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1、 1“复数”全章复习重点、难点：1. 复数的概念及其表示形式：（ ） 形 如 （ ） 的 数 称 为 复 数 ， 分 别 叫 做 复 数 的 实 部 、 虚 部1abiRab, ,当 时 ， 表 示 实 数 ； 当 时 ， 表 示 虚 数 ；bi00当 ， 时 ， 表 示 纯 虚 数 ， 显 然 ， 纯 虚 数 虚 数 ，i 实 数 虚 数 复 数C通常复数 z 的实部记作 Rez；复数 z 的虚部记作 Imz.两个重要命题：定 理 ： 复 数 是 实 数 的 充 要 条 件 是 ；1定 理 ： 复 数 是 纯 虚 数 的 充 要 条 件 是 （ ）2 0zzz（2）复数的几何形式：复数集与平
2、面上的点集之间能建立一一对应关系，故可用平面 上 的 点 来 表 示 复 数 ， 一 般 地 ， 可 用 点 （ ） 表 示 复 数 ， （ ） ，Za,ba+bi,R或 用 向 量 表 示 复 数OZabi.（ ） 复 数 相 等 ： 且3cdcd.这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：（ ） 共 轭 复 数 ： 与 （ ） 互 为 共 轭 复 数 。4zizabiR,在复平面上，互为共轭复数的两个点关于实轴对称：另 外 z|（ ） 复 数 的 模 ： 设 在 复 平 面 上 对 应 的 点 为 （ ） ， 则5zi Zab(,) ,把 向 量 的 模 （ 即 线 段 的 长 度 ） 叫 做
3、 复 数 的 模 。OZZz|()zab20（6）共轭复数的运算性质：zzzz1212121212121212； ； ； （ ）zn()|；（7）复数的模的运算性质：|zzOZ1212121212（ 当 与 ， 对 应 的 向 量 ， 同 向 时 ， 右 边的 等 号 成 立 ： 当 ， 反 向 时 ， 左 边 的 等 号 成 立 ）OZ|z121212（ 取 等 号 的 情 形 与 以 上 相 反 ）|.zzzn； ；（ ） 关 于 复 数 与823ii.i innnn41424411 ， ， ，3 0， ， ； 2322110， ， .2. 复数的运算：（1）四则运算法则（可类比多项式的运
4、算） 加 法 ： ()()()(),abicdiacbdiacR 减 法 ： 乘 法 ： 除 法 ： 转 化 为 乘 法 运 算()()()()iciidicd简记为“分母实数化”。特例： ()().abiiabiii22211； ，利用（ ） 开 平 方 运 算 的 平 方 根 （ ） 可 由2 2: ()+x+ya,Rxyabi复数相等的充要条件转化为解实方程组。（3）复数加法、减法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则。复数减法即向量的减法，满足三角形法则。z1-z2 对应的向量，是以 z2 的对应点为起点，指向 z1 的对应点的向量，|z 1-z2|表示复平面内与 z1
5、，z 2 对应的两点的距离，如：|z-i|表示 z 与 i 的对应的点的距离；3. 复数与方程：（1）含 z 的复数方程：可设出 z 的代数形式，利用复数相等转化为实方程组。（2）实系数一元二次方程：ax 2+bx+c=0（a 0）0 时，方程有两个不等实根；=0 时，方程有两个相等实根；0，但该方程并无实根。但韦达定理以及求根公式仍适用。注1. 解决复数问题，注意虚实转化的方法。2. 解决复数问题，注意充分利用共轭，模的运算性质。三. 典型例题：例 1. 若 ， 且 为 负 实 数 ， 求 复 数 。|zzz121分析：欲求 z，只需求出其实部、虚部，为此，设出其代数形式，利用已知条件，列出
6、关于实部、虚部的方程组。解： 设 （ ） 则 由 ， 得abiRzab,| 12zabii2211()() 3()()ababibi2 22()ai2()()i23为 负 实 数ababb20113210或 或ziziz31或 或 。例 2. 设 ， 求ziiz()()|41224分析与解： 利 用 模 的 运 算 性 质 ， 简 化 运 算 。|2564例 3. 计 算 ： ()()21323910ii分析与解： 注 意 到 式 中 隐 含 ， ， 故 可 考 虑 利 用 ，12iiii()以 及 的 运 算 性 质 简 化 运 算 ， 但 需 先 对 式 子 变 形 。123i原 式 23
7、22312991016931010()()()()ii ii2121536109i .例 4. 请证明。对 于 复 数 ， ， 若 ， 则 ， 中 至 少 有 一 个 等 于zzzz121212121| ,分析：可变形运算对 于 两 个 模 相 等 的 式 子 。 要 想 对 其 变 形 ， 则 需 利 用 来 转 化 为|=z的形式。证明： 由 已 知 ， 得 ， 即|zz1212()()()z12121212 4zzzzz1212121212化 简 ， 得 |12移 项 ， 分 解 因 式 ， 得 （ ） (|)0|zz1222或 即 或可 见 ， 中 至 少 有 一 个 为 。例 5.
8、已 知 ， 求 的 最 值 。|()|i3分析： 若 设 （ ） ， 则 （ 已 知 ） ， 所 求 为zxyiRxy,21则通|()|()(), ,zi2322若 意 图 消 元 把 二 元 函 数 转 化 为 一 元 函 数常的代入消元难以奏效，故可由 x2+y2=1 的结构联想到三角换元（sin 2+cos 2=1）；亦可考察已知等式与所求式子的几何意义，进行数形结合，转化为几何问题求解。解法一（代数法）设 ， （ ） ， 由 ， 得zxyiRzxy,|112令 ， ，cosn()0则 |()|)|()iyi2323322(cosin4614sin)当 时 ， 取 最 大 值 ；si()
9、|()|12314231zi当 时 ， 取 最 小 值 。解法二（几何法） A Z1 O |zO11表 示 以 原 点 为 圆 心 ， 半 径 为 的 圆()| ,i A2323表 示 上 述 圆 上 的 点 与 点 （ ， ） 的 距 离 由 平 面 几 何 知 识 可 得| 13的 最 大 值 为 ， 最 小 值 为 。例 6. 若 为 纯 虚 数 ， 求 在 复 平 面 内 对 应 点 的 轨 迹 。zz1分析： 若 设 复 平 面 内 与 对 应 的 点 坐 标 为 （ ） ， 则 （ ）Zx,yz=x+yiR,再 利 用 为 纯 虚 数 的 条 件 ， 可 列 出 关 于 的 方 程
10、 ， 从 而 可 得 知 轨 迹 类 型 ； 另z 5外 ， 若 联 想 到 一 个 复 数 为 纯 虚 数 的 充 要 条 件 ， 亦 可 先 对 变 形 化 简 ， 再 转 化z1为实数范围内的轨迹问题。解法一： 设 （ ）zxyiR,则 ， 因 其 为 纯 虚 数 。i122()yxy2 20140()()它 表 示 以 ， 为 圆 心 ， 以 为 半 径 的 圆 （ 去 掉 两 点 ， ， ）() (),01解法二：（利用共轭的运算性质化简）z1为 纯 虚 数zz01， （ 且 ）1210（ ） （ ）z20设 ， 则 有 （ ）xyiRxy(,)()02即 ()y4它 表 示 以 （
11、 ， ） 为 圆 心 ， 以 为 半 径 的 圆 ， （ 去 掉 两 点 ）1201210(,)例 7. 若 关 于 的 方 程 有 实 根 ， 则 实 数xixmim230() .分析与解：因方程为复系数的一元二次方程，故由条件想到0 是错误的，可设出实 根 为 ， 则 ， ， 由 复 数iixxi0200201321()()()相等的条件，易得xmxm020311212例 8. 设 为 虚 数 ， 为 实 数 ， 且zz1（1）求|z|的值以及 z 的实部的取值范围；（ ） 设 ， 求 证 ： 为 纯 虚 数 。2uu（ ） 求 的 最 小 值 。32分析： 解 决 本 题 的 关 键 和
12、 切 入 点 是 为 实 数 的 条 件z1解： （ ） 设 （ 且 ）10zxyiRy, 6则 ()()()xyiixyxyi11122R)02， 而10122xyxyz， 即 |的 实 部 为 ， 而()1222 1xz， 即 的 实 部 的 取 值 范 围 为 （ ， ）（ ） 1122uxyixyiyxi()()y0为 纯 虚 数 。） ）（为 纯 虚 数另 法 （ 利 用 0uzxyi1（ 否 则 与 已 知 矛 盾 ）且 uzz1210|()为 纯 虚 数 。（ ）31222zzxyi()()122xyx)13(210xx，241()当 且 仅 当 ， 即 时 ， 上 式 取 “”
13、号 。xxu2的 最 小 值 为 。【模拟试题】（一）选择题：1. 下列命题中正确的有（ ）个。（ ） 若 则10212zz（ ） 若 ， 则 01| （ ） 若 ， 则3（ ） 若 ， 则492|zA. 1 B. 2 C.3 D. 4 7221.|若 复 数 满 足 ， 则 的 最 小 值 为 （ ）zizziA1B. C. D. 5334.复 数 的 共 轭 复 数 为 （ ）i5+. 35-1iC.-1i423123.设 ， 则 （ ）A. 0 B. 1 C. -1 D. i5 1.,() ()设 为 非 零 实 数 则 复 数 在 复 平 面 上 的 对 应 点 的 轨 迹 为tztt
14、A. 直线 B. 圆 C. 双曲线 D. 椭圆（二）填空题：621312.计 算 ： ii7|若 满 足 等 式 ， 则 复 数zzzz8121212.| |若 ， ， ， 则94|若 ， 则 的 取 值 范 围 是ii（三）解答题10.z8+6iz已 知 复 数 是 的 平 方 根 且 在 复 平 面 内 对 应 点 在 第 三 象 限 ， 求 的 值 。, z3211325|已 知 ， 为 复 数 ， （ ） 为 纯 虚 数 ， 且 ， 求 复 数i zi24402.已 知 方 程 （ ） 有 实 根 。ixmi（ ） 若 ， 求 值 。1R（ ） 若 ， 求 的 最 小 值 。C| 8【试题答案】一. 选择题1. A 2. A 3. B 4. A 5. C二. 填空题：64
