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1、1,第7-4章 系统的频域变换,7-8 功率谱与能量谱,7-8-1 能量信号与功率信号1、能量信号,2,设 i(t) 为流过电阻R的电流，v(t)为电阻R上的电压,瞬时功率为,平均功率可表示为,在一个周期内，R消耗的能量,令R = 1 ，则在整个时间域内，实信号f(t)的,3,讨论上述两个式子，只可能出现两种情况：(有限值) (有限值) 满足式的称为能量信号，满足式称功率信号。,平均功率,能量,【例题7-1】判断下面的信号是功率信号还是能量信号。,4,为功率信号,一般规律 一般周期信号为功率信号； 非周期信号，在有限区间有值，为能量信号； 有一些非周期信号，也是非能量信号，如u(t)是功率信号
2、； tu(t)为非功率非能量信号;(t)是无定义的非功率非能量信号。,5,7-8 功率谱与能量谱,7-8-2能量谱在时域中计算能量信号 的能量为,6,令 ，则上式可以很简洁的表示为,也就是 的傅立叶变换为,若 ,利用频域卷积定理，则有,7,帕塞瓦尔方程,它表明： 在时域中计算信号 的能量必须等于在频域中计算 的能量； 信号的能量随频率的分布只与频谱函数 的幅度谱 有关，与相位谱无关。,称为能量密度谱，表示单位带宽的信号能量。,令,7-8-3 功率谱,假设存在一个功率有限的随机信号 ，如图所示。,8,截尾函数,7-8功率谱与能量谱,当截取的长度T为有限值时，很明显为能量有限信号 截尾信号的能量：
3、对于随机信号 可知其功率为,9,当 的极限存在时，我们定义,为功率密度谱函数，简称功率谱,7-8功率谱与能量谱,功率谱的物理意义: 单位频带内的信号功率随频率的变化规律。 反映了信号功率在频域内的分布情况。 功率谱函数是偶函数。 它的曲线所覆盖的面积数值为信号总功率的大小，它保留了信号幅度信息而丢掉了相位信息，所以有相同幅度谱的信号，不论它们的相位谱是否相同，都有相同的功率谱。功率谱用于描述随机信号的频域特征，尤其是对于平稳信号，其功率谱密度函数与自相关函数正好成傅立叶变换对。,10,7-9 连续系统的频域分析,7-9-1系统函数在时域中用冲激响应 表征系统自身的固有特性，激励 与冲激响应 和
4、系统响应 之间的关系为若令 ， ， 则 由卷积定理可得到 式中 称为系统函数，或称为传输函数。,11,7-9 连续系统的频域分析,系统对输入信号 的频谱的修改或过滤取决于系统函数 ， 改变了包含在输入信号中的各频率分量（振幅和相位两个方面）的相对比例，也就是 对输入信号 的各种频率分量加权。系统函数的另一种表达式 说明了系统函数只取决于零状态响应变换式 与激励信号变换式 的比值，与激励形式 无关。,12,7-9连续系统的频域分析,系统函数 是 的复函数，可以表示为 式中 称幅频特性，是 的偶函数； 称相频特性，是 的奇函数。,13,7-9 连续系统的频域分析,当给定激励 ，则系统的响应为 式中
5、： 为激励的幅度频谱； 为激励的相位频谱； 为响应的幅度频谱； 为响应的相位频谱。,14,7-9 连续系统的频域分析,则时间函数 应该指出，在频域分析中，求逆变换积分运算是较麻烦的，所以研究系统的频域分析，主要目的不是用来求时域解，而使通过对系统性能的分析，研究如何对激励信号进行加工处理，来改变其频谱结构，从而进一步研究系统，综合系统，设计利用系统。,15,（1）,【7-15】,16,解：,偶函数,奇函数,17,解：,7-10 无失真传输系统,无失真传输是系统对激励信号 的响应 满足 上式说明：无失真传输系统的输出信号 与输入信号波形完全相同，大小只差比例系数K，出现的时间延时了常数 。式中：
6、K为增益系数， 为延迟时间。如图所示,18,无失真传输,7-10 无失真传输系统,对上式取傅立叶变换得式中 上式是无失真传输系统的系统函数。由此可知，系统无失真传输条件为系统函数的幅频特性 系统函数的相频特性,19,20,无失真传输系统的频谱图,其幅频特性是常数K，与频率无关，称幅度不失真, 其相频特性与频率 成正比， 是过原点的一条直线，称相位不失真。,输入的信号经过系统输出后的相频特性与频率 不成正比，如图所示的系统，则系统的响应波形与输入波形相比，产生了的失真。,21,图7-51 不同的输入对应不同输出,7-11 理想低通滤波器的响应,7-11-1 理想低通滤波器的冲激响应理想低通滤波器
7、是实际低通滤波器的理想模型，这种滤波器把高于特定频率 （称截至频率）的频率成分全部滤掉而低于截止频率的频率成分加权一个常数后，全部予以输出，由此，理想低通滤波器的系统函数为下图示出了理想低通滤波器的频谱特性。,22,7-11 理想低通滤波器的响应,理想低通滤波器的冲激响应为：,23,理想低通滤波器的系统函数,7-11 理想低通滤波器的响应,波形如图所示。,24,理想低通滤波器的激励与响应图,该式说明了理想低通滤波器的冲激响应 是一个峰值位于 时刻的抽样函数，,系统的响应 与激励 相比，响应信号 产生了严重的失真。这是由于理想低通滤波器的有限带宽把激励信号 的无限带宽中高于截止频率 的频率成分全
8、部滤掉的缘故。 冲激响应峰值 与截止频率 成正比，波形主瓣持续时间为 ，与截止频率 成反比。 当截止频率 时，滤波器就成了一个全通滤波器（无失真系统），峰值出现的时刻 ，趋于原点，输出的峰值为 ，趋近于冲激信号。,25,上图还表示了理想低通滤波器是一个非因果系统，系统地激励信号 是在 时刻加入的，但是在 区间，响应已出现，即 ，响应出现在先于激励之前，这在物理上是不可实现的系统。 理想低通滤波器是可实现滤波器的理想模型，可实现低通滤波器是对理想模型的修正，它逼近理想的滤波特性，这就是研究理想低通滤波器的意义所在。,26,7-11-2 理想低通滤波器的阶跃响应,当激励信号 时，系统的阶跃响应为由
9、卷积定理阶跃响应可以表示为由于,27,则,7-11 理想低通滤波器的响应,28,7-11 理想低通滤波器的响应,式中 ，第二项积分式是正弦积分函数，记作,29,与Si(y) 函数,与 Si(y) 函数，如图所示,正弦积分函数一般表示为,7-11 理想低通滤波器的响应,从图中可以看出，正弦积分函数 有下列性质：（1）Si(y) 为奇函数，即 Si(y)= -Si(-y);（2） Si(0)=0；（3） 。由可以清楚地看出：,30,理想低通滤波器的阶跃响应,7-11 理想低通滤波器的响应,（1）在 时刻，激励 作用于系统，但在 时刻， ，说明系统有延时作用。（2）由于理想低通滤波器具有有限带宽，所
10、以它的阶跃响应从最小值到最大值之间有一个过渡过程，即有上升时间 ，从图可知上升时间 ，从上图可知上升时间 理想低通滤波器的阶跃响应揭示了一个重要的结论，即上升时间 与系统带宽 成反比，带宽愈宽，上升时间越小，信号前沿就越陡。,31,7-11 理想低通滤波器的响应,【例题7-17】如图所示，已知信号 求其输出。解：则输出信号,32,例题7-11,7-12 信号的时域抽样与抽样定理,7-12-1 信号的时域抽样抽样定理：一个有限频宽信号 ，其频谱只占据 范围，即最高频率为 （或 ），则信号 可以唯一地用等时间间隔 点上的瞬时值（或抽样值）来表示。最大抽样间隔为 ，最低抽样频率为 ，抽样定理要求 和
11、 必须满足条件：,33,7-12 信号的时域抽样与抽样定理,模拟信号的数字化处理过程,34,7-12 信号的时域抽样与抽样定理,（一）理想抽样抽样系统可用框图表示，如下图所示。图中 是连续时间信号， 是抽样开关信号， 是抽样信号。,35,抽样系统,7-12 信号的时域抽样与抽样定理,36,假设抽样开关信号 矩形脉冲序列，并已知连续时间信号 ，则可得到抽样信号 ，如图所示。,7-12 信号的时域抽样与抽样定理,矩形脉冲宽度 愈窄，抽样值则愈精确，当 时，矩形脉冲序列的极限就是冲激序列。当抽样开关信号为冲激序列时，称为理想抽样（或冲激抽样）。设抽样开关信号是冲激序列，记作 利用 函数的性质，可得到抽样信号为,37,7-12 信号的时域抽样与抽样定理,设连续时间信号 的频谱函数为 ,可写出冲激序列 的傅立叶变换。根据频域卷积定理，就很方便地得到抽样信号 的频谱函数,38,7-12 信号的时域抽样与抽样定理,下图示出了连续时间信号 ，抽样冲激序列 ，抽样信号 以及它们相应的频谱函数。,39,冲激抽样的频谱分析,自然抽样,40,1抽样信号,41,
