT 23(3) 不相等，因为氢分子的内能RT 25，氦分子的内能RT236-17 有一水银气压计，当水
11、银柱为0.76m 高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为2.0 10-4m2，当有少量氦(He) 混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为27，试计算有多少质量氦气在管顶(He 的摩尔质量为0.004kg mol-1)? 解：由理想气体状态方程RT MMpVmol得RTpVMMmol汞的重度51033.1Hgd3mN氦气的压强Hg)60.076.0(dP氦气的体积4100. 2)60. 088.0(V3m)27273()100.228. 0()60.076. 0(004.04 HgRdM)27273(31.8)100 .228. 0()60.076. 0(004.04 Hg
12、d61091.1Kg6-18 设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-18 图所示求(1) 分布函数)(vf的表达式；(2)a与0v之间的关系；(3) 速度在 1.50v到2.00v之间的粒子数(4) 粒子的平均速率(5)0.50v到 10v区间内粒子平均速率题 6-18 图解： (1) 从图上可得分布函数表达式)2(0)()2()()0(/)(00000vvvNfvvvavNfvvvavvNf)2(0)2(/)0(/)(00000vvvvvNavvNvavvf)(vf满足归一化条件，但这里纵坐标是)(vNf而不是)(vf故曲线下的总面积为N，(2) 由归一化条件可得0000 02032ddvv
13、vvNaNvaNvvavN(3)NvvaN 31)5.12(00(4) N个粒子平均速率00020 0200ddd)(1d)(vvv vavvvavvvvNfNvvvfv02 02 0911)2331(1vavavNv(5)05 .0 v到01v区间内粒子平均速率00005. 0 115. 0ddvvvvNNvNNNNv v00005.05 .0 0211dd)(vvvvvNvav NNvvvfNN2471)243(1d12 0103 003 015. 002100av Nvav vav Nvvav Nvvv05.0v到01v区间内粒子数NavvvaaN4183)5 .0)(5 .0(21 0
14、001976702 0vNavv6-19 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于1100ppvv与1100ppvv之间的分子数占总分子数的百分比解：令Pvvu，则麦克斯韦速率分布函数可表示为dueuNdNu224因为1u,02.0u由ueu NNu224得%66.102.0141eNN6-20 容器中储有氧气，其压强为p0.1 MPa(即1atm)温度为 27，求(1)单位体积中的分子n； (2)氧分子的质量 m；(3)气体密度；(4)分子间的平均距离e；(5)平均速率v；(6)方均根速率2v；(7)分子的平均动能解： (1) 由气体状态方程nkTp得24 235 1045.2 3001038
15、.110013.11.0kTpn3m(2) 氧分子的质量26 23 0mol1032.51002.6032.0NMmkg(3) 由气体状态方程RT MMpVmol得13.030031.810013.11.0032.05 mol RTpM3mkg(4) 分子间的平均距离可近似计算932431042.7 1045. 211nem(5) 平均速率58.446032.030031.860. 160.1molMRTv1sm(6) 方均根速率87.48273.1mol2 MRTv1sm(7) 分子的平均动能20231004.13001038.12525kTJ6-21 1mol氢气，在温度为27时，它的平动
16、动能、转动动能和内能各是多少? 解：理想气体分子的能量RTiE2平动动能3t5 .373930031.8 23 tEJ转动动能2r249330031.8 22 rEJ内能5i5.623230031.8 25 iEJ6-22 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2 倍，求 (1) 氧气和氢气分子数密度之比； (2) 氧分子和氢分子的平均速率之比解： (1) 因为nkTp则1HO nn(2) 由平均速率公式mol60.1MRTv41molmolOHHO MMvv6-23 一真空管的真空度约为1.38 10-3 Pa(即 1.0 10-5 mmHg) ，试求在 27时单位体积中的分子数及分子的平均自由程( 设分子的有效直径d310-10 m)解：由气体状态方程nkTp得17 233 1033.33001038.11038.1kTpn3m由平均自由程公式 nd2215.7 1033.3109211720m6-24 (1)求氮气
