《[名校联盟]福建省2012届高三数学二轮复习04讲 数形结合思想》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[名校联盟]福建省2012届高三数学二轮复习04讲 数形结合思想（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲 数形结合思想1.数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略,它 包括两个方面:“以形助数”和“以数助 形”.“以形助数”即是借助形的生动性和直观性 来阐明数之间的联系，它是以“形”为手段，以 “数”为目的，如应用函数的图象来直观地说明 函数的性质，应用数轴直观表达不等式组的解 集.“以数助形”是借助于数的精确性和规范严密 性来阐明形的某些属性，它是以“数”为手段， 以“形”为目的，如二分法确认方程根的分布， 曲线方程可以精确地阐明曲线的几何性质.,2.数形结合，是根据数量与图形之间的对应关系， 通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思 想方法，也是一种智慧的解题技巧，它可以使复 杂的问
2、题简单化，抽象的问题具体化，繁琐的问 题条理化，从而，便于找到简捷的解题思路，使 问题得到解决.3.在运用数形结合思想解题时，还必须关注以下几 个方面： （1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是 数形结合的基础.,（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优 势.“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体 的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题 的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若 忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.4.数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚 依，焉能分作两边飞，数缺形时少知觉，形少数 时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非.切 莫忘几何代数统一体，永远联
3、系，切莫分离”.可 见，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一 种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌 握，熟练应用.,【例1】已知奇函数f(x)的定义域是x|x0,xR， 且在(0,+）上单调递增，若f(1)=0,满足 xf(x)0的x的取值范围是 . 分析 函数f（x）比较抽象，欲解出目标不等式是 不可能的，注意到xf（x）0表明自变量与函数 值异号，故可作出f（x）的图象加以解决. 解析 作出符合条件的一个函数图象 （草图即可），可知：xf（x）0的 x取值范围是（-1，0）（0，1）.,(-1，0)(0，1),探究拓展 函数图象是函数对应关系的一种表现 方式，它具有直观、形象、简明
4、的特点.通过绘出 函数图象，依图象确定相关不等式的解集的方 法，称作“图象法解不等式”. 变式训练1 （2009徐州调研）设奇函数y=f(x) (x0),当x(0,+)时，f(x)=x-1，则不等式 f(x-1)0,x-10 讨论，分别得到不等式，并解之. 如果能根据已知条件作出y=f(x) 的图象（奇函数图象关于原点对称）， 则可直观地得到f(x)0的解为x-1或0x1(见图).,从而f(x-1)0的解为x-1-1或0x-11, 即x0或1x2. 答案 x|x0或1x2【例2】不等式 的解集是 .,解析 方法一,方法二 数形结合法， 令 则(x-2)2+y2=4 (y 0)其图象是半圆，在同
5、一直角坐标 系中，分别作出 y=x的 图象，如图所示，当0x2时， 当20). 如图分别作出两个函数的图象， 令y1=y2求出交点横坐标 从图形不难看出当函数y2的图象位于y1图象上方 时，对应的x的取值范围即为原不等式的解. 原不等式的解集为 .,【例3】关于x的方程 上有 2个不同的根，求实数a的取值范围及此两根之和. 分析 由于原式可化为 解 原方程可化为 设 在同一坐标系下作出两函数的图象，两图象交点 的横坐标即为方程的解，如图所示.为有两个不同 的根，应满足,即 依图象可以看出 所以满足方程的a的取值范围是 方程的两根之和为,探究拓展 超越方程（非初等方程）根的个数研 究问题，往往转
6、化为函数图象交点个数问题研 究，但前提是要将图象画准确，这样，可以避免 繁琐的计算（有时是不可能的计算）.本例中实质 还运用了构造法.构造出了两个函数，将问题转化 为研究何时函数值相等，何时图象有两个不同的 交点,最后用运动变化的观点,分析出a的取值范围. 变式训练3 设关于 的方程 在区间（0，2 ）内有相异的两个实根 （1）求实数a的取值范围； （2）求 的值.,解,D,B,【例4】已知圆C：(x+2)2+y2=1,P(x,y)为圆C上任 一点. （1）求 的最大、最小值； （2）求x-2y的最大、最小值. 分析 （1）由 容易联想到它的几何意义是 点（x,y)与（1，2）所确定直线的斜率
7、. （2）由x-2y可联想到“目标函数”，可视为动直线 截距的最值问题. 解 （1）如图所示，设Q（1，2）， 由P（x,y），得 的最大、 最小值分别为过Q点的圆C的两 条切线的斜率.将上式整理得kx-y+2-k=0.,（2）令x-2y=u,则可视为一组平行线系，当直线 与C有公共点时，u的范围可求，最值必在直线 与C相切时取得. x-2y的最大值为-2+ ,最小值为-2- .,探究拓展 认真分析和研究代数式的结构特征， 运用类比、联想，将已知条件转化为直观形象的 图形，或挖掘出代数式的几何意义并使之形象 化，具体化是数形结合运用能力的体现，备考者 要着力培养和训练这一意识与能力.本例中，将
8、最 值问题转化为直线斜率的最值问题，并作出相关 图象，使问题一目了然，迅速获解. 变试训练4 设x0,y0,x2-y2=1，则 的取值 范围为 . 分析 的几何意义是双曲线x2-y2=1在第一象 限内的点（x,y)与定点（2，0）的连线斜率，由 图象即可求出其取值范围.,解析 画出双曲线弧x2-y2=1 (x0,y0)，在其上 任取一点P（x,y）,设Q（2，0），连结PQ，则 由图知直线PQ的倾斜角的范围为 kPQ1或kPQ0, 的取值范围为（-,0）(1,+). 答案（-，0）（1，+）,规律方法总结1.运用数形结合思想分析和解决问题时，首先要彻 底弄清一些概念和运算的几何意义，以及曲线的
9、 方程特征，为运用“数形结合”思想作好基础性 准备，对于数学题设中的条件和结论既要分析其 几何意义，又要分析其代数意义，以期望迅速找 到两者的“结合点”，实现“数形结合”的愿望.2.要树立强烈的“数形结合意识”，“由数思形” 和“以形想数”，有时还要恰当的设立参数，合 理用好参数，建立恰当的关系式，有助于问题解 决.,3.纵观近几年江苏省高考试题，不难发现，数形结 合应用的考查，比比皆是，解析几何问题，函数 与不等式问题，参数范围问题，集合问题，立体 几何问题，数列问题等都用到了数形结合的思想 与方法.4.应用数形结合思想方法解题，通常可以从以下几 个方面思考： （1）函数、不等式与函数图象；
10、（2）曲线与方 程；（3）代数式的结构特征；（4）概念自身的 几何意义；（5）参数蕴含的几何意义；（6）向 量的两重性（代数性与几何性）；（7）可行域与 目标函数.,5.运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个 原则： （1）等价性原则.要注意由于图象不能精确刻画数 量关系所带来的负面效应. （2）双方性原则.既要进行几何直观分析，又要进 行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何 分析容易出错. （3）简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结 合.具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利； 二是选择好突破口，恰当设参、用参、建立关 系，做好转化；三是挖掘隐含条件，准确界定参 变量的取值范围，
11、特别是运用函数图象时应设法 选择动直线与定二次曲线.,一、填空题1.设奇函数f(x)的定义域为-5，5，若当x 0，5时，f(x)的图象如图所示，则不等式 f(x)0的解是 . 解析 根据图象的对称性可得f(x)0的解为-2x0, 或21,则x0的取值 范围是 . 解析 如图所示，画出函数f(x)的图象和常数函数 f(x)=1的图象，观察图形，易知x0的取值范围是 (-,-1)(1,+).,（-,-1)(1,+),3.函数f(x)=x2-x-2,x-5，5，那么任取一点x0, 使f(x0)0的概率是 . 解析 几何概型. f（x）=x2-x-20-1x2,0.3,4.已知Sn是等差数列an的前
12、n项和且Sp=Sq（pq）, 则Sp+q= . 解析 题设知d0.Sn是关于n的缺常数项的二次函数， 其图象是由过原点的抛物线上的点构成.如图所 示，又因抛物线对称轴方程为,0,5.设关于x的不等式 （a-1）x的解集为A， 且Ax|0x2,则a的取值集合是 . 解析 为圆心，2为半径的半圆，而y=(a-1)x是过原点的 直线束. 问题转化为：0x0,且a1) 有两个零点，则实数a的取值范围是 . 解析 令g(x)=ax (a0，且a1)，h(x)=x+a,分 01两种情况，在同一坐标系中画出两个函 数的图象，如图所示，若函数f(x)=ax-x-a有两个 不同的零点，则函数g(x),h(x)的
13、图象有两个不同 的交点，根据画出的图象知只有当a1时符合题目 要求.,a1,二、解答题7.已知 方程sin2x+2sin xcos x+3cos2x+a=0 有三个实数根，求a的取值范围. 解 原方程可化为2+sin 2x+cos 2x+a=0, 即 则原方程有三个实根等价于 y=f(x)与y=-a-2有三个交点. 由图象可得-1-a-21,即 -3a-1. a的取值范围为-3，-1）.,8.若过定点M(-1，0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2- 5=0在第一象限内的部分有交点，求k的取值范围. 解 x2+4x+y2-5=0, (x+2)2+y2=9是以（-2，0）为圆心，3为半径 的圆，如图所示，令x=0,得y=5,C的坐标为 （0， ）. 又M（-1，0）， 由于直线和圆在第一象限内有交点. 结合图形得0k .,
