《2012届高三数学一轮复习 4.2 点、直线、平面之间的位置关学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012届高三数学一轮复习 4.2 点、直线、平面之间的位置关学案（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用心 爱心 专心 - 1 -专题四：立体几何第二讲 点、直线、平面之间的位置关系【最新考纲透析】1理解空间直线平面位置关系的定义。2了解可以作为推理依据的公理和定理。3认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。4能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。【核心要点突破】要点考向 1：线线、线面的位置关系考情聚焦：1空间直线的位置关系、直线与平面的位 置关系是最基本的关系，是高考中重点考查的内容，几乎年年都考。2题目基本上以柱体、锥体为背景，重点考查异面直线及线面关系。3三种题型均可出现，属较容易或中档题。考向链接：1解决此类问题时要特别注意线线平行与垂直、线
2、在平行与垂直、面面平行与垂直间的相互转化。2证明线线平行的常用方法：（1）利用定义，证两线共面且无公共点；（2）利用公理 4，证两线同时平行于第三条直线；（3）利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行。3证明线面平行常用方法：（1）利用线面平行的判定定理把证线面平行转化为证线线平行；（2）利用性质4证明线面垂直的方法有：（1）定义；（2）判定定理；例 1：（2010天津高考文科9）如图，在五面体 ABCDEF 中，四边形 ADEF 是正方形，FA平面 ABCD，BCAD， CD=1，AD=2，BADCDA45.（）求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值； （）证明 CD平面 AB
3、F；（）求二面角 B-EF-A 的正切值。【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力，运算能力和推理论证能力。【思路点拨】 （1）CED 即为异面直线 CE 与 AF 所成角；（2）证明 CD 垂直于两条相交直线AB、FA;（3）做辅助线构造二面角的平面角。【规范解答】(I)解：因为四边形 ADEF 是正方形，所以 FA/ED.故 CED为异面直线 CE 与AF 所成的角.因为 FA平面 ABCD，所以 FACD.故 ED CD.用心 爱心 专心 - 2 -在 RtCDE 中，CD=1，ED= 2，CE= 2CDE=3,故 cos CED=
4、=23.所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为 3.()证明：过点 B 作 BG/CD,交 AD 于点 G，则 45BA.由 45BA,可得BGAB,从而 CD AB,又 CDFA,FAAB=A,所以 CD平面 ABF.()解：由（）及已知，可得 AG= 2，即 G 为 AD 的中点.取 EF 的中点 N，连接 GN，则 GNEF,因为 BC/AD,所以 BC/EF.过点 N 作 NM EF，交 BC 于 M，则 G为二面角 B-EF-A的平面角。连接 GM，可得 AD 平面 GNM,故 AD GM.从而 BC GM.由已知，可得 GM平面 MAB.由NG/FA,FAGM,得 NG G
5、M.在 RtNGM 中，tanM1G4,所以二面角 B-EF-A 的正切值为 .要点考向 2：面面位置关系考情聚焦：1在高考中，本部分内容几乎年年考查，主要考查学生分析问题、解决问题的能力。2题目基本上以棱柱、棱锥为背景，考查面面平行或垂直。3选择题、填空题、解答题均可出现，题目难度为低档或中档。考向链接：1证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可。从而将面面平行转化为线面平行，再转化为线线平行。 2证明面面垂直的方法：证明一个面过另一个面的垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解
6、决。例 2：（2010辽宁高考文科19）如图，棱柱 ABCA1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形，B1CA1B.()证明：平面 AB1C平面 A1BC1;（)设 D 是 A1C1 上的点，且 A1B平面 B1CD，求 A1D:DC1 的值.用心 爱心 专心 - 3 -【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。【思路点拨】 （I）先证明 B1C平面 A1BC1.再证明平面 AB1C平面 A1BC1;（II）利用线面平行的性质，得到 DE/A1B，判断出 D 点是中点，从而可解【规范解答】 （I）1111111
7、1BCABCC侧 面 是 菱 形 ，又 已 知 ， 且 平 面 。又 平 面平 面 平 面（II） 1111 11BEDDABC/ /EC:设 交 于 点 ， 连 结 ，则 是 平 面 与 平 面 的 交 线 。因 为 平 面 ， 所 以 ，又 是 的 中 点 ， 所 以 为 的 中 点 。即 【方法技巧】1、证明面面垂直，一般通过证明一个平面经过另一个平面的垂线，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线和哪个平面垂直。2、证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来，如本题中强调了 A1BBC1B要点考向 3：与折叠有关的问题考情聚焦：1空间图形的折叠
8、问题是近几年高考命题的一个新的亮点,它通常与其他知识相结合,能够较好地考查学生的空间想象能力、图形变换能力及识图能力。2选择题、填空题、解答题均可出现，尤其解答题为多，属中档题。例 3：（2010浙江高考文科20）如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC，ABC=120。E 为线段 AB 的中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成ADE，使平面 ADE平面 BCD，F 为线段AC 的中点。用心 爱心 专心 - 4 -（）求证：BF平面 ADE；（）设 M 为线段 DE 的中点，求直线 FM 与平面 ADE 所成角的余弦值。【命题立意】本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，线面角等基础知识
9、，同时考查空间想象能力和推理论证能力。【思路点拨】 （1）可以在面 ADE内找一条直线与 BF 平行，从而证明线面平行；（2）求线面角的关键是找到对应的平面角。【规范解答】 ()取 AD 的中点 G，连结 GF，CE，由条件易知 FGCD，FG=12CD. BECD,BE=12CD.所以 FGBE,FG=BE. 故四边形 BEGF 为平行四边形, 所以 BFEG因为 EG平面 AD，BF 平面 AE，所以 BF/平面 ADE（）在平行四边形 ABCD 中，设 BC=a，则 AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 连 CE。因为 012BC，在BCE 中，可得 CE= 3a, 在ADE 中，
10、可得 DE=a,在CDE 中，因为 CD2=CE2+DE2，所以 CEDE,在正三角形 ADE 中，M 为 DE 中点，所以 AMDE.由平面 ADE平面 BCD,可知 AM平面 BCD, AMCE.取 AE 的中点 N，连线 NM、NF，所以 NFDE,NFAM.因为 DE 交 AM 于 M, 所以 NF平面 ADE,则FMN 为直线 FM 与平面 ADE 所成的角.在 RtFMN 中，NF=32a, MN=1a, FM=a,则 cos FM=12.所以直线 FM 与平面 ADE 所成角的余弦值为 .用心 爱心 专心 - 5 -【方法技巧】找线面所成角时，可适当的作一条面的垂线，从而把线面角
11、转化为线线夹角。注：（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口。（2）在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形。【高考真题探究】1 （2010山东高考理科3）在空间，下列命题正确的是（ ）（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行【命题立意】 本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力.【思路点拨】 可
12、利用特殊图形进行排除.【规范解答】选 D，在正方体 1ABC-D中， 11ABC 但它们在底面 ABCD上的投影仍平行，故 A 选项不正确；平面 与平面 都平行于直线 ，但平面 1与平面相交，故 B 选项不正确；平面 1与平面 1都垂直于平面 ，但平面 与平面相交 ，故 C 选项不正确；而由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以证明选项 D 正确.2 （2010浙江高考理科6）设 l， m是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是（ ）（A）若 lm， ，则 l （B）若 l， lm/，则 （C）若 /， ，则 / （D）若 /， ，则 l/【命题立意】本题考查空
13、间中的线线、线面位置关系，考查空间想象能力。【思路点拨】利用线面平行、线面垂直的判定定理。【规范解答】选 B。如图（1） ，选项 A 不正确；如图（2） ，选项 B 正确；如图（3）选项 C 不正确；如图（4）选项 D 不正确。3 （2010广东高考理科18） 如图 5， ABC是半径为 a 的半圆，AC 为直径，点 E 为 的中点，点 B和点 C 为线段 AD 的三等分点。平面 AEC 外一点 F 满足mll lmlm(1)(2)(3)(4)用心 爱心 专心 - 6 -FB=FD= 5a，FE= 6a 证明：EBFD；已知点 Q,R 分别为线段 FE,FB 上的点，使得FQ=23FE,FR=
14、 FB,求平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值。【命题立意】本题考察空间点、线、面之间的关系以及空间几何体的相关计算.【思路点拨】 （1）点 E 为 AC的中点，AC 为直径 EBAC2ECaF是 Rt，又 FDF面 BD EBFD.作出二面角的棱 证明 为所求二面角的平面角 求 R、Rsin.【规范解答】 （1）证明：连结 CF.因为 AB是半径为 a 的半圆， AC为直径，点 E 为AC的中点，所以 EB，在 RtBE中， 22Ea，在 BDF中，5FDa，所以 DF是等腰三角形，且点 C是底边 B的中点，所以 .C在 C中， 226C，所以 F是 Rt，所以 E.由 .B，
15、E，且 B，所以 面又 E面 ，所以， F所以 平面 D，而 平面 D，所以 .E（2）过点 作 /GQR， FQ=23FE,FR= FB， /QRB， /EDG，与 共面且与 EB共面，D为平面 BED 与平面 RQD 的棱.由（1）知， 平面 DF， G平面 DF，而 平面 F， B平面BF，GR， ， R是平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的平面角.在 tCA中，22(5)BCa，sin5aDF， 2cos1sinBDRB=5.用心 爱心 专心 - 7 -由余弦定理得： 22cosRDBDBR29a 9.3a又由正弦定理得： sinsiBRD，即 sinsinBRD5239a.所以平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值为29.4 （2010北京高考理科6）如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直， CEAC,EFAC,AB= ，CE=EF=1.（）求证：AF平面 BDE；（）求证：CF平面 BDE；（
