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1、丏题八 数学思想方法 第 4讲 转化与化归思想 思 想 方 法 概 述 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题 思想方法概述 转化与化归思想方法 ， 就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化 ， 进而得到解决的一种方法 一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题 ， 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题 ， 将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位 ， 数学问题的解决 ， 总离不开转化与化归 ， 如未知向已知的转化 、 新知识向旧知识的转化 、 复杂问题向简单问题的转化 、 不同数学问题之间的互相转化 、 实际问题向数
2、学问题的转化等 各种变换 、 具体解题方法都是转化的手段 ， 转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中 (1)把什么问题进行转化 ， 即化归对象 . (2)化归到何处去 ， 即化归目标 . (3)如何进行化归 ， 即化归方法 . 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心 . 转化与化归思想方法用在研究 、 解决数学问题时 ，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形 ， 也就是转化到另一种情境使问题得到解决 ，这种转化是解决问题的有效策略 ， 同时也是获取成功的思维方式 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理 、基本公式或基本图形问题 . (2)换元法：运用 “ 换元 ”
3、 把式子转化为有理式或使整式降幂等 ， 把较复杂的函数 、 方程 、 不等式问题转化为易于解决的基本问题 . (3)数形结合法：研究原问题中数量关系 (解析式 )与空间形式 (图形 )关系 ， 通过互相变换获得转化途径 . (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题 ， 达到化归的目的 . (5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化 ，并证明特殊化后的问题 、 结论适合原问题 . (6)构造法： “ 构造 ” 一个合适的数学模型 ， 把问题变为易于解决的问题 . (7)坐标法：以坐标系为工具 ， 用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径 . (8)类比法：运用类比推理
4、， 猜测问题的结论 ， 易于确定 . (9)参数法：引进参数 ， 使原问题转化为熟悉的形式进行解决 . (10)补集法：如果正面解决原问题有困难 ， 可把原问题的结果看做集合 A， 而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集 U， 通过解决全集 体现了正难则反的原则 . 热点一 特殊与一般的转化 热点二 函数、方程、不等式之间的转化 热点三 正难则反的转化 热点分类突破 热点一 特殊与一般的转化 例 1 ( 1 ) 过抛物线 4 y 的焦点的动弦 ， 直线l 1 ， l 2 是抛物线两条分别切于 A ， B 的切线 ， 则 l 1 ， l 2的交点的纵坐标为 ( ) A . 1 B . 4 C
5、. 14D . 116解析 找特殊情况 ， 当 y1， 则 A( 2， 1)， B(2,1)， 过点 y 1 (x 2)， 即 x y 1 0. 同理 ， 过点 x y 1 0， 则 0， 1). 答案 A ( 2 ) 已知函数 f ( x ) a( a 0 且 a 1) ，则 f1100f2100 f99100的值为 _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析 由于直接求解较困难 ， 可探求一般规律 ， f ( x ) f (1 x ) a xa x aa 1 x aa xa x a a x aa xa x a a xa a xa x a 1 ， f1100 f 2100 f 99100 f1
6、100 f99100f2100 f98100 f49100 f51100 f50100 1 49 12992. 答案 992 一般问题特殊化 ， 使问题处理变得直接 、 简单 可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律 ， 从而达到成批处理问题的效果 . 思 维 升 华 变式训练 1 (1)在 角 A、 B、 a、 b、 c，若 a、 b、 则 _. c o s A c o s c o s A c o s C 解析 根据题意 ， 所求数值是一个定值 ， 故可利用满足条件的直角三角形进行计算 . 令 a 3， b 4， c 5， 则 且 c o s A 45 ， c o s C 0 ， 代入所
7、求式子，得c o s A c o s c o s A c o s C45 01 45 045. 答案 45 (2)已知函数 f(x)是定义在实数集 且对任意实数 xf(x 1) (1 x)f(x)，则 _. f52 解析 因为 xf(x 1) (1 x)f(x)， 所以f x 1 f x 1 使 f(x)特殊化 ， 可设 f(x) xg(x)， 其中 g(x)是周期为 1的奇函数 ， 再将 g(x)特殊化 ， 可设 g(x) x， 则 f(x) x， 经验证 f ( x ) x s i n 2 x 满足题意，则 f52 0. 答案 0 热点二 函数、方程、不等式之间的转化 例 2 ( 1 )
8、定义运算： ( a b ) x 2 ，若关于 a b ) x 0， 解得 x 1 . 答案 D (2)已知函数 f(x) 3e|x|t 1， )，使得对任意的 x 1， m， m Z且 m1， 都有 f(xt) 3则 _. 解析 因为当 t 1， )且 x 1， m时 ， xt 0， 所以 f(x t) 3ext ext 1 ln x x. 所以原命题等价转化为：存在实数 t 1， )， 使得不等式 t 1 ln x x 1， m恒成立 . 令 h(x) 1 ln x x(x 1). 因为 h (x) 1 0， 1x 所以函数 h(x)在 1， )上为减函数 ， 又 x 1， m， 所以 h(
9、x)h(m) 1 ln m m. 所以要使得对 x 1， m， 只须 1 ln m m 1. 因为 h ( 3 ) l n 3 2 l n (1e 3e ) l n 1e 1 ， h ( 4 ) l n 4 3 l n (1e 4e 2 ) 0 ， t4t 4 ， a 8， 即实数 ， 8. 答案 ( ， 8 (2)设 f(x)是定义在 若 f(1 ax f(2 a)对任意 a 1,1恒成立 ， 则 _. 解析 f(x)在 由 f(1 f(2 a)， 可得 1 2 a， a 1,1， a(x 1) 1 0， 对 a 1,1恒成立 . 令 g(a) (x 1)a 1， 则当且仅当 g( 1) x
10、 2 0， g(1) x 0恒成立 ， 解之 ， 得 x 0或 x 1. 故实数 x 1或 x 0. 答案 ( ， 1 0， ) 热点三 正难则反的转化 例 3 若对于任意 t 1,2， 函数 g(x) 2t,3)上总不为单调函数 ， 则实数 _. 2 解析 g (x) 3(m 4)x 2， 若 g(x)在区间 (t,3)上总为单调函数 ， 则 g (x) 0在 (t,3)上恒成立 ， 或 g (x) 0在(t,3)上恒成立 . 由 得 3(m 4)x 2 0， 即 m 4 3x在 x (t,3)上恒成立 ， 2x 所以 m 4 3 则 m 4 1， 即 m 5； 2x 由 得 m 4 3x在
11、 x (t,3)上恒成立 ， 2x 则 m 4 23 9 ， 即 m 373 . 所以，函数 g ( x ) 在区间 ( t, 3) 上总不为单调函数的 m 的取值范围为3730， 求实数 解 如果在 1,1内没有值满足 f(c)0， 则f 1 0 ，f 1 0p 12或 p 1 ，p 3 或 p 32 p 3 或 p 32， 取补集为 3ln(1) xy 2 真题感悟 3 4 1x 2 1 1y 2 1 解析 因为 0y. 采用赋值法判断 ， 1 2 真题感悟 3 4 当 x 1， y 0时 ， 0， 1以函数 f(x)在区间 0,1上单调递增 ， 排除 A， D； 取 a 1， 则函数 f(x) ， 1题精练 1 2 3 4 5 6 当 0 x 1 时， f ( x ) e x 1e xe 2 x 1e x 0 ， 所以函数 f(x)在区间 0,1上单调递增 ， 排除 B， 故选 C. 答案 C 押题精练 1 2 3 4 5 6 2 . 过双曲线 1 上任意一点 P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于 R 、 Q 两点，则 PQ
