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1、专题六 解析几何 第 1讲 直线与圆 主 干 知 识 梳 理 热 点 分 类 突 破 真 题 与 押 题 考查重点是直线间的平行和垂直的条件 、 与距离有关的问题 直线与圆的位置关系 (特别是弦长问题 )， 此类问题难度属于中等 ， 一般以选择题 、 填空题的形式出现 ， 有时也会出现解答题 ，多考查其几何图形的性质或方程知识 考 情 解 读 主干知识梳理 (1)点斜式： y k(x 直线过点 P1( 且斜率为 k， 不包括 . (2)斜截式： y b(l在 且斜率为 k， 不包括 . ( 3 ) 两点式：y y1x 直线过点 ， ，且 包括坐标轴和平行于坐标轴的直线 ). ( 4 ) 截距式
2、：xa1( a 、 b 分别为直线的横、纵截距，且 a 0 ，b 0 ，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线 ). (5)一般式： C 0(其中 A， ). 当不重合的两条直线 (1)两直线平行 l2(2)两直线垂直 l2k1 1. 提醒 当一条直线的斜率为 0， 另一条直线的斜率不存在时 ， 两直线也垂直 ， 此种情形易忽略 . 3. 三种距离公式 ( 1 ) A ( ， B ( 两点间的 距离： | . ( 2 ) 点到直线的距离： d | C |其中点 P ( x0，直线方程： C 0 ) . ( 3 ) 两平行线间的距离： d | C 2 C 1 |其中两平行线方程分别为 l 1
3、： C 1 0 ， l 2 ： C 2 0 ) . 提醒 应用两平行线间距离公式时 ， 注意两平行线方程中 x， (1)圆的标准方程： (x a)2 (y b)2 (2)圆的一般方程： F 0(4F0). 圆与圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系：相交 、 相切 、 相离 ， 代数判断法与几何判断法 . (2)圆与圆的位置关系：相交 、 相切 、 相离 ， 代数判断法与几何判断法 . 热点一 直线的方程及应用 热点二 圆的方程及应用 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 热点分类突破 例 1 (1)过点 (5,2)， 且在 倍的直线方程是 ( ) y 12 0 y 12 0或 2x 5y 0
4、2y 1 0 2y 1 0或 2x 5y 0 热点一 直线的方程及应用 思维启迪 不要忽略直线过原点的情况； 解析 当直线过原点时方程为 2x 5y 0， 不过原点时，可设出其截距式为y2 a 1 ， 再由过点 (5,2)即可解出 2x y 12 0. 答案 B (2)“ m 1” 是 “ 直线 x y 0和直线 x 0互相垂直 ” 的 ( ) 思维启迪 分别考虑充分性和必要性 . 解析 因为 m 1时 ， 两直线方程分别是 x y 0和x y 0， 两直线的斜率分别是 1和 1， 两直线垂直 ， 所以充分性成立； 当直线 x y 0和直线 x 0互相垂直时 ， 有1 1 ( 1) m 0，
5、所以 m 1， 所以必要性成立 . 答案 C (1)要注意几种直线方程的局限性 两点式 、斜截式要求直线不能与 而截距式方程不能表示过原点的直线 ， 也不能表示垂直于坐标轴的直线 . (2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时 ， 主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件 ， 即 “ 斜率相等 ” 或 “ 互为负倒数 ” 可考虑用数形结合的方法去研究 . 思 维 升 华 变式训练 1 已知 A(3,1)， B( 1,2)， 若 y x 1， 则 ) 2x 4 x 3 2y 1 0 y 1 0 12 解析 由题意可知 ， 直线 y x 1对称 . 设点 B( 1,2)关于直线 y x 1的对称点为
6、 B ( 则有y 0 2x 0 1 1y 0 22x 0 12 1x 0 1y 0 0，即 B ( 1 , 0 ) . 因为 B (1,0)在直线 所以直线 斜率为 k 1 03 112 ， 所以直线 方程为 y 1 12 ( x 3) ， 即 x 2y 1 正确 . 答案 C 热点二 圆的方程及应用 例 2 (1)若圆 1,0)， (3,0)两点 ， 且与 则圆 ) A.(x 2)2 (y 2)2 3 B.(x 2)2 (y )2 3 C.(x 2)2 (y 2)2 4 D.(x 2)2 (y )2 4 3 3 思维启迪 确定圆心在直线x 2上 ， 然后待定系数法求方程； 解析 因为圆 1,
7、0)， (3,0)两点 ， 所以圆心在直线 x 2上 ， 又圆与 所以半径 r 2， 设圆心坐标为 (2， b)， 则 (2 1)2 4， 3， b ， 所以选 D. 3 答案 D (2)已知圆 且圆心在直线 x 2的右侧 ， 若圆 ， 且与直线2x y 4 0相切 ， 则圆 ) A.(x 1)2 4 B.(x 1)2 4 (y 1)2 4 (y 1)2 4 3 5 思维启迪 根据弦长为 2 及圆与 3 解析 由已知，可设圆 M 的圆心坐标为 ( a, 0) ， a 2 ，半径为 r ，得 a 2 2 3 2 2 a 4|4 5 r ，解得满足条件的一组解为 a 1 ，r 2 ，所以圆 x 1
8、)2 . 答案 B 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径 ， 而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系 ， 在求解圆的方程时 ， 要根据所给条件选取适当的方程形式 (1)几何法 ，通过研究圆的性质 、 直线和圆 、 圆与圆的位置关系 ，进而求得圆的基本量和方程； (2)代数法 ， 即用待定系数法先设出圆的方程 ， 再由条件求得各系数 . 思 维 升 华 变式训练 2 (1)已知圆 C： (y 3)2 4， 过点 A( 1,0)的直线 相交于 P、 若 | 2 ， 则直线 ) 1或 4x 3y 4 0 1或 4x 3y 4 0 1或 4x 3y 4 0 1或 4x 3y 4 0 3 解析
9、当直线 l与 易知 x 1符合题意； 当直线 l与 设直线 y k(x 1)， 线段 ， 由于 | 2 3 ，易得 | 1. 又 | | 3 k |k 2 1 1 ，解得 k 43 ， 此时直线 l 的方程为 y 43 ( x 1) . 故所求直线 x 1或 4x 3y 4 . 答案 B (2)已知圆 4y 直线 4x 3y 2 0与圆 ， 且| 6， 则圆 _. 解析 设所求圆的半径是 r， 依题意得 ， 抛物线 41,0)， 则圆 C 的圆心坐标是 ( 0 , 1 ) ，圆心到直线 4 x 3 y 2 0 的距离 d |4 0 3 1 2|4 2 3 2 1 ， 则 r 2 d 2 (|
10、2) 2 10 ， 故圆 (y 1)2 10. (y 1)2 10 例 3 如图 ， 在平面直角坐标系 点 A(0,3)， 直线 l： y 2x 的半 径为 1， 圆心在 (1)若圆心 y x 1上 ， 过点 的切线 ， 求切线的方程； 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系 思维启迪 先求出圆 再利用几何法求出切线斜率； 解 由题设 ， 圆心 y 2x 4和直线 y x 1的交点 ， 解得点 C(3,2)， 于是切线的斜率必存在 . 设过 A(0,3)的圆 y 3， 由题意，|3 k 1|k 2 1 1 ，解得 k 0 或34 ， 故所求切线方程为 y 3或 3x 4y 12 0. (2)若圆 ， 使 | 2| 求圆心 思维启迪 将 | 2|为 可知点 解 因为圆心在直线 y 2x 4上 ， 所以圆 x a)2 y 2(a 2)2 1. 设点 M(x， y)， 因为 | 2| 所以 x 2 y 3 2 2 x 2 y 2 ， 化简得 2y 3 0， 即 (y 1)2 4， 所以圆心 (0， 1)为圆心 ， 2为半径的圆上 . 由题意 ， 点 M(x， y)在圆 所以圆 有公共点 ， 则 2 1 | 2 1， 即 1 a 2 2 a 3 2
