《n条直线能把平面分成几块》由会员分享，可在线阅读，更多相关《n条直线能把平面分成几块（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、N 条直线能把平面分成几块一、摘要在生活中常常用直线来分平面，本研究是要探讨如何用直线划分平面成最多块和最少块，并找出规则和公式。 我们发现分成几块和线数、交点数有关系。N 条线全部平行、没有交点，能分成最少 N+1 块，每增加一个两线交点，就会增加 1 块。每增加一个三线交点，会增加 2 块。每增加一个四线交点，会增加 3 块。以此类推，每增加一个 n 线交点，就会增加 n-1 块。N 条线完全没有平行、只有两线交点的话，就能分成最多（N 2+N+2） 2 块。注:N 等于线段的数量。二、研究动机及目的：有一天，我们做一个“猫与老鼠”的题目。感情交恶的猫与老鼠合计 16 只，想让老鼠不被猫吃
2、掉，要用直线来把牠们一只只分开，最少用 5 条就可以把它们分开。所以我们就想研究用直线来分平面，最少能分成几块？最多能分成几块？有没有规则或公式？三、研究设备器材：笔和纸。四、研究过程或方式：我们找 50 个同学，请每位同学分别用三条、四条、五条、六条直线来分平面，再把得到的结果整理分类，然后用表格整理，找出规则和公式。五、研究结果：（一） 、什么情况下可分成最多块、最少块2 条线 3 条线 4 条线 5 条线 6 条线最少 3 4 5 6 7最多 4 7 11 16 22我们发现，不管是 2 条、3 条、4 条、5 条或 6 条直线，全部都平行、都没有交点时是最少块的；如果没有平行线，每一条
3、线都跟其他条直线都有交点的话，会分成最多块。(二)、找出交点、线数、块数间的关系。我们已经知道，N 条直线平行时，得到的块数是最少的。所以，我们慢慢减少平行线，讨论 N 条直线与两线交点、三线交点、四线交点，试着找出点、线、块之间的关系。(1) 两线交点的情况N 条线 2 2两线交点数 0 1块数 3 4N 条线 3 3 3两线交点数 0 2 3分割块数 4 6 7N 条线 4 4 4两线交点数 0 3 5块数 5 8 10 N 条线 4 4两线交点数 4 6块数 9 11N 条线 5 5 5两线交点数 0 4 7分割块数 6 10 13N 条线 5 5 5两线交点数 7 6 8块数 13 1
4、2 14N 条线 5 5 5两线交点数 8 9 9块数 14 15 15N 条线 5两线交点数 10块数 16N 条线 6 6 6两线交点数 0 5 9分割块数 7 12 16N 条线 6 6 6两线交点数 9 8 9块数 16 15 16N 条线 6 6 6两线交点数 12 13 14块数 19 20 21N 条线 6两线交点数 15块数 22我们发现，全部平行线、都没有交点时块数最少，得到的块数线段+1。不管怎么分，只要线数和点数相同，得到的块数也会相同。每增加一个两线交点，就会增加 1 块，点、线、块的关系是：（线段+1）+点数块数。(2) 三线交点的情况N 条线 3 3两线交点数 0
5、0三线交点数 0 1块数 4 6N 条线 4 4两线交点数 0 3三线交点数 0 1块数 5 10N 条线 5 5 5两线交点数 6 3 3三线交点数 1 2 2块数 14 13 13N 条线 5 5 5两线交点数 6 4 4三线交点数 1 2 2块数 14 14 14N 条线 6 6 6两线交点数 9 7 5三线交点数 1 2 3块数 18 18 18N 条线 6 6 6两线交点数 8 6 6三线交点数 2 3 3块数 19 19 19N 条线 6两线交点数 3三线交点数 4块数 18我们发现，每增加一个三线交点，会增加 2 块。如果同时有两线交点和三线交点，点、线、块的关系是：（线段+1）
6、 +（1两线交点数）+ （2 三线交点数）块数。(3)四线交点的情况N 条线 4 5 6两线交点数 0 4 6三线交点数 0 0 1四线交点数 1 1 1块数 8 13 18N 条线 6 7 7两线交点数 8 9 9三线交点数 0 1 0四线交点数 1 1 2块数 16 22 23我们发现，每增加一个四线交点，会增加 3 块。如果同时有两线交点、三线交点和四线交点，所得到的块数是（线段+1）+（1两线交点数）+（2 三线交点数）+ （3 四线交点数） 。 （三） 、 如何求出最多块数的公式因为每一条线都跟其他条线都有交点的话，分成最多块。所以，要求出最多块数，必须先知道两线交点的点数。N 条线
7、 2 3 4 5 6交点 1 3 6 10 15块数 4 7 11 16 22我们发现有 N 条线的时候，每一条线都可以碰到其他条线，所以每条线都会产生(N-1)个点，总共 N（N-1）个点，但有一半是重复的，所以要除以 2 扣掉。分成最多块，得到的交点数是：N(N-1) 2=(N2-N)/2。 每增加一个两线交点，块数 =（线段+1）+点数。所以最多块的求法是： N+1+（N 2-N）/2=（N 2+N+2）/2。六、讨论与结论：（一） 、 当 N 条线段都平行时，会分成最少块，最少为 N+1 块。每一条线都跟其他条线有互相交错的话，会分成最多块。（二） 、 N 条线分平面所得到的块数，跟线
8、数、点数有关系。如果有一样多条的直线，不管怎么分，只要点数相同，得到的块数也会相同。（三） 、 每增加一个两线交点，就会增加 1 块每增加一个三线交点，会增加 2 块。每增加一个四线交点，会增加 3 块。每增加一个 n 线交点，就会增加(n-1)块。（四） 、 有 N 条线分平面，点、线、块的关系：(1) 如果平面只有两线交点， （N+1 ）+ 两线交点数块数。(2) 如果同时有两线交点与三线交点， （N+1 ）+（1两线交点数） +（2 三线交点数）块数。(3) 如果同时有两线交点与三线交点、四线交点，块数（N+1） +（ 1两线交点数）+（2三线交点数）+ （3 四线交点数） 。(4) 我们推论，当 N 条直线分平面，同时有两线交点与三线交点、四线交点.N 线交点，所得块数 (N+1) + (1两线交点数) + (2三线交点数) + (3四线交点数) +.(N-1) (N 线交点数)。（五） 、 N 条线分成最多块时，全部是两线交点。所以 N 条线分成最多块的公式是（N 2+N+2） 2=块数。
