专题六 万有引力定律【题型总结】 一、万有引力定律在自然界中的应用：（1）割补法：例：如图所示，半径为r的铅球内有一半径为的球形空腔，其表面与球面相切，此铅球的质量为M ，在铅球和空腔的中心连线上，距离铅球中心L处有一质量为m的小球（可以看成质点），求铅球小球的引力解：设想把挖去部分用与铅球同密度的材料填充，填充部分铅球的质量为M1 为了抵消填充球体产生的引力，在右边等距离处又放置一个等质量的球体，如图所示设放置的球体的质量为M1 ，则：M1 = ρ1π ()3 =M0 =M填补后的铅球质量：M0 = M + M1 =M原铅球对小球引力：F = F0－F1 =－=－=［－］练习：如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球上挖去一个直径为R的球，放在距离为d的地方求下列两种情况下，两球之间的万有引力是多大？ （1）从球的正中心挖去（2）从与球相切处挖去解：（1）（2）当d>>R时，计算结果相同2）等效法例：在密度为的无限大的液体中，有两个半径为R、密度为的球，相距为d，且> 求两球受到的万有引力解析：设两球的球心分别是 ，球的质量为 ，如果去掉球 ，只有球单度处于无限大的液体中，由于四周液体对它的引力具有对称性，各质元对它的引力相互平衡，故球受到的合外力为零，将球放回原处后，相当于用密度为的球代替了密度为的同体积液体球，因为> ，我们可以用“等效”的观点，将这个代替过程视为处的质量增加了 ，所以，根据万有引力定律，两球受到的万有引力是 。
答案：二、万有引力定律在天文学中的应用：（一）万有引力与重力：例1：宇航员站在一星球表面上的某处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ,若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为 ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 解：设抛出点的高度为h ，第一平抛的水平射程为：x ，则有 ①由平抛物体运动规律可知，当抛出的初速度增大到2倍，则水平射程也增大到2 x ，可得： ②由①②解得 ③设该星球上重力加速度为g ，由平抛物体运动规律，得： ④设m为小球的质量，则有 ⑤联立③④⑤，解得例2：火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度g/2竖直向上做匀加速直线运动升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的17/18，已知地球半径为R，求此时火箭离地面的高度（g为地面附近的重力加速度）。
解：取测试仪为研究对象，由物体的平衡条件和牛顿第二定律有： 由题意知 ，则 又 ∴，解得点评：物体在地球表面做自由落体运动、抛体运动，通常忽略距地面高度h ；物体离开地球表面，在太空中运动，通常不能忽略距地面高度h 物体在地球表面运动（距地心较近）；通常不能忽略地球半径，物体在太空中运动（距地心较远），通常忽略地球半径练习1：在地球某处海平面上，测得物体自由下落高度h ，所需的时间为t ；到高山顶，测得物体自由下落同样高度h ，所需时间增加了 已知地球半径为R ，试求山的高度H解：在海平面： ，自由落体时间： ，在高山顶：，自由落体时间： ，由以上两式可得：练习2：地球可视为球体，其自转周期为T在它的两极处，用弹簧秤测得其物体重为P在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则地球的平均密度是多少？解析：只有在两极处，重力等于地球对物体的万有引力；在地球的其他地方，重力都小于地球对物体的万有引力由于重力与地球对物体的万有引力差别极小，所以通常近似视为重力等于地球对物体的万有引力解：设被测物体的质量为m，地球的质量为M，半径为R；在两极处时物体的重力等于地球对物体的万有引力在赤道上，因地球自转物体做匀速圆周运动，地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：由以上两式解得地球的质量为：根据数学知识可知地球的体积为根据密度的定义式可得地球的平均密度为[同类变式] 某行星一昼夜运动时间T0=8h，若用一弹簧秤去测量同一物体的重力，结果在行星赤道上比在两极处小9%，设想该行星的自转角速度加快到某一值时，在赤道上的物体将完全失重，则这时行星的自转周期为 h。
解：解法一：在行星的两极处，弹簧秤的示数为物体受到行星的万有引力F，在赤道处的示数为F，由题意可知 F-F= ① 当行星自转的角速度加快后，在赤道上的物体完全失重，则F=0，有 F= ② 由题意可知 F-F=0.09F ③ 由①式和③式可得：0.09F= ④ 由②式和④式得 T=0.3T0=2.4h 解法二：由题意可知，物体在赤道处的失重部分提供其做匀速圆周运动所需要的向心力，即有： 0.09F= ， 每个行星都有一个第一宇宙速度v1（就是在行星表面所受到的万有引力提供向心力时的速度），且 当行星自转的角速度增大到赤道上的物体完全失重时，赤道上物体的线速度也就是第一宇宙速度，故此时的周期T= =0.3T0=2.4h二）万有引力与向心力：1、双星问题、三星问题：例1： 两颗靠得较近的天体称为双星宇宙中有某一对双星，质量分别为m1、m2，它们以两者连线上某点为圆心，各自做匀速圆周运动，已知两双星间距离为L，不考虑其他星球对它们的影响．求：两颗星体的轨道半径和运动的周期分别为多少?解：答；‘：点评：①双星的万有引力相等；角速度、周期相等；轨道半径之和等于双星间的距离。
②质量与线速度、轨道半径均成反比例2：宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统, 通常可忽略其它星体对它们的引力作用已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式: 一种是三颗星位于同一直线上, 两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上, 并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行设每个星体的质量均为 m1) 试求第一种形式下, 星体运动的线速度和周期2) 假设两种形式星体的运动周期相同, 第二种形式下星体之间的距离应为多少?解: ⑴由万有引力定律和牛顿第二定律得： 解得： ，⑵由万有引力定律和牛顿第二定律得： 解得：点评：解决此类问题的关键： ①确定万有引力公式中的和向心力公式中的轨道半径 ②确定万有引力的来源：不能漏力；不能弄错方向练习：设某一宇宙飞船从地球飞向月球，在某一时刻飞船中的人感觉不到自己受到引力的作用，这一情况发生时飞船应距地球中心多远？（已知地球中心到月球中心相距 ，月球与地球质量比为）解析：“船中的人感觉不到自己受到引力的作用”表明地球、月球对他的万有引力相等。
解： 2、星球解体问题：例：1976年10月，剑桥大学研究生贝尔偶尔发现一个奇怪的放射电源，它每隔1.337s发出一个脉冲讯号贝尔和他的导师曾认为他们和外星人接上了头，后来大家认识到，事情没有这么浪漫，这类天体被定名为“脉冲星”，“脉冲星”的特点是脉冲周期短，且周期高度稳定，这意味着脉冲星一定进行准确的周期运动，自转就是一种很准确的周期运动1）已知蟹状星云的中心星PS0531是一颗脉冲星，其周期为0.331 s，PS0531的脉冲现象来自自转，设阻止该星离心瓦解的力是万有引力，估计PS0531的最小密度2）如果PS0531的质量等于太阳质量，该星的可能半径最大是多少?（太阳质量是M=2 1030 kg）解：（1）设 PS0531脉冲星的质量为M，半径为R，最小密度为ρ，体积为V ，则：=m，又 ρ=，V=，解得，ρ==kg／m3≈1.31012 kg／m3（2）由 V==，R==m≈7.161015 m点评：星体高速自转不瓦解，必须使星球表面的某物体m所受的万有引力恰不小于向心力临界条件：万有引力恰好等于向心力。
练习：中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度.通过观察已知某中子星的自转速度ω=60πrad/s，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密度.试写出中子星的密度最小值的表达式为ρ=_____，计算出该中子星的密度至少为_______kg/m3.（假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留2位有效数字）解： ∴代入数据，解得： 3、追击问题例：如图为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0：（1）中央恒星O的质量是多大？（2）长期观察发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏差，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏转，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外还存在着一颗未知的行星B（假如其运动轨道与A在同一平面内，其与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测解：（1）设中央恒星质量为M，A行星的质量为m，则有,解得.（2）求周期T0：由题意可知，A、B相距最近时B对A的影响最大，且每隔t0时间相距最近，这时A行星恰好比B行星多运行了一圈即2π。
法一：由，解得法二：设B行星周期为TB，则有，解得求半径R0：法一：设B的行星质量为m/,运行的轨道半径为RB，则有，解得法二：由开普勒第三定律：，解得练习：2003年2月1日美国哥伦比亚号航天飞机在返回途中解体，造成人类航天史上又一悲剧哥伦比亚号航天飞机是在赤道上空飞行，轨道半径为r，飞行方向与地球自转方向相同设地球的自转角速度为，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，则它下次通过该建筑物上方所需时间为（ ） A．2π/ B．2π/ C．2π D．2π/解析：用表示航天飞机的角速度，用m 、M分别表示航天飞机及地球的质量，则有： ，解得 用t表示所需时间，则有： ，解得 答案：A 4、变轨问题：例：发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是 ( )A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度解析：（1）比较线速度、角速度大小： 轨道1、3是圆周运动，由 轨道2是椭圆运动，由物体做离心运动。