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1、1高等数学（上）基本概念与基本计算练习题(参考答案)一求极限1. nn)21(lim解： （毕）2)2(1lili ennnn2. xx103li解： （毕）3)31(00 lim)(li exxxx 3. x2snli解： （毕）2li00x4. xarctn1li解： （毕）0arctn1lim2ta;mxxxx1li.50解： （毕）21)(li)1(lili 000 xxxxx6 )12(lim1x解： （毕）21)(lim)1(2li12 xxx7 txsind)e(li 0解： （毕）21eli2)e1(lid )e1(lii )1(limx0x02 0 0 xxtxt28 . 3
2、0d)1ln(lim2xtx解： 32lim)1ln(i32)1ln(2im)(li 0020302 xxxt xxx（毕）二函数的连续性与间断点1. .)2ln()的 连 续 区 间求 函 数 xxf解：因为对数函数是初等函数，所以该函数的定义域就是该函数的连续区间。即： 为连续1201)(x-0)(2 xx 或区间。（毕）2 并 判 断 间 断 点 的 类 型的 间 断 点指 出 函 数 ,)1(sin)2xf解：该函数为初等函数，且在 点处无定义。因此，0,1,x这三点就是该函数的间断点。又，所以 为该函数的可去间断点；1sinlm)1(li)1(snlim0020xxx 0x1sin2
3、il)1(li)1(sinli 00201 xxxx iilm)(li)(ilim0101201 xxx函数在 点处，左右极限存在但不相等，所以 为跳跃型间断 1x点；3所以 为无穷间断点。sin)1(lim)1(sinli21 xxxx 1x（毕） .0,1sin0,i)(.3 处 的 连 续 性在讨 论 函 数 xxxf讨论：，1sinlm)(li)0(00xff xx，)i(又 )(f因为 )0()0ff因此函数 在 点处，只是右连续而非左连续。故函数 在(x )(xf点处是间断的； 为第一类跳跃间断点。xx（毕）.)(,01-2sin)(.4 为 连 续 函 数使确 定， ，设 xfb
4、axeaxfb解：只需选择 使函数 在 点处连续即可。a,)(f0x因为：，axxffx 1sinlm)(li)0(00，又bxeff bxx 000lilili 2)0(f由 。2;1)()()aff4即：当 时，函数 为连续函数。2,1ba)(xf（毕） .13.5 的 正 根至 少 存 在 一 个 小 于证 明 方 程 xe证明：设： ，因为函数 在区间 上连续，,0)(f )(xf1,0又 。所以方程 在区间 至少有一个1,0)(ef 0）（根。即： .13的 正 根至 少 存 在 一 个 小 于方 程 x（毕） )(2)( , ,.61 2,121cfxff cxbxaba使 得 上
5、 至 少 有 一 点证 明 在内 连 续在设 函 数证明：设： ，则依题设 在区,)(2121xffF )(xF间 上连续。,21x当 时，只需取 即可；)(ff1xc当 时，因为21x02)(2)( 2)()()( 11 1221 xffxf xffxfF由连续函数的中介值定理可知，至少存在一点 使 成),(21xc0(cF立。综上所述， 成 立 。使 得上 至 少 有 一 点在 )()(, 212,1 cfxffcx（毕）三 求导数与求微分5.,42sin.12dxyxy求设 解： 22 4)cos2(sini xx（毕） .,),(tan.2dyfxfy求可 微其 中设 解： xdfxf
6、xdfy 2sec)(tan)(tan)(t)(ta （毕） ).0(,)(.3 yexyexy 求所 确 定由 方 程设 函 数解： 又00eyy）（ 1x所以， 1,0 eyxxy（毕） .,arctn)1l()(.4 22 dxyyxxy 及求所 确 定由 参 数 方 程设 函 数 解： 2)1()1(lnarct2ttdxy ttttdxy41)2()1() 222 6（毕） (1)f),1(,1 ,)(.53 和并 求求可 导在设 函 数 fbaxxbaf解：因为，函数 在 点处可导的必要条件是：函数 在)(f xf点处连续。所以有1x1)(1)(lim0)(301fxbafx )1
7、)( babaff （ 或 ： 981,931)()1( 31)(limli)(lim)( 3)(limlili1li)1(323013001 2013013010 abafff xxxxfff axaxxxf xxx xxxx由即：当函数 在 点处可导时 。xf ,（毕）（或用下列方法求极限） 981,931)()1() 3limli)(lim 31lim1li1li1)(li)1( 20)(300 20)(30130101 abafff xxxf axabaxfxf xLx xLx常 .)1,0(.6处 的 切 线 与 法 线 方 程在 点求 曲 线 xey7解：切线方程： )0(1xy法
8、线方程： 0x又 1)(0xxey所以：切线方程： ；法线方程：xyxy1（毕） .)1,(ln.7处 的 切 线 与 法 线 方 程在 点求 曲 线 ： yx解：两边对 求导得： 0yx将 代入得 即 1,yx2)1,( 21),1(所以, 切线方程： ;法线处 的在 点曲 线 ： ,lnyx 03yx方程： 012y(毕) .0.8 线 方 程相 应 的 点 处 的 切 线 与 法在求 曲 线 ： teyx解：因为当 时，0t1)(200ttteyx切线方程： 1t法线方程： )2(10xyt又： )2(000ttt eedxy8所以，切线方程： , ；法线方程：)2(1xy04y, 。)
9、2(1xy03（毕）四 利用导数研究函数的性质1. .23/的 单 调 区 间 和 极 值求 函 数 xxf结论：函数的单调增区间为 ),10(函数的单调减区间为 ，,其极大值为 ，其极小值为)0(f 5.0)(f2. ,ln2凹 凸 区 间 及 拐 点的 单 调 区 间求 xy结论：曲线在 内为凹，曲线在 内为凸的； 为拐点。),121,( )2ln1,(3 ,)(23 处 有 极 值在已 知 函 数 xbaxf。.,的 所 有 极 值及求 常 数 ba解： 是可微的，由极值的必要条件可得：xxf23)(已 知 函 数 032)()1 1123 baaxf又 ，解方程组 ，得： 。f 03b
10、结论：其极大值为 ，其极小值为2)1(f 2)1(f4. .,)3,1(3 baxay求 凹 凸 区 间 及 常 数的 拐 点为 曲 线若 点 解： 且：是 二 阶 可 导 的 。易 知 函 数 2bbaxyx26)(239依题设，应有 3)(02626131xxbayba解方程组 233026baba结论：曲线在 内为凹，曲线在 内为凸的； )1,(),15. .),0932上 的 最 小 值在求 函 数 xxf结论： 是函数 f(x)在 内唯一的极小值点 从而也是 f(x)在该区间上的最小值点且 5)1(min6. .2cos,0: xx时当证 明（提示：设 ）),0,1)(2f .),0
11、() .(,)(,)(.7单 调 增 加在证 明 且上 二 阶 可 导在 xf xfff提示：令 ， fF2)()(xf ),0(令 得 )(gg,x故 在 内单调增.也即x),00)()(由此便知 . 即 在 内单调增.(Fxf)(,.)1,25.83内 只 有 一 个 根在证 明 方 程 x提示：令 ，)(3f ,0(证明 在 内单调增),0(证明 在 内满足零点定理；则有且仅有一个正根。xf1109.求函数 在 上的最大值与最小值.)(xItt02d1,0提示： 求导，证明 在 内单调增)(xI,则 ，)(minfmaf 3ln)1ln(d120210 ttt五 求不定积分与定积分1.
12、dxex)2(解： （毕）Cxedxexx 2523;d)53(.2解： （毕）xxx 433 )53(201)5-d()(1;d49.32x解： （毕） Cxxdx2222 49149)-1-49-1（.dsinco.43x解： （毕）Cxxx233 sin1si.id12.51解： （毕）2132)1d(255151 xxxdeln.621解： （毕）23ln12l)(l 222 111 eee xxx11xd2cos1.70解： xxxdcos2dcos2 dcos210 002 （毕）.ini022dxx2-cos.8）（解： 2)(cos2sin)si(2 cosco2020 202
13、-2-2- xdxx dxd）（毕）9.已知 的一个原函数是 , 求)(xf xsin.d)(xf解： CxCxxffdff sin2cosin)i( d)()(.（毕）10已知 ,计算0213xexfx .d231xf提示：123ln21)(3)21ln()(31ddd.2520012103 10011 eueuufffxf（毕）11. 判断下列反常积分的收敛性，若收敛，计算其值。 ;)3(d)1402x.d1)2(3x提示：（1） 为瑕点，402)3(dx302)(x432)(x又 ；故反常积分发散。02)( x1lim13 0（2） 1231dx2li2x故反常积分收敛 其值为 六定积分的应用.22.1所 围 图 形 的 面 积与 直 线计 算 抛 物 线 xyxy提示： 417Ad)(L.2,.22 所 围 图 形 的 面 积与 直 线计 算 曲 线 yeyxx提示： 1)ln(l 3l. ,24.3面 积与 该 抛 物 线 所 围 图 形 的 并 计 算 法 线 方 程处 的 切 线 与 法 线 方 程在 点求 抛 物 线 xy提示： 26Axd)3(42364L4. .轴 旋 转 所 得 立 体 体 积轴 所 围 图 形 绕与计 算 由 曲 线 xy13
