《2017届高三一轮：选4.5.2《不等式的证明》ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017届高三一轮：选4.5.2《不等式的证明》ppt课件（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 选修 4 5 不等式选讲 第二节 不等式的证明 课前学案 基础诊断 课堂学案 考点通关 高考模拟 备考套餐 考 纲 导 学 了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式。 夯基固本 基础自测 课前学案 基础诊断 1 比较法 ( 1 ) 作差比较法 ： 知道 a b a b 0 ， a b a b 0 ， 因此要证明 a b ， 只要证明 1_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 即可 ， 这种方法称为作差比较法 。 ( 2 ) 作商比较法 ： 由 a b 0 1 且 a 0 ， b 0 ， 因此当 a 0 ， b 0 时要证明
2、 a b ， 只要证明 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 即可 ， 这种方法称为作商比较法 。 a b 0 1 2 分析法 从所要证明的 3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 出发 ， 逐步寻求使它成立的充分条件 ， 直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 ， 从而得出要证的命 题成立 ， 这种证明方法称为分析法 ， 即 “ 执果索因 ” 的证明方法 。 3 综合法 从已知条件出发 ， 利用定义 、 公理 、 定理 、 性质等 ， 经过一系列的推理 、 论证而得出命题成立 ， 这种证明方法称为综合法即 “ 由因寻果 ” 的方法 。 4 放缩法 在证明不等式时 ， 有时我们要
3、把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小 ， 简化不等式 ， 从而达到证明的目的 。 这种方法称为放缩法 。 结论 5 反证法的步骤 ( 1 ) 作出否定 4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 的假设 ； ( 2 ) 进行推理 ， 导出 5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 3 ) 否定 6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 肯定 7 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。 结论 矛盾 假设 结论 6 柯西不等式的二维形式 ( 1 ) 柯西不等式的代数形式：设 ( 8_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ( 当且仅当 号成立 )
4、 。 ( 2 ) 柯西不等式的向量形式：设 ， 为平面上的两个向量，则 | | | | |。 ( 3 ) 二维形式的三角不等式：设 R ，那么 7 柯西不等式的一般形式 柯西不等式的一般形式：设 ， ( ( ( 。 a 1 b 1 a 2 b 2 2 8 基本不等式的一般形式 ( ， R ) 1 个关系 综合法与分析法的内在联系 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程。 3 个依据 放缩法证明不等式的理论依据主要有 ( 1 ) 不等式的传递性； ( 2 ) 等量加不等量为不
5、等量； ( 3 ) 同分子 ( 分母 ) 异分母 ( 分子 ) 的两个分式大小的比较。 注意：放缩要适度， “ 放 ” 和 “ 缩 ” 的方向与 “ 放 ” 和 “ 缩 ” 的量的大小是由题目分析，多次尝试得出。 1 若 x 1 ， 则函数 y x 1x16 1的最小值为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。 解析： y x 1x16 1 x 1x16x 1x 2 16 8 ， 当且仅当 x 2 3 时等号成立。 答案： 8 2 已知 a ， b 是不相等的正数 ， x a y a 则 x ， y 的大小关系是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。 解析： 4( a b )214(
6、 a b 2 2( a b ) 14( a b a b ) 14( a b 2 。 又 x 0 ， y 0 ，且 x y ， y x 。 答案： y x 3 已知 a ， b ， c R ， 则1a1b1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。 解析： 因为1a1b 2 1b1c 2 1 1a1c 2 1 三式相加可得1a1b1c1 当且仅当 a b c 时取等号。 答案：1a1b1c1 已知关于 x 的不等式 x 4x a 3 ， 在 x ( a ， ) 上恒成立 ， 则实数 a 的最小值为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。 解析
7、： x 4x a x a 4x a a 2 4 a 4 a ， a 4 3 ， a 1 。 答案： 1 5 A 1 1213 1n与 n ( n N*) 的大小关系为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。 解析： 当 n 1 时， A n ， 当 n 1 时， A 1 1213 1n1n1n1n 1nn 。 n 个 综上可知， A n 。 答案： A n 考点例析 通关特训 课堂学案 考点通关 考点一 比较法证明不等式 【例 1 】 设 a ， b 是非负实数 ， 求证 ： 。 证明： 由 a ， b 是非负实数，作差得 ( a b ) b a ) ( a b ) ( a )5 ( b
8、)5) 。 当 a b 时， a b ，从而 ( a )5 ( b )5，得 ( a b ) ( a )5 ( b )5) 0 ；当 a a b ，从而 ( a )5 ( b )5，得 ( a b )( a )5 ( b )5) 0 。 所以 。 名师点拨 作差比较法证明不等式的步骤 ( 1 ) 作差； ( 2 ) 变形； ( 3 ) 判断差的符号； ( 4 ) 下结论。其中 “ 变形 ” 是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负。 通关特训 1 设不等式 |2 x 1| 1 的解集为 M 。 ( 1 ) 求集合 M ； ( 2 ) 若 a ， b
9、 M ， 试比较 1 与 a b 的大小 。 解析： ( 1 ) 由 |2 x 1| 1 ， 得 1 2 x 1 1 ， 解得 0 x 1 ， 所以 M x |0 x 1 。 解析： ( 2 ) 由 ( 1 ) 和 a ， b M 可知 0 a 1 , 0 b 1 。 所以 ( 1 ) ( a b ) ( a 1 )( b 1 ) 0 ， 故 1 a b 。 考点二 分析法证明不等式 【例 2 】 设 a ， b ， c 0 ，且 1 。 求证： ( 1 ) a b c 3 ； 证明： ( 1 ) 要证 a b c 3 ， 由于 a ， b ， c 0 ，因此只需证明 ( a b c )2 3
10、 。 即证： 2( 3 ， 而 1 ， 故需证明： 2( 3( 。 即证： 而这可以由 当且仅当 a b c 时等号成立 ) 证得。 所以原不等式成立。 ( 2 ) 3 ( a b c ) 。 证明： ( 2 ) a b 由于 ( 1 ) 中已证 a b c 3 。 因此要证原不等式成立，只需证明1a b c 。 即证 a b c 1 ， 即证 a b c 而 a b c 所以 a b c a b c 33时等号成立 。 所以原不等式成立。 名师点拨 分析法证明不等式的说明 分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的
11、关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆。 通关特训 2 已知 a 、 b 、 c 均为正实数 ， 且 a b c 1 ， 求证 ： ( 1 a )( 1 b )( 1 c ) 8 ( 1 a )( 1 b )( 1 c ) 。 证明： a 、 b 、 c R ，且 a b c 1 ， 要证原不等式成立， 即 证 ( a b c ) a ( a b c ) b ( a b c ) c 8 ( a b c ) a ( a b c ) b ( a b c ) c ， 也就是证 ( a b ) ( c a ) ( a b ) ( b c ) ( c a ) ( b c ) 8 ( b c )( c a )( a b ) 。 ( c a ) ( a b ) 2 c a a b
