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1、2006年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1).(2)微分方程通解是 .(3)设是锥面()下侧,则 .(4)点到平面距离= .(5)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则= .(6)设随机变量与相互独立,且均服从区间上均匀分布,则= .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前字母填在题后括号内)(7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在处增量,与分别为在点处对应增量与微分,若,则(A)(B)(C)(D)(8)设为连续函数,则等于(A)(B)(C)(C)
2、(9)若级数收敛,则级数(A)收敛(B)收敛(C)收敛(D)收敛 (10)设与均为可微函数,且.已知是在约束条件下一个极值点,下列选项正确是(A)若,则(B)若,则(C)若,则(D)若,则(11)设均为维列向量,是矩阵,下列选项正确是(A)若线性相关,则线性相关(B)若线性相关,则线性无关(C)若线性无关,则线性相关(D)若线性无关,则线性无关.(12)设为3阶矩阵,将第2行加到第1行得,再将第1列-1倍加到第2列得,记,则(A)(B) (C)(D)(13)设为随机事件,且,则必有(A)(B)(C)(D)(14)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且则(A) (B)(C)(D)三、解答题(本
3、题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分10分)设区域D=,计算二重积分.(16)(本题满分12分)设数列满足.求:(1)证明存在,并求之.(2)计算.(17)(本题满分12分)将函数展开成幂级数.(18)(本题满分12分)设函数满足等式.(1)验证.(2)若求函数表达式.(19)(本题满分12分)设在上半平面内,数是有连续偏导数,且对任意都有.证明: 对内任意分段光滑有向简单闭曲线,都有.(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组有3个线性无关解,(1)证明方程组系数矩阵秩.(2)求值及方程组通解.(21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵各行元素之
4、和均为3,向量是线性方程组两个解.(1)求特征值与特征向量.(2)求正交矩阵和对角矩阵,使得.(22)(本题满分9分)随机变量概率密度为为二维随机变量分布函数.(1)求概率密度.(2).(23)(本题满分9分) 设总体概率密度为 ,其中是未知参数,为来自总体简单随机样本,记为样本值中小于1个数,求最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学考试数学一真题解析一、 填空题（1）= 2 . （）（2）微分方程通解是，这是变量可分离方程.（3）设是锥面下侧，则 补一个曲面上侧 （为锥面和平面所围区域）（为上述圆锥体体积）而（在上：）（4）(5)设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B
5、|= . -1 2解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B|A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.（6）二、 选择题（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处增量，与分别为在点处对应增量与微分.若，则(11)设a1,a2,as 都是n维向量，A是mn矩阵，则（ ）成立.(A) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(B) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关.(C) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(D) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关
6、.解: (A)本题考是线性相关性判断问题,可以用定义解.若a1,a2,as线性相关,则存在不全为0数c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,用A左乘等式两边,得c1Aa1+c2Aa2+csAas=0,于是Aa1,Aa2,Aas线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1. a1,a2,as 线性无关 r(a1,a2,as )=s.2. r(AB) r(B).矩阵(Aa1,Aa2,Aas)=A( a1, a2,as ),因此r(Aa1,Aa2,Aas) r(a1, a2,as ).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A是3阶矩阵,将A第2列加到第
7、1列上得B,将B第1列-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B)用初等矩阵在乘法中作用得出B=PA , 1 -1 0C=B 0 1 0 =BP-1= PAP-1. 0 0 1（13）根据乘法公式与加法公式有： P(AB)=P(B)P(A/B)=P(B) P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)应选C（14）依题：因 即 所以 应选A三、 解答题（18）设函数内具有二阶导数，且满足等式（I）验证（II）若 求函数证：（I）（II）令（19）设
8、在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意都有证明：对D内任意分段光滑有向简单闭曲线L，都有.证：把得：令 ，则再令 所给曲线积分等于0充分必要条件为今 要求 成立，只要我们已经证明，于是结论成立.(20)已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x4=-1， ax1+x2+3x3+bx4=1 有3个线性无关解. 证明此方程组系数矩阵A秩为2. 求a,b值和方程组通解. 解: 设a1,a2,a3是方程组3个线性无关解,则a2-a1,a3-a1是AX=0两个线性无关解.于是AX=0基础解系中解个数不少于2,即4-r(A)2,从而r(A)2.又因为A行向量是两两
9、线性无关,所以r(A)2.两个不等式说明r(A)=2. 对方程组增广矩阵作初等行变换: 1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|b)= 4 3 5 -1 -1 0 1 1 5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0得同解方程组 x1=2-2x3+4x4， x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组通解: (2,-3,0,0)T+c
10、1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c1,c2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0解. 求A特征值和特征向量. 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得 Q TAQ=L. 解: 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 a0=(1,1,1)T是A特征向量,特征值为3.又a1,a2都是AX=0解说明它们也都是A特征向量,特征值为0.由于a1,a2线性无关, 特征值0重数大于1.于是A特征值为3,0,0.属于3特征向量:ca0, c0.属于0特征向量:c1a1+c2a2, c1
11、,c2不都为0. 将a0单位化,得h0=(,)T.对a1,a2作施密特正交化,h1=(0,-,)T, h2=(-,)T.作Q=(h0,h1,h2),则Q是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 . 0 0 0 （22）随机变量概率密度为，令，为二维随机变量分布函数.（）求概率密度；（）解：（） ； .所以：这个解法是从分布函数最基本概率定义入手，对y进行适当讨论即可，在新东方辅导班里我也经常讲到，是基本题型.（）.（23）设总体概率密度为，其中是未知参数（01）.为来自总体简单随机样本，记N为样本值中小于1个数.求最大似然估计.解：对样本按照1或者1进行分类：1，1.
12、似然函数，在1，1时，所以.2005年考研数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线 斜渐近线方程为 _.（2）微分方程满足解为. _.（3）设函数，单位向量，则=._.（4）设是由锥面与半球面围成空间区域，是整个边界外侧，则_.（5）设均为3维列向量，记矩阵 ，如果，那么 .（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则=_.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前字母填在题后括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. （8）设F(x)是连续函数f(x)一个原函数，表示“M充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数. (D) F
