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1、 王 飞 教师 结构力学 课程 第 18 讲（单元）教案设计授课班级 上课时间 上课地点教学目的 理解力法解题原理；能正确确定基本来知量；能正确建立力法典型方程。教学基本要求与重点、难点重点：力法解题原理；基本来知量的确定；建立典型方程。难点：超静定次数的确定。知识目标（含知识要点和章节内容） 应用能力（技能）目标61 超静定结构的组成和超静定次数62 力法的基本概念重点、难点的解决方案（方法）从变形协调条件着手，找到与基本结构的联系与区别，从而建立力法方程。复习内容、案例分析、参考资料、媒体安排与配合材料力学相关章节及第 5 章结构力学上册 李廉锟等编 高等教育出版社结构力学基本教程 （第二
2、版） ，龙驭球等编，北京：高等教育出版社，2006。第 6 章 力法，pp.205-263。教学条件 多媒体课件，讲义课外作业 62b、d教学步骤教学内容细目教学方式与手段课堂练习及与学生互动时间分配超静定结构的组成和超静定次数力法的基本概念1 学时1 学时教学小结（后记）：第六章 力法力法计算超静定结构主要是利用静定结构内力计算和位移计算来解决超静定结构的内力计算，因此静定结构的内力计算和位移计算是本章的基础；由于力法的计算量较大，本章的学习重点应是力法的基本方程的理解和应用，主要是不超过三次超静定结构。6-1 超静定结构的组成和超静定次数6.1.1 超静定结构的组成静定结构:结构的反力和各
3、截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定(图 6-1a)。超静定结构:结构的反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一的加以确定(图6-1b)。图 6-1从几何组成分析中可知：静定结构和超静定结构都是几何不变体体系，而静定结构没有多余的约束，超静定结构存在多余约束，将图 6-1b 中支座 C 去掉结构仍为几何不变体系(图 6-1c)。结论：满足平衡方程的内力解不唯一，几何上有多余约束，这就是超静定结构区别于静定结构的基本特点。6.1.2 超静定次数超静定次数：超静定结构中多余约束的个数；也可以认为多余未知力的数目。将超静定结构中多余约束去掉，可变为相应的静定结构，则去掉多余约束的个数 n 即为
4、原结构的超静定次数。结构去掉多余约束的方式有以下几种：1.去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束(图 6-2)。2.去掉一个固定铰支座或撤去一个单铰，等于去掉两个约束。3.将刚性连接改为单铰，相当于去掉一个约束(图 6-3)。4.去掉一个固定端或切断一个梁式杆，等于去掉三个约束(图 6-4)。图 6-2图 6-3图 6-4对于一个超静定结构，去掉多余约束的方式可能有几种，但必须注意：去掉多余约束后，一般应是几何不变的、静定的结构。图 6-2a、图 6-3a、图 6-4a 结构的超静定次数分别为 1、1、3。6-2 力法的基本概念6.2.1 基本思路(1)力法是计算超静定结构的最基本方
5、法。力法的基本思路是把超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。下面结合实例说明力法的基本思路和原理图 6-5a 为一次超静定结构，如果撤去 B 处的支座链杆并用未知力 X1 代替变成了图6-5b 所示的静定结构，这样就得到了含有多余未知力的静定结构，此结构称为力法的基本体系（基本体系并不唯一） 。相应的把原超静定结构中多余约束和荷载都去掉后得到的静定结构称为力法的基本结构图 6-5c。图 6-5这样通过把多余约束去掉用多余未知力来代替，将超静定结构变为静定结构，解题的关键就是多余未知力的求解问题，这也是力法的第一个特点：把多余未知力的计算问题当作超静定问题的关键，把多余未知力当作关键地位
6、的未知力-力法的基本未知量。下面将讨论如何建立力法方程来求解基本未知量。6.2.2 基本思路(2)为了求解多余的未知力，显然静力平衡方程式不能够求解，必须建立新的方程。图 6-5下面将通过对原结构和基本体系进行受力和变形对比，从而建立力法方程。从受力上看，当基本未知量 X1 为任意有限值时,基本体系和原结构都满足的平衡方程。从变形上看，原结构由于支座 B 的支承，因此，不会发生竖向位移。而基本体系 B 处的竖向位移与基本未知量 X1 有关，只有当基本未知量 X1 为某一值时，基本体系 B 处的竖向位移 1 恰好等于零，即不发生竖向位移，这时基本体系的变形也与原结构的变形相同。于是，可以根据 1
7、 = 0 的条件来确定基本未知量 X1 的大小，所求的 X1 就是原结构多余约束的反力。归纳起来力法的基本思路就是：第一步：去掉原结构的多余约束，代之以多余未知力，得到静定的基本体系。第二步：基本体系和原结构的变形相同，特别是基本体系上与多余未知力相应的位移与原超静定结构上多余约束处的位移条件一致，这是确定多余未知力大小的依据。一般情况下，当原结构上在多余约束处没有支座位移时，则基本体系应满足的变形条件是：与多余未知力相应的位移为零。下面按照以上思路具体求解图 6-5a 所示的超静定结构。6.2.3 基本思路(3)图 6-6根据以上分析图 6-5b 所示的基本体系应满足的变形条件是：沿多余未知
8、力 X1 方向的位移 1 为零，即 1 = 0利用叠加原理计算基本体系的位移 1 并用基本未知量表示。图 6-6a 为基本体系在荷载和多余未知力 X1 共同作用，图 (b)、(c) 则分别是两者单独作用的状态，图 (d)、(e) 、(f) 则是相应的变形图。利用叠加原理，上述变形条件可表述为： 1 = 1P + 11= 0这里 1 是基本体系上多余未知力 X1 方向的位移(图 6-6d)， 1P 是基本结构在实际荷载作用下沿多余未知力 X1 方向的位移( 图 6-6e)， 11 是基本结构在多余未知力 X1 单独作用下沿多余未知力 X1 方向的位移(图 6-6f)，位移与多余未知力方向一致时为
9、正。由于位移 11 与多余未知力 X1 成正比 ，可以写成 11 = 11 X1 11 表示单位未知力 X1 = 1 的作用，使基本结构在多余未知力 X1 方向产生的位移，于是变形条件可写成 11 X1 + 1P = 0这个方程叫做力法典型方程，它体现了是基本体系恢复到原超静定结构的转化条件。式中的系数由单位荷载法进行计算。下面将具体进行计算。6.2.4 基本思路(4)图 6-6根据分析确定了力法典型方程： 11 X1 + 1P =0为了计算 11、 1P ，做基本结构在荷载作用下的荷载弯矩 MP (图 6-7b)和单位未知力 X1 = 1 的作用下的单位弯矩图 M1 (图 6-7c)。图 6
10、-7应用图乘法得到代入力法方程多余未知力求出后,利用平衡条件求原结构的内力计算结果如图 6-7a，弯矩图也可以应用叠加公式计算:力法的基本思路：将超静定结构的计算转化为静定结构的计算，首先选择基本结构和基本体系，然后利用基本体系与原结构之间在多余约束方向的位移一致性和变形叠加列出力法典型方程，最后求出多余未知力和原结构的内力。下面讨论一般情况下的力法典型方程。6.2.5 多次超静定结构的计算(1)图 6-8 为一个二次超静定结构，如图选择基本体系和基本结构。图 6-8利用原结构与基本体系的在结点 C 沿 X1 和 X2 方向的位移相同的条件这里， 1 和 2 分别是基本体系沿 X1 和 X2
11、方向的位移。 图 6-9下面应用叠加原理把变形条件展开 ，分别计算荷载、X 1 = 1 和 X2 = 1 单独作用时在X1 和 X2 方向的位移，如图 6-9。位移的表示采用双下标，第一个下标表示位移的位置和方向，第二个下标表示产生的原因。于是可得：变形条件即为这也是两次超静定结构的力法基本方程。多余未知力求出后，利用叠加原理可绘制弯矩图，具体计算为下面讨论 n 次超静定的情形。6.2.6 多次超静定结构的计算(2)若结构为 n 次超静定，则与 n 个多余约束相对应，基本体系上就有 n 个多余的未知力 X1、 X2、X 3 . Xn，则力法典型方程为根据位移互等定理： ij= ji ij 表示
12、单位力 Xj = 1 在基本结构沿 Xi 方向产生的位移， iP 表示在基本结构实际荷载沿Xi 方向产生的位移。 ij 又称为柔度系数。将方程的柔度系数写成矩阵形式：这个矩阵称为柔度矩阵，其中，主对角线上的系数为主系数，主系数都为正值，根据位移互等定理，柔度矩阵为一对角矩阵。解力法方程求出多余的未知力，然后应用叠加法计算超静定的内力。王 飞 教师 结构力学 课程 第 19 讲（单元）教案设计授课班级 上课时间 上课地点教学目的 熟练应用力法计算荷载作用下超静定梁、刚架、桁架内力。教学基本要求与重点、难点 重点：用力法计算荷载作用下超静定梁、桁架内力。知识目标（含知识要点和章节内容） 应用能力（
13、技能）目标63 超静定刚架和排架64 超静定桁架和组合结构重点、难点的解决方案（方法） 教师讲授为主复习内容、案例分析、参考资料、媒体安排与配合材料力学相关章节及第 5 章结构力学上册 李廉锟等编 高等教育出版社结构力学基本教程 （第二版） ，龙驭球等编，北京：高等教育出版社，2006。第 6 章 力法，pp.205-263。教学条件 多媒体课件，讲义课外作业 63c 、d，64c ，65a，66教学步骤教学内容细目教学方式与手段课堂练习及与学生互动时间分配超静定刚架和排架超静定桁架和组合结构1 学时1 学时教学小结（后记）：6-3 超静定刚架和排架6.3.1 力法的基本解题思路根据力法的基本
14、原理和思路，用力法计算超静定结构的步骤可归纳如下：1. 选择基本体系确定超静定结构的次数，去掉多余约束，并用相应的约束反力来代替。2. 建立力法方程利用基本体系与原结构在相应约束处的变形条件，建力力法典型方程。3. 计算系数和自由项4. 求多余的未知力5. 作内力图按静定结构，用平衡条件或叠加原理计算结构特殊截面的内力，然后画出内力图。下面一刚架为例进行说明6.3.2 应用力法求解刚架图 6-10a 为一超静定刚架，试作出结构的内力图，EI 为常数。原结构 基本体系 MP 图 M1 图弯矩图 弯矩图图 6-101. 选择基本体系（图 6-10b）2. 建立力法方程基本体系应满足 B 点无水平位
15、移的变形条件。力法方程为 11X1 + 1P = 03. 计算系数和自由项分别画出实际荷载及单位未知力 X1 = 1 的作用的弯矩图（图 6-10c、d） ，利用图乘法计算系数。4. 求多余的未知力5. 作内力图（图 6-10e）讨论：图 6-10f 是当梁和柱的抗弯刚度发生变化时超静定的弯矩图，为何两弯矩图不相同？6-4 超静定桁架和组合结构超静定桁架和组合结构的计算与刚架和梁结构的方法相同，所不同的是，桁架是链杆体系，计算力法方程的系数和自由项时，只考虑轴力的影响。组合结构中既有链杆也由梁式杆，计算系数时，链杆只考虑轴力的影响，而梁式杆则只考虑弯矩的影响。图 6-11a 为一次超静定的组合结构，AD 梁式杆 EI =10000 kN/m2 ,所有的链杆 EA = 100000 kN，求所示荷载作用下的内力。图 6-11a 图 6-11b图 6-11c 图 6-11d图 6-11e1. 选择基本体系切断多余链杆 CD ，在切口处用未知力 X1 代替（图 6-11b）2. 建立力法方程
