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1、一、张量和并矢的运算,1. 定义：,设矢量,定义a,b的并矢为：,2.6 电多极矩,2.单位张量：,3.张量的运算法则：,加法：,则a,b的并矢是一个张量：,同样，定义叉乘,两并矢点乘：,点乘：,可见,（左点乘）,（右点乘）,二、电势的多极展开,在区域 V 内取一点 O 作为坐标原点，以 R 表示由原点到场点 P 的距离，有：,在一元函数f (x)情况下，在原点x=0邻域的泰勒,级数为：,如果在x=a邻域展开，泰勒级数是：,对于三元函数f (x,y,z)，在原点 x =0, y =0, z=0邻域,的泰勒级数是：,如果在x=a, y=b, z=c 点邻域展开，则展开式为,有了以上泰勒级数展开式
2、，用1/r代替f (x)，因r是,的函数，即,。把,场点固定不变。,而让源点,变化，并把,在原点O附近展开，有,因为,所以,又因为,所以,从而得到,令：,则电荷体系激发的势在远处的多极展开式：,p称为体系的电偶极矩，张量Dij称为体系的电四极矩。,三、各项的物理意义,（1）展开式的第一项是在原点的点电荷Q 激发的电势，,可以把电荷体系看作集中于原点上。,（2）展开式的第二项是电偶极矩p产生的电势。,（1）,（2）,如果一个体系的电荷分布对原点对称，它的电偶极矩为零。只有对原点不对称的电荷分布才有电偶极矩。,（3）展开式的第三项是电四极矩Dij产生的电势。,6 个分量：,由上式，电四极矩张量Di
3、j是对称张量，它有,（3）,D11， D22， D33，,D12= D21， D13= D31， D23= D32,电四极矩也可以用并矢形式写为：,展开式中的第三项用并矢形式写为：,可以证明：电四极矩只有五个独立分量,证明 当,时有,引入符号,我们重新定义电四极矩张量：,则满足关系：,因而只有 5 个独立分量。,若电荷分布有球对称性，,因而,则,而且显然有,因此球对称性分布电荷没有电四极矩。,若电荷分布偏离球对称性，一般会出现电四极矩。例如沿 Z 轴方向拉长了的旋转椭球体，若其内电荷分布均匀，则：,因而出现电四极矩,电四极矩的出现标志着对球对称的偏移，它反映电荷分布的形状。,例 均匀带电的长形
4、旋转椭圆球体半长轴为a，半短轴为b，带总电荷Q，求它的电四极矩和远处的电势。,取z轴为旋转轴，椭球方程为,椭球所带电荷密度为,电四极矩为,由对称性,解,因此,由对称性得,因此,电四极矩产生的势为,椭球的电偶极矩为零，总电荷为Q。在远处的势准确至四极项为,建立的电势为,，另一个电荷系,建立的电势为,设电荷系,四、电荷体系在外电场中的能量,，总电荷分布为：,总电场能量为：,在外场,该式即为电荷体系,和,第一、二项分别是,单独存在时的自作用能；,第三项表示两电荷系间相互作用能，因此电荷体系,在外电场中的能量为：,因为：,所以：,中的能量。,在原点附近作泰勒级数展开：,将,表示把体系电荷集中于原点时，一个点电荷在外场中的能量，作为零级近似的结果。,表示把体系的电偶极矩集中到原点时，一个电矩在外场中的能量，作为一级近似的结果。,表示把体系的电四极矩集中到原点时，一个电四极矩在外场中的能量，作为二级近似的结果。,综上所述，一个小区域内连续分布的电荷在外场中的能量等于一系列多极子在外场中的能量之和。,由,五、电偶极子在外场中所受到的力和力矩,在外场中所受的力和力矩：,可推出电偶极子,
