《专题复习函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题复习函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题复习：函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提， 在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的关系：f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0 为奇；f(-x)f(x)=1 是偶；f(x)f(-x)=-1 为奇函数.（1 ） 若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如： 3xy
2、在 )1,上不是奇函数常用性质：1 是既奇又偶函数； 0)(xf2奇函数若在 处有定义，则必有 ； 0)(f3偶函数满足 ； )()xff4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称；5 除外的所有函数的奇偶性满足：0)(xf（1）奇函数 奇函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 （2） 奇函数奇函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数 奇函数偶函数=奇函数6任何函数 可以写成一个奇函数 和一个偶函数)(xf 2)()(xfx的和。2)(fx2. 单调性来源:Zxxk.Com定义：函数 定义域为 A，区间 ，若对任意 且 总有 则称 在区间 M 上单调递增 总有 则称 在
3、区间 M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（二） 求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学)注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同（2） 偶函数在对称区间上的单调性相反（3） 复合函数单调性-同增异减 3. 周期性（1 ）一般地对于函数 ，若存在一个不为 0 的常数 T，使得 内一切值时总有 ，那么 叫做周期函数，T 叫做周期，kT（T 的整数倍）也是它的周期（2 ）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。注：常用结论（1）若 ，则 是周期函数， 是它
4、的一个周期（自己证明）)()(bxfaf)(xfab（2）若定义在 R 上的函数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 （ab），则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab|是其一个周期。（自己证明）（推论）若定义在 R 上的偶函数 的图象关于直线 对称，则 是周期)(xf)0()(f函数， 是它的一个周期 a（3 ）若 ； ； ；则 是周期函数，)()(xfxf)(1xfaf)(1)xfaf)(f2 是它的一个周期4对称性一、函数自身的对称性定理 1.函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (
5、2ax) = 2b证明：（必要性）设点 P(x ,y)是 y = f (x)图像上任一点，点 P( x ,y)关于点 A (a ,b)的对称点 P（2ax，2by ）也在 y = f (x)图像上， 2b y = f (2ax) 即 y + f (2ax)=2b故 f (x) + f (2ax) = 2b，必要性得证。（充分性）设点 P(x0,y0)是 y = f (x)图像上任一点，则 y0 = f (x0) f (x) + f (2ax) =2bf (x0) + f (2ax 0) =2b，即 2by 0 = f (2ax 0) 。 故点 P（2ax 0，2by 0）也在 y = f (x
6、) 图像上，而点 P 与点 P 关于点 A (a ,b)对称，充分性得证。推论：函数 y = f (x)的图像关于原点 O 对称的充要条件是 f (x) + f (x) = 0定理 2. 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是f (a +x) = f (ax) 即 f (x) = f (2ax) （证明留给读者）推论：函数 y = f (x)的图像关于 y 轴对称的充要条件是 f (x) = f (x)定理 3 函数 y = f (x)的图像关于直线 x = a 对称的充要条件是f (a +x) = f (ax) 或 f (x) = f (2ax) 定理 4.若函
7、数 y = f (x) 图像同时关于直线 x = a 和直线 x = b 成轴对称 （ab），则 y = f (x)是周期函数，且 2| ab| 是其一个周期。 二不同函数对称性定理 5. 函数 y = f (a+x)与 y = f (bx) 的图像关于直线 x = (b-a)/2 成轴对称定理 6. 互为反函数的两个函数关于直线 y=x 对称【典型例题】例 1 判断下列函数奇偶性（1 ） （ 且 ）（2 ）（3 ）（4 ）（5 ）解：（1） 且 奇函数（2 ） ，关于原点对称 奇函数 （3 ） ，关于原点对称 既奇又偶（4 ）考虑特殊情况验证： ； 无意义 ； 非奇非偶（5 ） 且 ，关于原
8、点对称 为偶函数例 2（1） ， 为何值时， 为奇函数；（2 ）为何值时， 为偶函数。答案：（1）（恒等定理） 时， 奇函数来源：高考%资源网 KS%5U （2 ） （恒等定理） 巩固：已知定义域为 的函数 是奇函数。R12()xbfa（）求 的值；,ab（）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；t22()0ftftkk解析：（） 简 解 ：取特殊值法因为 是奇函数，所以 =0，()fx(0)f即 11202xbaa又由 f（ 1）= - f（-1）知.4（）解法一：由（）知 ，易知 在 上12()1xxf()fx,)为减函数又因 是奇函数，从而不等式： ()fx22()(0ftftk
9、等价于 ，22()tftk因 为减函数，由上式推得：2tk即对一切 有： ，从而判别式tR230tk14120.3k例 3 求函数 的解析式（1 ） 为 R 上奇函数， 时， ，解：时， 来源:Z_xx_k.Com（2 ） 为 R 上偶函数， 时，解：时， 例 4 求下列函数的增区间（1 ）（2 ）答案：（1） ， （2 ）作图 例 5若 在区间 ，求 取值范围。答案：分类讨论（1 ） 当 在区间 ，符合题意 当 时 ，要在区间 ，则有 例 6 ， 为偶函数，试比较 的大小关系。解： 为偶函数 则函数关于直线 x=2 对称 在（0，2） (提示：看离对称轴的远近)例 7 为偶函数， ，若 ，求
10、 取值范围。解： 例 8 求下列函数是否为周期函数来源:学.科.网（1 ） ，满足（2 ） ，满足（3 ） ，满足（4 ） ，满足答案：（1 ）令 T=2 周期函数（2 ） T=4 周期函数（3 ） T=4（4 ） T=8 例 9 ，偶函数，周期函数，T=2， ， ，则 ，求当 时， 。答案：例 10 ，偶函数， 奇函数，则 。答案： 奇偶 奇 巩固例 1：定义在 R 上的非常数函数满足： f (10+x)为偶函数，且 f (5x) = f (5+x),则 f (x)一 定是（ ）(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不
11、是周期函数解：f (10+x)为偶函数，f (10+x) = f (10x).f (x)有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ，因此 f (x)是以 10 为其一个周期的周期函数，x =0 即 y 轴也是 f (x)的对称轴，因 此 f (x)还是一个偶函数。故选(A)例 2：设定义域为 R 的函数 y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且 f(x1) 和 g-1(x2)函数的图像关于直线 y = x 对称，若 g(5) = 1999，那么 f(4)=（ ）。 1999； （B ）2000； （ C） 2001； （D）2002。 解：y = f(x1)和 y = g-1(x
12、2)函数的图像关于直线 y = x 对称，y = g-1(x2) 反函数是 y = f(x1)，而 y = g-1(x2)的反函数是:y = 2 + g(x), f(x1) = 2 + g(x), 有 f(51) = 2 + g(5)=2001故 f(4) = 2001,应选（C）例 3.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(1+x)= f(1x), 当1 x 0 时，f (x) = x，则 f (8.6 ) = _ 1解：f(x)是定义在 R 上的偶函数x = 0 是 y = f(x)对称轴；来源：高考%资源网 KS%5U 又f(1+x)= f(1x) x = 1 也是 y = f (x) 对称轴。故 y = f(x)是以 2 为周期的周期函数，f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (0.6 ) = 0.3
