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1、第二章 时域离散信号和系统的 傅立叶变换分析方法,2.1 引言2.2 序列傅立叶变换的定义2.3 序列傅立叶变换的性质及定理 2.4 周期序列的频域分析方法2.5 利用傅立叶变换对信号和系统进行频域分析 习题,2.1 引言,对信号和系统进行分析和研究可以在时间域也可以在频率域进行。前面第一章的内容是在时间域对信号和系统进行分析和研究。在时间域中，时域离散信号(序列)x(n)是序数n的函数，这里n可看成时间参量。时域离散系统的单位脉冲响应是系统在时间域的描述，线性常系数差分方程是时域离散系统输入输出之间关系的描述。,2.2 序列傅立叶变换的定义,定义 (2.2.1)傅立叶变换存在的充分必要条件是
2、序列满足绝对可和的条件，即满足下式： ,(2.2.2),傅立叶反变换的定义用下式表示： (2.2.3)频谱函数可用下式表示： X(ej)=|X(ej)|ejargX(ej) (2.2.4),例 2.2.1 已知x(n)=(n)，利用傅立叶变换求它的频谱函数。解 按照定义(2.2.1)式, 因为只有在n=0时，(n)=1，而对其他的n，(n)=0，因此将n=0带入上式中，可得到上式的结果说明， (n)的频谱函数在整个频率轴上保持一个常数1。所有的频率分量均相等，相位函数在整个频率轴上为0。它的幅度特性如图2.2.1所示。,图 2.2.1 (n)的幅度特性,例 2.2.2 设x(n)=RN(n)，
3、求x(n)的傅立叶变换。 解,假设N=4 ，将N=4代入上式，得到：信号的幅度特性和相位特性随的变化曲线如图2.2.2所示。,图 2.2.2 信号R4(n)的幅度特性和相位特性,2.3 序列傅立叶变换的性质及定理,2.3.1 周期性将傅立叶变换的定义重写如下: 式中n取整数，且式中的指数函数是一个以2为周期的函数，因此下式成立： M为任意整数 (2.3.1),这里序列的直流分量是指如图2.3.1所示的时间波形，这个波形可以看成是一个直流连续信号采样得到的。另外, 我们知道一个时间波形变化愈快，意味着它包含的频率愈高，对于序列变化最快的波形应该是如图2.3.2 所示的波形。,图2.3.1 序列直
4、流分量的时间波形,图2.3.2 变化最快的时域离散信号,2.3.2 线性性质傅立叶变换是线性变换，线性变换指的是下面公式成立:假设 X1(ej)=FTx1(n), X2(ej)=FTx2(n)那么FTax1(n)+bx2(n)=aX1(ej)+bX2(ej) (2.3.2),2.3.3 时移性和频移性 傅立叶变换的时移性指的是, 如果信号延时n0，那么它的傅立叶变换相应地增加相位移-n0； 频移性指的是, 如果信号的傅立叶变换在频率轴上位移0，那么时间域信号相应地增加相角0n。分别用公式表示如下： 假设X(ej)=FTx(n)则FTx(n-n0)=e-jn0X(ej) (2.3.3)FTej0
5、nx(n)=X(ej-0) (2.3.4)(2.3.3)式和(2.3.4)式分别称为傅立叶变换的时移性和频移性。,例 2.3.1 在例2.2.2中已求出x(n)=RN(n)的傅立叶变换为试求y(n)=x(n-n0)=RN(n-n0)的傅立叶变换。解令 n=n-n0, 即 n=n+n0则,将上式与例2.2.2的推导对比，或者按照傅立叶变换的基本定义，可以得到: Y(ej)=e-jn0X(ej) 2.3.4 共轭对称性例如，复数x=a+jb， 式中a、 b是实常数，如果取它的共轭，则得到x*= a-jb 。又例如，复序列x(n)=ejn=cos (n)+j sin (n)，取它的共轭，则得到x*(
6、n)=e -jn=cos(n)-j sin (n)。再例如y(n)=jejn，取共轭则得到y*(n)=-je-jn。另外, 如果实序列x(n)服从公式x(n)=x(-n)，则称x(n)是一个对称序列，如果服从下面公式： x(n)=x*(-n) (2.3.5),则称x(n)是一个共轭对称序列。如果服从下式： x(n)=-x*(-n) (2.3.6)则称为共轭反对称序列。以上是用时间域信号说明共轭对称的概念，对频域函数也有相同的共轭对称的概念。假设频域函数X(ej)服从下式: X(ej) =X*(e-j) (2.3.7)则称X(ej)是一个共轭对称函数。如果服从下式:X(ej)=-X*(e-j)
7、(2.3.8)则称为共轭反对称函数。,例 2.3.2 试分析x(n)=ejn的对称性。解 这是一个复序列。先分析是否具有对称性，将x(n)的n用-n代替，得到:x(-n)=e-jn由于x(n)x(-n)，因此它不具有对称性。但对上式再取共轭，得到: x*(-n)=ejn将上式和原信号对比，得到x(n)=x*(-n)，因此该信号具有共轭对称性。如果将信号用欧拉公式展开，则得到： x(n)=ejn=cos (n)+j sin (n),例 2.3.3 试分析y(n)=jejn的对称性。解 先分析它是否是对称函数，将式中的n 用-n代替，得到:y(-n)=je-jny(n)y(-n)上式说明该函数不是
8、对称函数。如果再对y(-n)取共轭, 得到: y*(-n)=-jejny(n)=-y*(-n)上式说明y(n)是一个共轭反对称函数。如果再用欧拉公式展开，得到： y(n)=-sin (n)+j cos (n),假设实序列用x(n)表示，它的傅立叶变换用下式表示：将上式中的用-代替，得到：然后再对上式取共轭，得到： ,观察上式，上式的右边就是原信号x(n)的傅立叶变换，因此得到： x(ej)=x*(e-j)对于一般的复序列x(n)，可以分解成实部和虚部，实部用下标r表示，虚部用下标i表示，得到:x(n)=xr (n)+jxi (n) 上式中xr (n)和xi (n)都是实序列。 ,下面要分析实序
9、列乘上j以后，它的傅立叶变换具有什么对称性。按照基本定义分析如下： 将上式中的用-代替，再取共轭，得到： 由上面两式得到： Xo (ej)=-X*o (e-j)由上式得到结论： 实序列乘以j以后的傅立叶变换，具有共轭反对称性。,可以将以上的分析归纳如下：将一般复序列写成下式： x(n)=xr (n)+j xi (n) (2.3.9)式中， xr (n)表示实部， xi (n)表示虚部，且它们都是实序列。对上式进行傅立叶变换，得到： X(ej)=Xe(ej)+Xo(ej) (2.3.10)式中 X(ej) =FTx(n), Xe (ej)=FTxr (n), xo (ej)=FTjxi (n),
10、2.3.5 时域卷积定理 我们已经知道线性非时变系统的输出y(n)等于它的输入x(n)和该系统的单位脉冲响应h(n)的时域卷积，用公式表示如下： (2.3.11)将(2.3.11)式代入上式，得到： 将(2.3.11)式代入上式，得到： ,令k=n-m，则2.3.6 频域卷积定理 该定理表示: 如果两个时域信号服从相乘的关系，它们分别的频域函数则服从卷积关系，用下面关系式表示： y(n)=x(n)h(n) (2.3.13),(2.3.12),证明如下： 将式中的h(n)用它的傅立叶变换的反变换表示，如下式：,(2.3.14),交换积分和求和的次序，得到：上式中方括号部分是x(n)的傅立叶变换，
11、只是将用-代替，因此得到： ,因此可将上式写成下式: 2.3.7 帕斯维尔(Parseval)定理帕斯维尔定理告诉我们信号在时域的总能量和频域函数的关系，该定理用下式表示： 该定理可以利用上面的频域卷积定理进行证明。证明如下： y(n)=|x(n)|2=x(n)x*(n),(2.3.15),下面先求x*(n)的傅立叶变换。按照(2.3.14)式，得到:表2.3.1综合了序列傅立叶变换的性质和定理，这些性质和定理在分析问题和实际应用中是很重要的。,(2.3.16),表 2.3.1 序列傅立叶变换的性质与定理,2.4.1基本序列的傅立叶变换 1. 复指数序列的傅立叶变换表示法这是一个复指数序列，频
12、率0是常数，该信号不服从绝对可和的条件，因此严格地讲，傅立叶变换不存在，但可以用奇异函数表示它的傅立叶变换，表示如下：式中, 是一个单位冲激函数，性质用下式表示： ,(2.4.14),(2.4.15),2.4 基本序列的离散时间分析傅里叶变换,的傅立叶变换如图2.4.2所示。,图 2.4.2 的傅立叶变换,用表 2.4.1综合一些基本序列的傅立叶变换表示式。,表 2.4.1 基本序列的傅立叶变换,表中u(n)序列的傅立叶变换推导如下：令对上式进行傅立叶变换，得到: (2.4.23),(2.4.21),(2.4.22),对(2.4.21)式进行傅立叶变换，得到： 将(2.4.23)式带入上式，得
13、到： ,2.5 利用傅立叶变换对信号和系统进行频域分析 ,设系统的单位脉冲响应为h(n)，输入是复指数序列，即 x(n)=ejn -n那么系统的输出y(n)为,上式方括号中的部分正是h(n)的傅立叶变换H(ej)，因此可以写成下式: y(n)=ejnH(ej) (2.5.1)若将H(ej)写成下式: H(ej)=|H(ej)|ejargH(ej ) (2.5.2)则 y(n)=ejn|H(ej)|ejargH(ej) (2.5.3)对于任意序列x(n)，系统的输出为 y(n)=x(n)*h(n),根据傅立叶变换的性质，输出响应为 Y(ej)=X(ej)H(ej) (2.5.4)此时系统输出用傅立叶变换表示，该公式表明输出的频率响应不仅与输入信号的频率响应有关，也与系统的频率响应有关。 H(ej)同样表示对输入信号中各频率分量的不同作用，有的频率分量起放大作用, 有的则起衰减作用，当然相位也会发生变化。系统的频率响应是单位脉冲响应的傅立叶变换，用下式表示: H(ej) =FTh(n) (2.5.5) H(ej)一般称为系统的传输函数(或频率响应函数)。,
