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1、 2-2 二维 Laplace方程的定解问题 不含时间的问题：稳定场，如静电场 拉普拉斯方程 齐次 泊松方程 非齐次 特点：定解条件全是边界条件，没有初始条件 本节讨论齐次方程：拉普拉斯方程 边界条件不能都是齐次的 要有足够的齐次边界条件，以便分离变量 可以借助叠加原理，将边界条件化为所需要的形式 一 求解矩形域的拉普拉斯方程 2 0 , ( 0 ; 0 )x x y yu u u x a y b 000 , ;0 , 0.x x ayyy y bu u Ayuu 使其满足边界条件 解： 令 )()(),( yYxXyxu 代入式 (2.2.1)，得 (2.2.1) (2.2.2) (2.2.
2、3) 0)()( xXxX (2.2.4) 0)()( yYyY (2.2.5) ( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y X x Y y ( ) ( ) 0( ) ( )X x Y yX x Y y令 ( ) ( )( ) ( )X x Y yX x Y y 可得： 由边界条件 (2.2.3) 0 0 , 0yyy y buu得： 0)()0( bYY (2.2.6) 本征值问题： 0)()( yYyY 0)()0( bYY(2.2.5) (2.2.6) （ 1）当 时，式 (2.2.5)的通解为： 0yy eCeCyY 21)(由式 (2.2.6)有： 021 CC021 bb e
3、CeC 由此得： 021 CC即式 (2.2.5)、 (2.2.6)无非零解。 ( ) (0 ) ( ) ( ) 0X x Y X x Y b所以 0)()( yYyY 0)()0( bYY(2.2.5) (2.2.6) （ 2）当 时，式 (2.2.5)的通解为： 001)( AyAyY 从而 1)( AyY 由 可得： ( 0 ) ( ) 0Y Y b1 0A 故得 00()Y y A（常数） （ 3）当 时，式 (2.2.5)的通解为： 0yByAyY s inc os)( 0c o ss i n)( yByAyY 从而 由 得： 0)0( Y 0B由 得： 0)( bY 0s in b
4、A 故有 nb 或0即 222 ( 1 , 2 , ) .n nb L综合 和 两种情况，可知： 0 0本征值为： ),2,1,0(222 nbn 本征函数为： ),2,1,0(c os)( nybnAyY nn 0)()( xXxX 将 的值代入式 (2.2.4)： 解得 0 0 0 0X C D x n ),2,1()( neDeCxX bxnnbxnnn故问题的一般解为： 0 0 0 0X C D x0 ( ) c os ( 1 , 2 , )nnnY y A y nb L),2,1()( neDeCxX b xnnb xnnn 001001( , ) ( ) ( ) ( ) ( )c
5、o s .nnnn x n xbbnnnu x y X x Y y X x Y ynC D x C e D e yb 00()Y y A由边界条件 得： 00 xu 0c os10 bynDCCnnn 0c os10 bynDCCnnn一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零。 因此： 0 0 , 0 ( 1 , 2 , ) .nnC C D n L又由 得： Ayuax AyybneDeCaDnbannbann c os10将 展开成 Fourier余弦级数，并比较系数有： Ay221221 200AbbbAA y dybaDb 由此得： aAbD20 22022 c o s ( c o s
6、1 )n a n a bbbnnn y A bC e D e A y d y nb b n 00 0 , , 0 ( 1 , 2 , ) .2 nnAbC D C D na L22022 c o s ( c o s 1 )n a n a bbbnnn y A bC e D e A y d y nb b n 解得： 2222( c os 1 ),( c os 1 )( 1 , 2 , )nnA b nCnan shbA b nDnnan shb L代入式 (2.2.7)得问题的解为： bynbxnshbanshnnAbxaAbyxunc o s1c o s22),(1 22 注意：采用分离变量法
7、求解时，用齐次边界条件构成本征值问题，用非齐次边界条件定叠加系数。 二 求解圆形域的拉普拉斯方程 例：带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 是铅垂的水平架设的输电线处在这个静电场中输电线是导体圆柱柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布） 0E解： 导线 z建立如图所示坐标系， Z-轴沿导线。 X轴平行 由于导线无限长，可将电场看作沿 z 方向不变。只需要研究 x-y 平面的状态 ， 平面问题 。 真空静电势满足拉普拉斯方程： 02222 yuxu边界条
8、件从云、地、导线三方面考虑。 导线的表面是等势面，取其为电势 零点 0222 ayxu a为导线半径 云、地在无穷远处，静电场仍为 ， uE 22 0( , ) xyu x y x E 0Ex0u Ex0E由 有 由于 X轴平行 ，有 0E00,yxE E E所以 根据导线边界条件，本题应取平面极坐标， ，坐标原点在导线中心。 ),( 定解问题： 011 22222 uuu方程 定解条件 0au 0( , ) c osuE 用分离变量法求解。 令 )()(),( Ru代入方程，得 2 0RRR 两边除以 u，乘以 得： 2 0RRRR 令： 2 RRRR 得到： 0 2 0R R R 自然周期
9、边界条件： ),()2,( uu 得： )()2( 22 0RRR 0 ,( 2 ) ( ) 本征值问题： 0微分方程的通解是 : () A e B e 不具周期性，所以舍去。 1） 2） 微分方程的通解是 : 0() AB B=0时具周期性。 微分方程的通解是 : ( ) c os sinAB 3） 0以 为周期，所以取 2 2 , 1 , 2 . . .mm 0 , 本征函数为： 0( ) c o s s in ( 0 )( ) ( 0 )m m mA m B m mAm 本征值为： 2 , 0 , 1 , 2 ,mm L将这个结果代入到关于 R的方程： Euler方程 )()2( 本征值
10、问题： 得： 2 0R R R 2 2 0R R m R Euler方程的一般形式： ( ) 1 ( 1 )1 1 0. . 0n n n nnna x y a x y a x y a y 变系数的线性微分方程， 导数的阶数与系数的幂数相同 。 2( ) ( ) 0R t m R t通解为： ( ) , ( 0 )m t m tm m mR t C e D e m 0 0 0( ) , ( 0 )R t C D t m td R d R d d R d Red t d d t d d 有： 222d R d d R d d R d Rd t d d d t d d Euler方程可化为： 变回
11、原来的变量 ，可得： ( ) , ( 0 )mmm m mR C D m 0 0 0( ) l nR C D2 2 0R R m R 对 Euler方程做变量变换： te 解法：通过变换化为常系数线性微分方程 二阶常系数线性齐次 mBmA mmm s inc o s)( ( ) , ( 0 )mmm m mR C D m 0 0 0( ) l nR C D ln),( 000 DCu mmmmmmm DCmBmAu 1)s i nc o s(),(所以 叠加得到一般解： 001( , ) l n c o s sinmmm m m mmu C D C D A m B m 由边界条件定常数。 当 时，有 a0010 l n ( ) ( c os sin )mmm m m mmC D a C a D a A m B m 由此得： 0010 l n ( ) ( c os sin )mmm m m mmC D a C a D a A m B m 0ln00 aDC即： aDC ln00 以及： 0 mmmm aDaC即： mmm aDC 2代入一般解： 2011( , ) l n ( c o s s in ) mmmm mmu D A m B m aa
