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1、 第二章 函数、导数及其应用 第八节 函数与方程 课前学案 基础诊断 课堂学案 考点通关 高考模拟 备考套餐 1. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 考 纲 导 学 2. 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。 夯基固本 基础自测 课前学案 基础诊断 1 函数的零点 (1 ) 函数零点的定义 对于函数 y f ( x ) ，我们把使 1 _ _ 成立的实数 x 叫做函数 y f ( x ) 的零点。 ( 2) 几个等价关系 方程 f ( x ) 0 有实数根 函数 y f ( x ) 的图象与 2 _ _ 有交点 函数 y
2、 f ( x ) 有 3_ 。 ( 3) 函数零点的判定 ( 零点存在性定理 ) 如果函数 y f ( x ) 在区间 a ， b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 4_ _ _ _ ，那么函数 y f ( x ) 在区间 5 _ _ 内有零点，即存在 c ( a ， b ) ，使得 6 _ _ ，这个 7 _ 也就是 f ( x ) 0 的根。 f ( x ) 0 x 轴 零点 f ( a )f( b ) 0 ( a， b ) f ( c ) 0 c 2 二次函数 y c ( a 0) 的图象与零点的关系 0 0 0 二次函数 y c ( a 0) 的图象 与 x 轴的交点 ( ) ，
3、( ) ( ) 无交点 零点个数 8 _ 9 _ 无 两个 一个 3. 二分法 ( 1) 二分法的定义 对于在区间 a ， b 上连续不断且 10 _ _ _ _ _ 的函数 y f ( x ) ，通过不断地把函数 f ( x ) 的零点所在的区间 11 _ _ _ _ ，使区间的两个端点逐步逼近 12 _ _ ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 ( 2) 用二分法求函数 f ( x ) 零点近似值的步骤 第一步，确定区间 a ， b ，验证 13 _ _ _ ，给定精确度 。 第二步，求区间 ( a ， b ) 的中点 第三步，计算 f ( ： f ( a )f( b ) 0分为二 零点
4、 f ( a )f( b ) 0 若 14 _ _ ，则 若 15 _ _ _ _ _ ，则令 b 此时零点 ( a ， ； 若 16 _ _ _ _ ，则令 a 此时零点 ( b ) 。 第四步，判断是否达到精确度 ；即若 | a b | ，则得到零点近似值 a ( 或 b ) 。 否则重复第二、第三、第四步。 f ( x 1 ) 0 f ( a )f( x 1 ) 0 f ( x 1 )f ( b ) 0 1 个口决 用二分法求函数零点的方法 用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断。 2 个防范 函数零点
5、的两个易错点 ( 1) 函数的零点不是点，是方程 f ( x ) 0 的实根。 ( 2) 函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个 区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件。 3 种方法 判断函数零点个数的方法 ( 1) 直接求零点。 ( 2) 零点的存在性定理。 ( 3) 利用图象交点的个数。 3 个结论 有关函数零点的结论 ( 1) 若连续不断的函数 f ( x ) 在定义域上是单调函数，则 f ( x ) 至多有一个零点。 ( 2) 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。 ( 3)
6、 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号。 1 函数 f ( x ) 2x 2 在区间 ( 0,1 ) 内的零点个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 解析： 函数 f ( x ) 2x 2 显然是一个单调递增且是连续的函数，同时 f ( 0 ) f ( 1 ) ( 1) 1 1 0 。由函数零点存在性定理可知，函数在 ( 0 ,1) 内必存在唯一一个零点，故选 B 项。 答案： B 2 若函数 f ( x ) b 有一个零点是 2 ，那么函数 g ( x ) 零点是 ( ) A 0,2 B 0 ，12C 0 ，12D 2 ，12解析： 2 a b 0 ， g (
7、x ) 2 2 x 1) 。 零点为 0 和12。 答案： C 3 根据表格中的数据，可以判定方程 x 2 0 的一个根所在的区间为 ( ) x 1 0 1 2 3 1 x 2 1 2 3 4 5 A .( 1,0) B ( 0,1 ) C ( 1,2 ) D ( 2,3 ) 解析： 设函数 f ( x ) x 2 ，从表中可以看出 f ( 1 ) f ( 2 ) 0 ，因此方程 x 2 0 的一个根所在的区间为 (1 ,2) 。 答案： C 4 用二分法求函数 y f ( x ) 在区间 ( 2,4 ) 上的近似解，验证 f ( 2 ) f ( 4 ) 0 ，给定精确度 取区间 ( 2,4
8、) 的中点 x 1 2 42 3 ，计算得 f ( 2 ) f ( x 1 ) 0 ，则此时零点 x 0 _ _ ( 填区间 ) 。 解析： 由 f ( 2 ) f ( 3 ) 0 可知 x 0 ( 2,3 ) 。 答案： ( 2,3 ) 5 已知函数 f ( x ) x a 在区间 ( 0, 1) 上有零点，则实数 a 的取值范围是_ _ 。 解析： 函数 f ( x ) x a 在 ( 0, 1) 上有零点。 f ( 0) f ( 1) 0 。即 a ( a 2) 0 ，解得 2 a 0 。 答案： ( 2,0) 考点例析 通关特训 课堂学案 考点通关 考点一 判断函数零点所在的区间 【例
9、 1 】 ( 1) 函数 f ( x ) 2x 1的零点所在的大致区间是 ( ) A ( 1,2) B ( 2,3 ) C ( 3,4 ) D ( 1,2 ) 与 ( 2,3 ) ( 2) 若 a b c ，则函数 f ( x ) ( x a ) ( x b ) ( x b ) ( x c ) ( x c )( x a ) 的两个零点分别位于区间 ( ) A ( a ， b ) 和 ( b ， c ) 内 B ( ， a ) 和 ( a ， b ) 内 C ( b ， c ) 和 ( c ， ) 内 D ( ， a ) 和 ( c ， ) 内 解析： ( 1 ) f ( x ) 2x 12x
10、l n( x 1) 。 当 1 x 2 时， l n ( x 1) 0 ，2x 0 ，所以 f ( x ) 0 ，故函数 f ( x ) 在 ( 1, 2) 上没有零点。 f ( 2 ) 1 l 1 ， f ( 3 ) 23 l 2 3l l 8 2 2 e ， 8 即 l 2 ，即 f ( 3) 0 ， 又 f ( 4) 12 l 0 ， f ( x ) 在 ( 2,3) 内存在一个零点。 ( 2) 易知 f ( a ) ( a b )( a c ) ， f ( b ) ( b c )( b a ) ， f ( c ) ( c a )( c b ) 。又 a b c ，则f ( a ) 0
11、， f ( b ) 0 ， f ( c ) 0 ，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在 ( a ， b ) 和( b ， c ) 内。 答案： ( 1 ) B ( 2) A 名师点拨 判断函数零点所在区间的方法 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断。 通关特训 1 函数 f ( x ) l x x 3 的零点一定在区间 ( ) A ( 0,1) B ( 1,2 ) C ( 2,3 ) D ( 3,4 ) 解析： 方法一：函数 f ( x
12、 ) l x 3 的定义域为 (0 ， ) ，并且在 (0 ， )上递增连续，又 f ( 2) l 1 0 ， f ( 3 ) 1 0 ， 函数 f ( x ) l x 3 有唯一的零点且零点在区间 ( 2, 3) 内。 方法二：方程 l x 3 0 可化为 l 3 x ，在同一坐标系中作出 y l y 3 x 的图象如图所示，可观察判断出两图象交点横坐标在区间 ( 2, 3) 内。 答案： C 考点二 判断函数零点的个数 【例 2 】 ( 1) 函数 f ( x ) 2x在 x R 上的零点的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 ( 2) 已知函数 f ( x ) x 1 ， x 0 ，l x ， x 0 ，则函数 y f ( f ( x ) 1 的零点个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 解析： ( 1 ) 注意到 f ( 1) f ( 0 ) 12 ( 1) 0 ，因此函数 f ( x ) 在 ( 1,0 ) 上必有零点。又 f ( 2) f ( 4 ) 0 ，因此函数 f ( x ) 的零点个数是 3
