《2017-2018年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系 第二课时 直线与圆的位置关系（习题课）学案（含解析）新人教a版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第四章 圆与方程 4.2.1 直线与圆的位置关系 第二课时 直线与圆的位置关系（习题课）学案（含解析）新人教a版必修2（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -第二课时直线与圆的位置关系(习题课)1直线与圆的位置关系有哪几种？略2如何用几何法和代数法判断直线与圆的位置关系？略3如何求过某点的圆的切线方程？略4如何求圆的弦长？略与圆有关的切线问题例 1自点 P(6,7)发出的光线 l 射到 x 轴上的点 A 处，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2 y28 x6 y210 相切于点 Q.求光线 l 所在直线方程解如图，作圆 x2 y28 x6 y210 关于 x 轴的对称圆x2 y28 x6 y210，由几何光学原理，知直线 l 与圆x2 y28 x6 y210 相切由于 l 的斜率必存在，故可设直线 l： y7 k(x6)，即kx
2、y6 k70.由圆 x2 y28 x6 y210 的圆心(4，3)到直线 l 的距离等于半径，知 2，解得 k 或 k ，|4k 3 6k 7|k2 1 10|k 1|k2 1 34 43故光线 l 所在直线的方程为 3x4 y100 或 4x3 y30.类题通法过已知圆外一点求切线的方程一般有三种方法：(1)设切线斜率，用判别式法；(2)设切线斜率，用圆心到直线的距离等于半径长；(3)设切点( x0， y0)，用切线公式法活学活用已知圆 C：( x2) 2( y1) 21.求：(1)过 A(3,4)的圆 C 的切线方程；(2)在两坐标轴上的截距相等的圆 C 的切线方程- 2 -解：(1)当所
3、求直线的斜率存在时，设过 A(3,4)的直线方程为 y4 k(x3)，即kx y43 k0，由 1，得 k .|2k 1 4 3k|1 k2 43所以切线方程为 y4 (x3)，即 4x3 y0.43当所求直线的斜率不存在时，直线方程为 x3，也符合题意故所求直线方程为 4x3 y0 或 x3.(2)设在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 1 或 y kx，于是由圆心(2,1)到切xa ya线距离为 1，得 1 或 1.|3 a|2 |2k 1|1 k2解得 a3 ， k0 或 k .243故所求切线方程为 x y3 或 y0 或 y x.243与圆有关的参数问题例 2已知直线 l： y x m
4、 与圆 x2 y21 在第一象限内有两个不同的交点，求33m 的取值范围解 l： y x m，圆 x2 y21，33 l 可变形为 x3 y3 m0，3圆的圆心为(0,0)，半径长 r1.当直线和该圆相切时，应满足 d 1，解得 m .在平面直角坐标系中作出| 3m|3 9 233图象，如图所示，其中 l2： y x ， l3： y x .33 233 33 233过原点作直线 l0： y x， m0： y x.33直线 l 的斜率 k ，直线 AB 的斜率 k1，33- 3 -只有当直线 l 在移动到过 A(0,1)后才开始与圆在第一象限内有两个交点，此时对应的直线 l1： y x1.要使直
5、线与圆在第一象限内有两个不同交点，直线 l 只有在直线 l1和33直线 l2之间运动才可，此时相应的 m .(1，233) m 的取值范围是 .(1，233)类题通法解决与圆有关的参数问题，有时直接求解比较困难，可根据题意先画出图象，利用数形结合的方法，可以很容易得出答案活学活用在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O： x2 y24，直线 l：12 x5 y c0(其中 c 为常数)下列有关直线 l 与圆 O 的命题：当 c0 时，圆 O 上有四个不同的点到直线 l 的距离为 1；若圆 O 上有四个不同的点到直线 l 的距离为 1，则13 c13；若圆 O 上恰有三个不同的点到直线 l 的距
6、离为 1，则 c13；若圆 O 上恰有两个不同的点到直线 l 的距离为 1，则 13 c39；当 c39 时，圆 O 上只有一个点到直线 l 的距离为 1.其中正确命题的序号是_答案：直线与圆的综合问题例 3已知圆 x2 y2 x6 y m0 与直线 x2 y30 相交于 P， Q 两点， O 为原点，且 OP OQ，求实数 m 的值解由Error!消去 y，得 5x210 x4 m270，设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则Error!又 OP OQ， kOPkOQ1，即 x1x2 y1y20. x1x2 (3 x1) (3 x2)0，12 12整理得 5x1x23( x1 x2
7、)90，5 3(2)90.4m 275解得 m3 满足- 4 -实数 m 的值为 3.类题通法此题设出 P， Q 两点的坐标，但在求解过程中又不能刻意地求出来，只将它作为一个转化过程中的桥梁，这种“设而不求”的解题方法在解析几何中很常见，要注意认真体会并掌握活学活用自原点 O 作圆( x1) 2 y21 的不重合两弦 OA， OB，若| OA|OB| k(定值)，证明不论 A， B 两点位置怎样，直线 AB 恒切于一个定圆，并求出定圆的方程解：设 A， B 两点坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，则| OA|OB| x21 y21 x2 y2 x21 1 x1 1 2 x2 1
8、x2 1 2 k.4x1x2 x1x2 .k24设直线 AB 的方程为 y mx b，代入已知圆的方程并整理，得(1 m2)x22( mb1) x b20，由根与系数的关系，得 x1x2 .b21 m2 .b21 m2 k24原点 O 到直线 mx y b0 的距离为 ，|b|1 m2所求定圆的半径 r 满足r2 (定值)b21 m2 k24直线 AB 恒切于定圆 x2 y2 .k244.利 用 数 形 结 合 思 想 探 究 与 圆 有 关 的 最 值 问 题典例设点 P(x， y)在圆 x2( y1) 21 上，求 的最值 x 2 2 y2解 的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的距离 x
9、 2 2 y2因为圆心(0,1)与定点的距离是 ，圆的半径是 1， 2 0 2 0 1 2 5- 5 -所以 的最小值是 1，最大值是 1. x 2 2 y2 5 5多维探究1化为求斜率问题求 的最小值y 2x 1解：法一：令 t，y 2x 1则方程组Error!一定有解消去 y，整理得(1 t2)x22( t23 t)x( t26 t8)0 有解所以 4( t23 t)24(1 t2)(t26 t8)0，即 6t80，解得 t .43故 的最小值是 .y 2x 1 43法二：令 k，y 2x 1则 k 表示圆上任一点与点(1，2)连线的斜率， kx y k20，由 1，得 k .|0 1 k
10、 2|k2 1 43 的最小值为 .y 2x 1 432化为求圆心到直线距离问题求直线 x y20 上的点到圆的距离的最值解：圆心为(0,1)，到直线 x y20 的距离为 ，| 1 2|2 322因此直线上的点和圆上的点的最大距离为 1，最小距离为 1.322 3223化为求圆心到直线距离问题若圆上有且只有四个点到直线 3x4 y C0 的距离为 ，求 C 的取值范围12解：由题意，圆心(0,1)到直线的距离小于 即可，12则 ，| 4 C|32 42 12解得 C .32 132- 6 -所以 C 的取值范围为 .(32， 132)方法感悟解与圆有关的最值问题，要明确其几何意义：(1)k
11、表示圆上的点( x， y)与定点( a， b)连线的斜率，直线方程可与圆的方程联立y bx a得到关于 x 的一元二次方程，利用 0 求 k 的最值；也可用圆心到直线的距离 d r，求 k的最值(2)直线与圆相离时，直线上的点到圆的距离的最大值为 d r，最小值为 d r.随堂即时演练1直线 x y0 绕原点按顺时针方向旋转 30所得直线与圆 x2 y24 x10 的位3置关系是()A直线与圆相切B直线与圆相交但不过圆心C直线与圆相离D直线过圆心答案：A2若直线 y x t 被圆 x2 y28 截得的弦长大于等于 ，则 t 的取值范围是()423A. B.(823， 823) ( ， 823)
12、C. D.823， ) 823， 823答案：D3如果实数 x， y 满足等式( x2) 2 y23，那么 的最大值是_yx答案： 34在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 y28 x150，若直线 y kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是_答案：43- 7 -5已知以点 P 为圆心的圆过点 A(1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点C， D，且| CD|4 .10(1)求直线 CD 的方程；(2)求圆 P 的方程答案：(1) x y30(2)(x3) 2( y6) 240 或( x5) 2(
13、y2) 240课时达标检测一、选择题1若直线 x y m0 与圆 x2 y2 m 相切，则 m 的值为()A0 或 2 B0 或 4C2 D4答案：C2过点(1,1)的直线与圆( x2) 2( y3) 29 相交于 A， B 两点，则| AB|的最小值为()A2 B43C2 D55答案：B3若直线 y kx 与圆( x2) 2 y21 的两个交点关于直线 2x y b0 对称，则 k， b的值分别为()A k ， b4 B k ， b412 12C k ， b4 D k ， b412 12答案：A4已知圆 C1：( x1) 2( y1) 21，圆 C2与圆 C1关于直线 x y10 对称，则圆
14、 C2的方程为()A( x2) 2( y2) 21B( x2) 2( y2) 21C( x2) 2( y2) 21D( x2) 2( y2) 21答案：B5过点 P(1,1)的直线，将圆形区域( x， y)|x2 y24分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A x y20 B y10C x y0 D x3 y40答案：A- 8 -二、填空题6(重庆高考)已知直线 x y a0 与圆心为 C 的圆 x2 y22 x4 y40 相交于A， B 两点，且 AC BC，则实数 a 的值为_答案：0 或 67已知两点 A(2,0)， B(0,2)，点 C 是圆 x2 y22 x0 上任意一点，则 ABC 的面积最小值是_答案：3 28已知圆的方程为 x2 y24 x2 y40，则 x2 y2的最大值为_答案：146 5三、解
