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1、0天津科技大学高等数学(一)检测题 8-1答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； cbarr6142)2,1(33213，4. ； 5. ， ； 6. ；02zy),0(7. .)(322zyx二、选择题1.（B） ； 2. (C)； 3.（C）.三、解答题 1解： ，cbABCr，)2(31)(31cBDArr.2cEr2. 解：由 ， ，得 ，NMDNC)(21CDABM而 ，于是 .)1,24()3,60(AB、 ),4(或由中点坐标公式，得 点坐标为 、 )2/5,(2/31于是 .)1,2(MN3. 解：由 ，49)(622AB，49)6(3)(222AC，有 及 ，858BC2
2、22BCA所以，三角形 是等腰直角三角形.AC1天津科技大学高等数学(一)检测题 8-2答案一、填空题1. ， ； 2. ， ；2)13,47(21arcos3. （ 是任何实数） ； 4. .,kk3二、选择题1.（A） ； 2.（B） ； 3.（C） ； 4. (D) .三、解答题 1解： 2253)()2( nmnmba rrrr .08cos532. 解： ， ，于是 ；8rr kjbcabrrrr 248)()()( ；kjjicab rrr 143)1,()43()( ， .kjikji rr583122)(cbar3. 解： (2urabr()cr)，所以 .14)22 cbar
3、r 14ur.uarcosurr24 ， ，)301(，AB)021(C，A， .)36(2， kjir ACB1S27天津科技大学高等数学(一)检测题 8-3答案一、填空题1. ； 2. ， ； 6)2()1()(2zyx 22)1(xzy21zxy3. ， ，单叶旋转双曲面； 4. 圆锥面； z5. 椭圆，椭圆柱面； 6. ，抛物柱面. 2xz二、选择题1.（B） ； 2.（B） ； 3.（C） ； 4. (D) .三、解答题 1解：配方得 ，14)3()2()1(22 azyx当 时，是球心在 ，半径 的球面；4a,10MR当 时，是一点 ；当 时，不表示任何图形.)(2. 解：将方程改
4、写为 ，由此可见，它是由 平面是直22(yzxxOy线 ，或由 平面是直线 绕 轴旋转形成 . 它是圆锥面，其特xyyO点是顶点在原点，半顶角为 ， 轴是中心轴，开口向 轴两侧.4/yy3. 解： （1） （2）3天津科技大学高等数学(一)检测题 8-4答案一、填空题1. 圆； 2. ； 3. 1632zy；02yx,12z4. （ ） ； ,cosx,sinsi305. ； 6. ； 7. ， .0y62zyxCBA二、选择题1.（C） ； 2.（C） ； 3.（D ）.三、解答题 1解： 取法向量 ，)4,31()2,()12,(3121 Mnr平面方程为 ，即 .0)(4)0()(zyx
5、 93zyx2. 解：取法向量 ，)0,1(2,1,1 ABnr平面方程为 ，即 .)()(zyx yx3. 解：由平面过 轴，于是设所求平面方程为 ，再由平面到CzA两点的距离相等，有 ，即 ，得BA、 223A13或 ，代入 得所求平面方程为 或C30Czx 0zx.03zx4解：设所求平面方程为 ，由到原点的距离是 6，有12ay4，即 ，得 ，2223116aa76a代入方程 并化简，得所求平面为 .zyx 4236zyx天津科技大学高等数学(一)检测题 8-5答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； )5,31(4213zyxzyx4. ； 5. .2zyx0二、选择题1.（D）
6、； 2.（D） ； 3.（B）.三、解答题 1解：取 ， )1,3(),21(),(21 nsr所求直线方程为 .3zyx2. 解：在直线上取一点 ，并取所求平面的法向量为)0,4(0M，)2,98(2,1,250 snr所求平面方程为 ，即 .)(9)3(8zyx 59zyx3. 解：设所求平面方程为 ，将点 代入有 ，0M03得 ，于是所求方程为 .312zyx4解：设所求直线方程为 ，由与已知直线垂直，有pnm3；又设与 轴交点为 ，有0pnmz),0(z5，由、两式得 ，所求直线方程pznm3210 mpn32、是 .yx5解：过点 作平面垂直于所给直线，方程为 ，将直M0)2()1(
7、yx线改写为参数方程 并代入平面方程，有021ztytx，得 ，投影点为 ，所以 .01t2t ),(M30Md天津科技大学高等数学(一)检测题 9-1答案一、填空题1 ， ； 2 ； u21yx 0,1),(2xyx3 .y),(二、选择题1 （B） ； 2 （C） ； 3 （D ） ； 三、解答题1解：令 ， .则 ， .于是yxuxvvu1y.vuvfvf 1)()()(),(),( 222所以 .yxf1),(22解： )(2)(,4tyxttf 2.,)(24yxfyx3解：由 有 或,0)(1；， ，012xy.012xy， ，6得 或 ；0,12xy.0,12xy于是，定义域为：
8、),1(),2xyxyD或 .0,2天津科技大学高等数学(一)检测题 9-2答案一、填空题1 ； 2 或 ； 31； 43.)(22xyzyx二、选择题1 （A） ； 2 （C） ； 三、解答题1解： ；yxze .)1(e)e(22yxyxz2解： ；xyxxxx cossin)(cossin212.)(coyyz3证明：由 ，有 ，)ln(212xz22)(yxxz由变量 的对称性，得 ，于是 .yx， 2y1z4证明：由于 ,)2sin()1(sin)cos(2 txtxtxtz ； .12tzco2ttz7所以, .0)2cos()cs(22 txtxtxzt天津科技大学高等数学(一)
9、检测题 9-3答案一、填空题1 , ；2 ；39.015. yxyd)1(d)1(2)1ln2(sectt；二、选择题1 （B） ； 2 （A） ； 三、解答题1. 解：由 ,yxyxyxz 2csosin1tansec2.222 cscosin)(tansec yxxyyxyz 得 .)d(ddcs2d22 xyxyz2. 解： 2212 )2()( 1xyyx .)d()(2/32y3. 解：由 ，有 ，)ln(1xzu 22)(yxzzxu8由变量 的对称性,得 ；又 .yx2yxzu2lnyxzu所以， .dldd 222 zz天津科技大学高等数学(一)检测题 9-4答案一、填空题1
10、； 2 ； 3 ；21efxfyy31cosfyxf 2e4 ； ； .zx)(zy二、选择题 1 （B） ； 2 （A） ； 3 （C）.三、解答题 1解： .2121fxyfyfxz)()( 21212 ffff .21214fxfyf yxz2 )()( 21121 fyfxf .121214fxfyf 2解：方程两边对 求导，有 ，)(xzyz即 . 解得xyzxyxz2 .2zx3解：方程 两边对 ， 求导，有0),(Fy9. （1）0)1(2 xzFzy. （2）)1(21 yzxyz（1） ， （2）移项并相比，有 ，yzxyzx1/)(/)( 22化简得 .xzyxz天津科技大
11、学高等数学(一)检测题 9-5答案一、填空题1 ；2 ； 3 ； 4 .314zyx 1zyx053，二、选择题 1(D) ； 2 （C ）.三、解答题1解：以 为参数，于是 ，在点 处，x 1)(4)(xzxy， )1,2(M. 取切线方向向量 ，2/1)()(zy， ,)2zyT，r切线方程为： ；1z法平面方程为： ，即 .0)()(yx 52zyx2解：设切点为 ， ，,0zM42, zzxF取法向量 ，),()84(1)(21 000yxynMzyxr由切平面与已知平面平行，有 ，即 ，2zx002z，10代入椭球面方程，得 ， ，2/10y10zx切平面方程为： ，即 .)()(2
12、x 042zyx3解：设所求点为 ，则法向量 ，,0zyM)1,(),0znMyxr根据已知，有 ，得 ，130x 313000 x，切平面方程为： ，即 ；)()(zyzyx法线方程为： . 131x4解：设曲面上任意一点为 ， ，),(0zyxM1),(xyzF则法向量 ，),( 0Fnzyxr于是切平面方程为： ，0)()( 000 zyxzx化为截距式方程为： ，1300yx四面体体积 ，293610zyxzV所以，曲面 上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为xyz定值 .2/9天津科技大学高等数学(一)检测题 9-6答案一、填空题1 ， ； 2 ， ； 3 ；),2(8)1,(041)2,(z二、选择题1(A)； 2 （C ） 3(C) ； 4(B)； 5(D).三、解答题111解：设两直角边分别为 、 ，三角形面积为 ，则 ，条件xyAxy21.22lyx设 ， ，由(),(xL)22ly)0(lyx，得惟一可疑点 ，由实际意义，斜边一定时,0,22lyx 2l直角三角形面积为 有最大值，于是在斜边长为 的直角三角形中，以等边直角Al三角形面积最大，最大面积为 .42maxl2解：设水箱的长、宽、高分别为 .则表面积zy,， .xyA)(2)0,(zx约束条件为 .设 ，由Vz (2, VxyyzL,0)(2Vxyzzx得惟一
