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1、第四节 基本不等式 课前学案 基础诊断 课堂学案 考点通关 高考模拟 备考套餐 1. 了解基本不等式的证明过程。 考 纲 导 学 2. 会用基本不等式解决简单的最大 ( 小 ) 值问题。 夯基固本 基础自测 课前学案 基础诊断 1 基本不等式 a ) 基本不等式成立的条件： 1 _ _ 。 (2) 等号成立的条件：当且仅当 2 _ 时取等号。 a 0 ， b 0 a b 2 几个重要的不等式 (1) 3 _ _(a ， b R ) 。 (2)ba 4 _ _( a ， b 同号 ) 。 (3) a a ， b R ) 。 (4)a a ， b R ) 。 2 2 3 算术平均数与几何平均数 设
2、 a 0 ， b 0 ，则 a ， b 的算术平均数为 5 _ ，几何平均数为 6 _ _ ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 a 4 利用基本不等式求最值问题 已知 x 0 ， y 0 ，则 (1) 如果积 定值 p ，那么当且仅当 7 _ _ 时， x y 有最小值是 8_ 。 ( 简记：积定和最小 ) (2) 如果和 x y 是定值 p ，那么当且仅当 9 _ 时， 最大值是 10 _ _ 。( 简记 ：和定积最大 ) x y 2 p x y p 24 1 个技巧 公式的逆用 运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如 2 a a ， b
3、 0) 逆用就是 a a ， b 0) 等，还要注意 “ 添 ”“ 拆 ” 项技巧和公式等号成立的条件等。 2 个变形 基本不等式的变形 (1)a a ， b R ，当且仅当 a b 时取等号 ) ； (2) a 21a1b( a 0 ， b 0 ，当且仅当 a b 时取等号 ) 。 3 个注意点 利用基本不等式求最值应注意的问题 (1 ) 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其存在前提 “ 一正、二定、三相等 ” 的忽视。要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可。 (2) 在运用基本不等 式时，要特别注意 “ 拆 ”“ 拼 ”“ 凑 ” 等技巧，使其满足基本不等式中 “ 正 ”“ 定
4、 ”“ 等 ” 的条件。 (3 ) 连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致。 1 函数 y x 1x( x 0) 的值域为 ( ) A ( ， 2 2 ， ) B (0 ， ) C 2 ， ) D (2 ， ) 解析： x 0 ， y x 1x 2 ，当且仅当 x 1 时取等号。 答案： C 2 已知 m 0 ， n 0 ，且 81 ，则 m n 的最小值为 ( ) A 18 B 36 C 81 D 243 解析： m 0 ， n 0 ， m n 2 18 。当且仅当 m n 9 时，等号成立。 答案： A 3 若 M 4a( a R ， a 0) ，则 M
5、 的取值范围为 ( ) A ( ， 4 4 ， ) B ( ， 4 C 4 ， ) D 4,4 解析： M 4a a 4a。 当 a 0 时， M 4 ；当 a 0 时， M 4 。 答案： A 4 若 x 1 ，则 x 4x 1的最小值为 _ _ _ 。 解析： x 4x 1 x 1 4x 1 1 4 1 5 。 当且仅当 x 1 4x 1，即 x 3 时等号成立。 答案： 5 5 已知 x 0 ， y 0 ， lg x lg y 1 ，则 z 2x5_ _ _ 。 解析： 由已知条件 lg x lg y 1 ，可知 10 。 则2x5y 2 1 02 ，故2x5y 2 ，当且仅当 2 y
6、5 x 时取等号。又 10 ，即 x 2 ， y 5 时等号成立。 答案： 2 考点例析 通关特训 课堂学案 考点通关 考点一 利用基本不等式证明简单不等式 【 例 1 】 已知 a 0 ， b 0 ， a b 1 ，求证：1a1b18 。 证明：1a1b121a1b， a b 1 ， a 0 ， b 0 ， 1a1ba baa 2 ab2 2 4 。 1a1b18 ， 当且仅当 a b 12时等号成立 。 名师点拨 利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等式及其变形，同时注意基本不等式成立的条件。对待证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后
7、利用基本不等式进行证明。 通关特训 1 已知 a 0 ， b 0 ， a b 1 ，求证： a 12 b 12 2 。 证明： a 0 ， b 0 ，且 a b 1 ， a 12 b 12 a 12 1 b 12 1 a 12 12b 12 12a b 3242 2 。 当且仅当 a 12 1 ， b 12 1 ， 即 a b 12时等号成立。 考点二 利用基本不等式求最值 【例 2 】 (1) 若 0 x 1 ，则当 f ( x ) x (4 3 x ) 取得最大值时， x 的值为 ( ) ) 若正数 x ， y 满足 x 3 y 5 则 3 x 4 y 的最小值是 ( ) 5 D 6 (3
8、) 设 a ， b 都为正实数，且1a1b 1 ，则2 b2 ) 析： (1) 0 x 1 ， f ( x ) x (4 3 x ) 133 x (4 3 x ) 133 x 4 3 3，当且仅当 3 x 4 3 x ，即 x 23时，取得 “ ” ，故选 D 项。 (2) 由 x 0 ， y 0 ， x 3 y 5 15 y35 x 1 ， 则 3 x 4 y (3 x 4 y )15 y35 x3 x5 y954512 y5 x135 2 3 x5 y12 y5 x 5 ，当且仅当3 x5 y12 y5 x，即 x 1 ， y 12时等号成立。 (3) a 0 ， b 0 ，且1a1b 1
9、 ， 2 b2 a2 b2 b1a1b121a1b1222916， 当且仅当1a1b12，即 a 43， b 4 时，等号成立，故选 A 。 答案： ( 1 )D (2)C ( 3)A 名师点拨 利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略 (1) 知和求积的最值。求解此类问题的关键：明确 “ 和为定值，积有最大值 ” 。但应注意以下两点： 具备条件 正数； 验证等号成立。 (2) 知积求和的最值。明确 “ 积为定值，和有最小值 ” ，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件。 (3) 构造不等式求最值。在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“ 变量替换 ” 或 “
10、 常数 1 ” 的替换，构造不等式求解。 通关特训 2 ( 1) 已知 x 0 ， y 0 ， x 2 y 2 8 ，则 x 2 y 的最小值是 ( ) A 3 B 4 ) 已知 a b 0 ，则 6b a b 的最小值是 _ _ _ 。 解析： (1) 依题意，得 ( x 1)(2 y 1) 9 ， ( x 1) (2 y 1) 2 x 1 2 y 1 6 ， 即 x 2 y 4 。 当且仅当x 1 2 y 1 ，x 2 y 2 8 ，即x 2 ，y 1时等号成立。 x 2 y 的最小值是 4 ，故选 B 。 (2) a b 0 ， b ( a b ) b a 当且仅当 a 2 b 时等号成
11、立。 6b a b 64 2 4 16 ， 当且仅当 a 2 2 时等号成立。 当 a 2 2 ， b 2 时， 6b a b 取得最小 值 16 。 答案： ( 1)B (2)16 考点三 基本不等式的实际应用 【例 3 】 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在 2014 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量 ( 即该厂的年产量 ) x 万件与年促销费用 t ( t 0) 万元满足 x 4k2 t 1( k 为常数 ) 。如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是 1 万件。已知 20 14年生产该产品的固定投入为 6 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1. 5 倍 ( 产品成本包括固定投入和再投入两部分 ) 。 (1) 将该厂家 2014 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数； 解析： (1) 由题意有 1 4 得 k 3 ，故 x 4 32 t 1。 故 y 6 12 x (6 12 x ) t 3 6 x t 3 64 32 t 1
