量子力学导论答案下(7-12)

第七章 粒子在电磁场中的运动 7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场 和均匀磁场 中运动，求能级本征值和本征。B（参《导论》 ）25P解：以电场方向为 轴，磁场方向为 轴，则xz， （1）0,,0去电磁场的标势和矢势为， （2）x,BxA满足关系 ， 粒子的 Hamiton 量为 （3）xqpxCqpuHzyx 221取守恒量完全集为 ，它们的共同本征函数可写成zyp,（4）zpyiex,其中 和 为本征值，可取任意函数。yPz满足能量本证方程： x,zyxEzyxH,,因此 满足方程（5）xxqpxCqBpuzyx 221亦即，对于 来说， 和 式等价：HF222 1zyypuxpqBxuqH（6）2202022 zyCx其中 （7）upBqpuqBCyy20式（6）相当于一维谐振子能量算符 uCxxu ,21202再加上两项函数，因此本题能级为 220zypuCBqnE2（8）22121zypuBCuqBn其中 和 为任意实数， yPz ,0n式（4）中 为以 为 变量的一维谐振子能量本征函数，即x（9）20eHnn为厄密多项式， 。nH00xCBqxu7.2）设带电粒子在均匀磁场 和各向同性谐振子势 中运动，求能量本征值。B 21rrV第八章 自旋8.1) 在 表象中，求 的本征态。zx解：在 表象中， 的矩阵表示为：zxx01设 的本征矢（在 表象中）为 ，则有xzbaba可得 及 。abb1,2则 则,1;,1a利用归一化条件，可求出 的两个本征态为x。,1;2,128.2) 在 表象中，求 的本征态， 是 方向的单位矢.zncos ,ins ,cosin ,解：在 表象中， 的矩阵表示为z， ， （1）x01y0iz10因此， zyxn nn（2）cossiiiizyxz eii3设 的本征函数表示为 ，本征值为 ，则本征方程为nba，即 （3）0n 0cossinicbaeii由（3）式的系数行列式 ，可解得 。1对于 ，代回（3）式，可得1 xyyxii niineeba 2scosn归一化本征函数用 表示，通常取为,或 （4）ie2sinco,1 2sincoiie后者形式上更加对称，它和前者相差因子 ，并无实质差别。若用 的直角坐标分量来表示，可以取为2i n或 （4’）yxzzinn121zyxzi1如 ，二者等价（仅有相因子的差别） 。若 ，应取前者；若 ，应取后者。zn ,01,0n对于 类似地可以求得,1 xyyxii niineeba 12cosinsinco或 （5）ies,1 2csiiie或 或 （5’） zyxznin121 yxzzin1若 ，取 ; 若 ，取 。,001,0018.3) 在 本征态 下，求 和 。zs021zs2xs2y解： 2x2xx但 （常数矩阵） ，4s4，01012xs，类似有 。x42ys48.4) （a）在 本征态 下，求 的可能测值及相应的几率。 （b）同第 2 题，若电子处zs21n于 的自旋态下，求 的各分量的可能测值及相应的几率以及 的平均值。n 解：（a）利用 8.2）题求得 的本征函数，容易求出：在自旋态 中， 的几率为 n 012n（1）zn12cos21的几率为 1n（2）zn12si21（b）在自旋态 态， 的几率为1nz（3）zn12cos21的几率为： （4）1z zi12zzzz nn2[或 （5’ ）]z zncos2sico12si1co2考虑到 ，zyxn各分量以及 各分量在 的构造中地位对称，所以利用式（3） 、 （4） 、 （5） ，作 轮换，就可推论出以下n zyx,各点：的几率为 ， （6）1xx2（7）xn的几率为 （8）y y（9）y将式（5） 、 （7） 、 （9）合并写成矢量形式如下：5自旋态 中， （10）1nn类似地，容易算出：自旋态 中， （11）1n解二：（a）在 自旋态 中， 的可能测值为本征值 设相应的几率为 及 ，则 z2n ;1w（12）wwn1由于 （13）zyxnn考虑到在 的本征态中 和 的平均值为 ， 的平均值即为其本征值，因此在 态下， z 0z 21（14）cos1zzn由式（12） 、 （14） ，并利用 ，就可求出1w， （15）zn2zn2此即解一中的式（1） 、 （2） 。（b）在式（14）中， 是 轴和 的夹角。 轴和 的选取是任意的。完全可以将原来的 轴作为新的 轴， zn而原来的 取作新的 轴。由此可知：在 的自旋态中， 的平均值仍为 ，即 。再令 轮换，nz1nzcosnzyx,即得自旋态 中， （10）1在 态下 各分量的取值大部分当然均为 ，其几率也可估照（a）中计算而写出，即1 1的几率为 （6）xxn2的几率为 （8）1yy的几率为 （3，4）zz8.5) 证明 （ 为常数）[量Ⅱ]yxixizze2sincos8.7）由两个非全同粒子（自旋均为 ）组成的体系，设粒子间相互作用表为 （不考虑轨迹运动） 21sAH。设初始时刻（ ）粒子 1 自旋“向上” ，粒子 2 自旋“向下” 。求时刻 时，0t 1zs2z 0t(a) 粒子 1 自旋向上的几率（答： ，取 ）2coAt(b) 粒子 1 和 2 的自旋向上的几率（答： ）0(c) 总自旋 s=0 和 1 的几率（答：都是 ）1(d) 求和的平均值（答： ， ， ） 。021 yxyxss Atszcos21Atzcos216解：从求体系的自旋波函数入手，由于（1）2321sAsH易见总自旋 是守恒量，所以定态波函数可以选为 、 的共同本征函数，按照总自旋量子数 的不同取值，s 2sz s本征函数和能级为（2）43,,0,101AEssM时，体系的自旋态为0t（3）0121因此， 时波函数为t（4）tiEtiEeet 010即 43421221 iAtiAt et （4’）4sin1cosiAteit(a）由式（ 4’）可知，在时刻 ，粒子 1 自旋“向上” ［同时粒子 2 自旋“向下” ，相当于 项］的几率为t 21。2cosAt(b)粒子 1 和 2 自旋均“向上” ［相应于 ，式（4’）中没有这种项］的几率为 。这是容易理解的。因210为总自旋 为守恒量，而体系初态 ，所以任何时刻 必为 0，不可能出现两个粒子均“向上”zs0zszs的情形。z(c)由式（4）可知，总自旋量子数 取 和 的几率相等，各为 。由于 守恒，这个几率不随时间改变s10212s(d)利用式（4’）容易算出 和 的平均值为12（5） cos21,csins 012221 。Ats tttstztztz ytxytx第九章 力学量本征值问题的代数解法9—1） 在 8.2 节式（21）中给出了自旋（ ）与轨迹角动量（ ）耦合成总角动量 的波函数 ，这相当ljjlm7于 的耦合。试由 8.2 节中式（21）写出表 9.1（a）中的 CG 系数 21,21sjl jmj21解：8.2 节式（21a） （21b）: 21),0( 21mllj jjlm112lmYl（21a） 21,,2, jjmjjYjjlj21jljlm1lmYll（21b） 21,,2),0( 21 jjmjjYjjlljjl此二式中的 相当于 CG 系数中的 ，而 , 。1j2sj 21,~1j因此， （21a）式可重写为jm2 2121jmjj 2121111 mjjjj（21a’） 211212112),21( jjmjjjlja对照 CG 系数表，可知：当 , 时 ，1j 221112＋jjmj而 时，221112＋jmjj8对于 的（21b）式，有 21jlj 21111, ＋jmjmj21111,2＋jjj9－2）设两个全同粒子角动量 ，耦合成总角动量 ，21jjJ（1）JMj22121 jmjmJ利用 系数的对称性，证明CGJMjjJjp221由此证明，无论是 Bose 子或 Fermi 子， 都必须取偶数证：由式（1） ， JMj21121212jmjmj把 , 21m12211jjJ利用 系数的对称性 CG2121 jmjmj M(2) Jjj对于 Fermi 子， 半奇