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1、 第一章 集合与常用逻辑用语 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 课前学案 基础诊断 课堂学案 考点通关 高考模拟 备考套餐 1. 理解命题的概念。 2. 了解 “ 若 p ，则 q ” 形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。 考 纲 导 学 3 . 理解必要条件、充分条件与充要条件的含义。 夯基固本 基础自测 课前学案 基础诊断 1 命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以 1 _ _ _ 的陈述句叫做命题。其中 2 _ _ _ 的语句叫真命题， 3 _ _ _ 的语句叫假命题。 判断真假 判断为真 判断为假 2 四种命题及其关系 ( 1) 四种命
2、题间的相互关系 若 綈 p , 则 綈 q 若 q，则 p 若 綈 q , 则 綈 p ( 2) 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有 7 _ 的真假性； 两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性 8 _ _ 。 相同 无关 3 充分条件与必要条件 ( 1) 如果 p q ，那么 p 是 q 的 9 _ _ _ ， q 是 p 的 10 _ _ 。 ( 2) 如果 p q ， q p ，那么 p 是 q 的 11 _ _ 。 充分条件 必要条件 充要条件 1 个区别 “ A 是 B 的充分不必要条件 ” 与 “ A 的充分不必要条件是 B ” 的区别 “ A 是 B 的充分不必
3、要条件 ” 中， A 是条件， B 是结论； “ A 的充分不必要条件是 B ” 中， B 是条件， A 是结论。在进行充分、必要条件的判断中，要注意这 两种说法的区别。 2 条规律 四种命题间关系的两条规律 ( 1) 逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假。 ( 2) 当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假。同时要关注 “ 特例法 ” 的应用。 3 种方法 判断充分条件和必要条件的方法 ( 1) 定义法； ( 2) 集合法； ( 3) 等价转化法。 1 下列命题是真命题的为 ( ) A 若1x1y，则 x y B 若 1 ，则 x 1 C 若 x y
4、 ，则 x y D 若 x y ，则 由1x1y得 x y ， A 正确，易知 B 、 C 、 D 错误， 故选 A 。 答案： A 2 命题 “ 若 4，则 t 1 ” 的逆否命题是 ( ) A 若 4，则 t 1 B 若 4，则 t 1 C 若 t 1 ，则 4D 若 t 1 ，则 4解析： 以 否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即 “ 若 4，则 t 1 ” 的逆否命题是 “ 若 t 1 ，则 4” ，故选 C 。 答案： C 3 设集合 A ， B ，则 “ A B ” 是 “ A B A ” 成立的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件
5、D 既不充分也不必要条件 解析： 由 A B ，得 A B A ；反过来，由 A B A ，且 ( A B ) B ，得 A B ，因此， “ A B ” 是 “ A B A ” 成立的充要条件，故选 C 。 答案： C 4 已知集合 A 1 ， a ， B 1, 2,3 ，则 “ a 3 ” 是 “ A B ” 的 ( ) A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 解析： 当 a 3 时 A 1,3 显然是 B 的子集，但 A B 时， a 3 或者 a 2 ，故为充分不必要条件。 答案： A 5 给定两个命题 p ， q ，若 綈 p 是 q
6、的必要而不充分条件，则 p 是 綈 q 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析： 由 q 綈 p 且 綈 綈 q 且 綈 ，所以 p 是 綈 q 的充分不必要条件。 答案： A 考点例析 通关特训 课堂学案 考点通关 考点一 四种命题间的关系 【例 1 】 ( 1) 命题 “ 若 x 1 ，则 x 0 ” 的否命题是 ( ) A 若 x 1 ，则 x 0 B 若 x 1 ，则 x 0 C 若 x 1 ，则 x 0 D 若 x 1 ，则 x 0 ( 2) 命题 “ 若 x ， y 都是偶数，则 x y 也是偶数 ” 的逆否命题是 ( )
7、A 若 x y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 B 若 x y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 C 若 x y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数 D 若 x y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数 解析： ( 1 ) 因为 “ x 1 ” 的否定为 “ x 1 ” ， “ x 0 ” 的否定为 “ x 0 ” ，所以命题 “ 若 x 1 ，则 x 0 ” 的否命题为： “ 若 x 1 ，则 x 0 ” 。 ( 2) 由于 “ x ， y 都是偶数 ” 的否定表达是 “ x ， y 不都是偶数 ” ， “ x y 是偶数 ”的否定表达是 “ x y 不是偶数 ” ，故原命题的逆 否
8、命题为 “ 若 x y 不是偶数，则 x与 y 不都是偶数 ” 。 答案： ( 1 ) C ( 2) C 名师点拨 判断四种命题间关系的方法 ( 1) 由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题。 ( 2) 原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用。 通关特训 1 对于原命题 “ 单调函数不是周期函数 ” ，下列陈述正确的是( ) A 逆命题为 “ 周期函数不是单调函数 ” B 否命题 “ 单调函数是周期函数 ” C 逆否命题 “ 周期函数是单调函数 ”
9、 D 以上三者都不正确 解析： 将原命题改写成 “ 若 p 则 q ” 的形式为 “ 若一个函数是单调函数，则这个函数不是周期函数 ” 。其逆命题为 “ 若一个函数不是周期函数，则这个函数是单调函数 ” ，故 A 错；否命题为 “ 若一个函数不是单调函数，则这个函数是周期函数 ” ，故B 错；逆否命题为 “ 若一个函数是周期函数，则这个函数不是单调函数 ” ，故 C 错，故选 D 。 答案： D 考点二 命题的真假判断 【例 2 】 ( 1 ) 已知命题 “ 若函数 f ( x ) (0 ， ) 上是增函数，则m 1 ” ，则下列结论正确的是 ( ) A 否命题 “ 若函数 f ( x ) (
10、0 ， ) 上是减函数，则 m 1 ” 是真命题 B 逆命题 “ 若 m 1 ，则函数 f ( x ) (0 ， ) 上是增函数 ” 是假命题 C 逆否命题 “ 若 m 1 ，则函数 f ( x ) (0 ， ) 上是减函数 ” 是真命题 D 逆否命题 “ 若 m 1 ，则函数 f ( x ) (0 ， ) 上不是增函数 ” 是真命题 ( 2) 下列命题中为真命题的是 ( ) A 命题 “ 若 x y ，则 x | y |” 的逆命题 B 命题 “ 若 x 1 ，则 1 ” 的否命题 C 命题 “ 若 x 1 ，则 x 2 0 ” 的否 命题 D 命题 “ 若 0 ，则 x 1 ” 的逆否命题
11、 解析： ( 1 ) 命题 “ 若函数 f ( x ) (0 ， ) 上是增函数，则 m 1 ” 是真命题，所以其逆否命题 “ 若 m 1 ，则函数 f ( x ) (0 ， ) 上不是增函数 ” 是真命题。 ( 2) A 中逆命题为 “ 若 x | y |，则 x y ” 是真命题； B 中否命题为 “ 若 x 1 ，则 1 ” 是假命题； C 中否命题为 “ 若 x 1 ，则 x 2 0 ” 是假命题； D 中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题。 答案： ( 1 ) D ( 2) A 名师点拨 命题的真假判断方法 ( 1) 给出一个 命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要
12、说明它是假命题，只需举一反例即可。 ( 2) 由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假。 通关特训 2 下列命题： “ 全等三角形的面积相等 ” 的逆命题； “ 若 0 ，则 a 0 ” 的否命题； “ 正三角形的三个角均为 60 ” 的逆否命题； “ 若 x 3 ，则 x 6 0 ” 的否命题； “ 若 0 ， a ， b R ，则 a b 0 ” 的逆否命题。 其中真命题的序号是 _ _ _ ( 把所有真命题的序号填在横线上 ) 。 解析： “ 全等三角形的面积相等 ” 的逆命题为 “ 面积相等的三角形全等 ” ，显然该命题为假命题； “ 若 0 ，则
13、a 0 ” 的否命题为 “ 若 0 ，则 a 0 ” ，而由 0 可得 a ， b 都不为零，故 a 0 ，所以该命题是真命题； 由于原命题 “ 正三角形的三个角均为 60 ” 是一个真命题，故其逆否命题也是真命题； 易判断原命题的逆命题假，则原命题的否命题假； 逆否命题为 “ a ， b R ，若 a 0 或 b 0 ，则0 ” 为真命题。 答案： 考点三 充分条件、必要条件的判断 【例 3 】 ( 1) 20 14 湖北 设 U 为全集， A ， B 是 集合，则 “ 存在集合 C 使得 A C ， B U C ” 是 “ A B ” 的 ( ) A 充分不必要的条件 B 必要不充分的条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要的条件 ( 2) 设 a ， b R ，则 “ a b ” 是 “ a | a | b
