《专题复习函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)》由会员分享,可在线阅读,更多相关《专题复习函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(7页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、专题复习:函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)“定义域优先”的思想是研究函数的前提, 在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域,所以必须先考虑函数的定义域,离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1. 奇偶性奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称,再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系:f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;f(-x)-f(x)=0 为偶;f(x)+f(-x)=0 为奇;f(-x)f(x)=1 是偶;f(x)f(-x)=-1 为奇函数.(1 ) 若定义域关于原点对称(2)若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如: 3xy
2、在 )1,上不是奇函数常用性质:1 是既奇又偶函数; 0)(xf2奇函数若在 处有定义,则必有 ; 0)(f3偶函数满足 ; )()xff4奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于 y 轴对称;5 除外的所有函数的奇偶性满足:0)(xf(1)奇函数 奇函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 (2) 奇函数奇函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=奇函数6任何函数 可以写成一个奇函数 和一个偶函数)(xf 2)()(xfx的和。2)(fx2. 单调性来源:Zxxk.Com定义:函数 定义域为 A,区间 ,若对任意 且 总有 则称 在区间 M 上单调递增 总有 则称 在
3、区间 M 上单调递减应用:(一)常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤:(1)设值(2)作差(3)变形(4)定号(5)结论(二) 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)注:常用结论(1) 奇函数在对称区间上的单调性相同(2) 偶函数在对称区间上的单调性相反(3) 复合函数单调性-同增异减 3. 周期性(1 )一般地对于函数 ,若存在一个不为 0 的常数 T,使得 内一切值时总有 ,那么 叫做周期函数,T 叫做周期,kT(T 的整数倍)也是它的周期(2 )如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数,就把这个最小正数叫最小正周期。注:常用结论(1)若 ,则 是周期函数, 是它
4、的一个周期(自己证明))()(bxfaf)(xfab(2)若定义在 R 上的函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 (ab),则 y = f (x)是周期函数,且 2| ab|是其一个周期。(自己证明)(推论)若定义在 R 上的偶函数 的图象关于直线 对称,则 是周期)(xf)0()(f函数, 是它的一个周期 a(3 )若 ; ; ;则 是周期函数,)()(xfxf)(1xfaf)(1)xfaf)(f2 是它的一个周期4对称性一、函数自身的对称性定理 1.函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (
5、2ax) = 2b证明:(必要性)设点 P(x ,y)是 y = f (x)图像上任一点,点 P( x ,y)关于点 A (a ,b)的对称点 P(2ax,2by )也在 y = f (x)图像上, 2b y = f (2ax) 即 y + f (2ax)=2b故 f (x) + f (2ax) = 2b,必要性得证。(充分性)设点 P(x0,y0)是 y = f (x)图像上任一点,则 y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x0) + f (2ax 0) =2b,即 2by 0 = f (2ax 0) 。 故点 P(2ax 0,2by 0)也在 y = f (x
6、) 图像上,而点 P 与点 P 关于点 A (a ,b)对称,充分性得证。推论:函数 y = f (x)的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 0定理 2. 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是f (a +x) = f (ax) 即 f (x) = f (2ax) (证明留给读者)推论:函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f (x) = f (x)定理 3 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是f (a +x) = f (ax) 或 f (x) = f (2ax) 定理 4.若函
7、数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 (ab),则 y = f (x)是周期函数,且 2| ab| 是其一个周期。 二不同函数对称性定理 5. 函数 y = f (a+x)与 y = f (bx) 的图像关于直线 x = (b-a)/2 成轴对称定理 6. 互为反函数的两个函数关于直线 y=x 对称【典型例题】例 1 判断下列函数奇偶性(1 ) ( 且 )(2 )(3 )(4 )(5 )解:(1) 且 奇函数(2 ) ,关于原点对称 奇函数 (3 ) ,关于原点对称 既奇又偶(4 )考虑特殊情况验证: ; 无意义 ; 非奇非偶(5 ) 且 ,关于原
8、点对称 为偶函数例 2(1) , 为何值时, 为奇函数;(2 )为何值时, 为偶函数。答案:(1)(恒等定理) 时, 奇函数来源:高考%资源网 KS%5U (2 ) (恒等定理) 巩固:已知定义域为 的函数 是奇函数。R12()xbfa()求 的值;,ab()若对任意的 ,不等式 恒成立,求 的取值范围;t22()0ftftkk解析:() 简 解 :取特殊值法因为 是奇函数,所以 =0,()fx(0)f即 11202xbaa又由 f( 1)= - f(-1)知.4()解法一:由()知 ,易知 在 上12()1xxf()fx,)为减函数又因 是奇函数,从而不等式: ()fx22()(0ftftk
9、等价于 ,22()tftk因 为减函数,由上式推得:2tk即对一切 有: ,从而判别式tR230tk14120.3k例 3 求函数 的解析式(1 ) 为 R 上奇函数, 时, ,解:时, 来源:Z_xx_k.Com(2 ) 为 R 上偶函数, 时,解:时, 例 4 求下列函数的增区间(1 )(2 )答案:(1) , (2 )作图 例 5若 在区间 ,求 取值范围。答案:分类讨论(1 ) 当 在区间 ,符合题意 当 时 ,要在区间 ,则有 例 6 , 为偶函数,试比较 的大小关系。解: 为偶函数 则函数关于直线 x=2 对称 在(0,2) (提示:看离对称轴的远近)例 7 为偶函数, ,若 ,求
10、 取值范围。解: 例 8 求下列函数是否为周期函数来源:学.科.网(1 ) ,满足(2 ) ,满足(3 ) ,满足(4 ) ,满足答案:(1 )令 T=2 周期函数(2 ) T=4 周期函数(3 ) T=4(4 ) T=8 例 9 ,偶函数,周期函数,T=2, , ,则 ,求当 时, 。答案:例 10 ,偶函数, 奇函数,则 。答案: 奇偶 奇 巩固例 1:定义在 R 上的非常数函数满足: f (10+x)为偶函数,且 f (5x) = f (5+x),则 f (x)一 定是( )(A)是偶函数,也是周期函数 (B)是偶函数,但不是周期函数 (C)是奇函数,也是周期函数 (D)是奇函数,但不
11、是周期函数解:f (10+x)为偶函数,f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ,因此 f (x)是以 10 为其一个周期的周期函数,x =0 即 y 轴也是 f (x)的对称轴,因 此 f (x)还是一个偶函数。故选(A)例 2:设定义域为 R 的函数 y = f (x)、y = g(x)都有反函数,并且 f(x1) 和 g-1(x2)函数的图像关于直线 y = x 对称,若 g(5) = 1999,那么 f(4)=( )。 1999; (B )2000; ( C) 2001; (D)2002。 解:y = f(x1)和 y = g-1(x
12、2)函数的图像关于直线 y = x 对称,y = g-1(x2) 反函数是 y = f(x1),而 y = g-1(x2)的反函数是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有 f(51) = 2 + g(5)=2001故 f(4) = 2001,应选(C)例 3.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(1+x)= f(1x), 当1 x 0 时,f (x) = x,则 f (8.6 ) = _ 1解:f(x)是定义在 R 上的偶函数x = 0 是 y = f(x)对称轴;来源:高考%资源网 KS%5U 又f(1+x)= f(1x) x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数,f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3