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1、- 1 -昌平区 2015 年高三年级第二次统一练习数学试卷(理科) 2015.4考生注意事项：1.本试卷共 6 页，分第卷选择题和第卷非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟2答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚答题卡上第一部分(选择题) 必须用 2B 铅笔作答，第二部分(非选择题) 必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用 2B 铅笔3修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损不得在答题卡上作任何标记4请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分第卷（选择题 共 40 分
2、）一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)1. 已知集合 2340Ax， ,14B，则 AB中元素的个数为A0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个2. 130(2)xd等 于A B. 23 C. 1 D. 63. 已知等差数列 na的公差是 2，若 134,a成等比数列，则 1a等于A. 4 B. 6 C. 8 D. 04. “|2b是“直线 3yxb与圆 240y相交”的A充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C充要条件 D. 既不充分也不必要条件- 2 -开始是输出 s结束否isa0,1si126,a输 入 1
3、i5. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示： 右图是统计上述 6 名队员在比赛中投进的三分球总数 s 的程序框图，则图中的判断框内应填入的条件是 A. 6i B. 7i C. 8i D. 9i6 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 436B. 83C. D. 47. 已知函数 ()yfx（ R）是奇函数，其部分图象如图所示,则在 (2,0)上与函数 的单调性相同的是A. 1yx B. 2logyxC. ()0xe D. cs 8. 已知四面体 ABCD满足下列条件：（1）有一个面是边长为 1 的等边三角形； （2）有两个面是等腰直角三角形.那么四面体 的体积的
4、取值集合是A 2,1 B 3,61 C 3,14 D 12,64队员 i 1 2 3 4 5 6三分球个数 iaaa1侧 视图2 2正视图俯视图3xy O12- 3 -第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ）9.已知直线 l 的极坐标方程为 sin2cos30，则直线 l 的斜率是_.10. 如图，O 中的弦 AB 与直径 CD 相交于点 P，M 为DC 延长线上一点，MN 与O 相切于点 N，若 AP8, PB6, PD4, MC2，则 CP_, .11. 在 AB中，若 3a， 7b， 56B，则边 c_.12.如图,在菱形 CD中,
5、 1A, 0, E为 C的中点,则 BE的值是 . 13. 某班举行联欢会由 5 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻，且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_种.（用数字作答）14. 如图，已知抛物线 yx82被直线 4分成两个区域 21,W（包括边界） ，圆 22:()(0).Cxymr（1）若 3，则圆心 C 到抛物线上任意一点距离的最小值是_；（2）若圆 C 位于 2W内（包括边界）且与三侧边界均有公共点，则圆 C 的半径是 _.BCDEAMBO DPCN A- 4 -三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证
6、明过程或演算步骤)15. (本小题满分 13 分)已知函数 sin()0,|,)2fxAxxR的部分图象如图所示.（I）求函数 )的解析式；（II）求函数()()123gxffx的单调递增区间.16. （本小题满分 13 分）某大学志愿者协会有 10 名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这 10 名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”的概率为 25.专业性别 中文 英语 数学 体育男 n1 m1女 1 1 1 1现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I） 求 ,mn的值；（II）求选出的 3 名同学恰为专业互不
7、相同的男生的概率；（III）设 为选出的 3 名同学中 “女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量 的分布列及其数学期望 E.1312-22Oyx3- 5 -17. (本小题满分 14 分)如图，已知等腰梯形 ABCD中， 1/, 2,BADBCE是 的中点，AEBDM，将 E沿着 翻折成 1E，使平面 1平面 AD.（I） 求证： 1平 面 ；（II）求二面角 AB的余弦值；（III）在线段 1C上是否存在点 P，使得 /M平面 1BAD，若存在，求出 1BPC的值；若不存在，说明理由.18.（本小题满分 13 分）已知函数 2()ln,.fxaxR（I）若函数 在 1,()f处的切线垂直于
8、 y轴，求实数 a 的值；(II) 在（I）的条件下，求函数 ()fx的单调区间；(III) 若 1,()0xf时 恒成立，求实数 a 的取值范围.- 6 -19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 C：21(0)xyab，右焦点 (2,0)F，点 (2,1)D在椭圆上.（I）求椭圆 的标准方程；(II) 已知直线 kxyl:与椭圆 C交于 ,AB两点， P为椭圆 C上异于 ,AB的动点.（i）若直线 ,PAB的斜率都存在，证明： 12k;(ii) 若 0k，直线 ,分别与直线 3x相交于点 ,MN，直线 与椭圆 C相交于点 Q（异于点 ） ， 求证： , Q, N三点共线.20. (本小题满分
9、 13 分)如图，在一个可以向下和向右方无限延伸的表格中，将正偶数按已填好的各个方格中的数字显现的规律填入各方格中.其中第 i行，第 j列的数记作 ija, *N，如123,6a.（I）写出 1536,a， 的值 ；(II) 若 0ij求 ij的值；( 只需写出结论)（III）设 nb， 142nncb ( N), 记数列 nc的前 项和为 S,求 ；并求正整数 k，使得对任意 ，均有nk2 4 8 14 6 10 16 24 12 18 26 36 20 28 38 50 - 7 -昌平区 2015 年高三年级第二次统一练习数学试卷(理科)参考答案一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5
10、分，共 40 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A C A B A D C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） 9. 2 10. 12, 6 11. 112. 1 13. 36 14. 3 , 42三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15. (本小题满分 13 分)解：（I）由题意可知， 2A,3941T，得 ,T，解得 2.()sin()3f，即 2kZ， |2，所以 6，故 ()sin()6fx. 7 分 (II)()2sin+-i+-13gxxii(2)=scosin()4x- 8 -由 22,4k
11、xkZ88.故 ()gx的 单 调 递 增 区 间 是,kkZ. 13 分16. (本小题满分 13 分)解：（I）设事件 A：从 10 位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业” 由题意可知， “数学专业”的学生共有 (1)m人则 12()05mP解得 3所以 n 4 分（II）设事件 B：从这 10 名同学中随机选取 3 名同学为专业互不相同的男生则1230()CP 7 分（III）由题意， 的可能取值为 0， 1， 2， 3由题意可知， “女生或数学专业”的学生共有 7 人所以310()2CP，73107()4，23610PC，7105()4所以 的分布列为所以 172172103
12、24040E 13 分0 1 2 3P74- 9 -17. (本小题满分 14 分)( I ) 由题意可知四边形 ABED是平行四边形，所以 MEA，故 AEB1. 又因为 ,M为 的 中 点 ,所以 ,即 .D/C又 因 为, 2.所以四边形 AE是平行四边形.所以 /故 .因为平面 B1平面 D, 平面 AEB1平面 AECD, 1BM平面 AECD所以 M平面 AEC. 1.因为 D平面 , 所以 M.因为 B1, D、 B1平面 D1,所以 C平面 . 5 分 (II) 以 ME为 x轴, 为 y轴, 1为 z轴建立空间直角坐标系，则 )0,32(C, )3,0(1B, )0,1(A,
13、 )03(D.平面 的法向量为 ,.设平面 1的法向量为 )(zyxm, 因为)3,0(1AB， 0,3AD,yxz, 令 1z得, )1,3(.所以 5,cosMm, 因为二面角 EABD1为锐角, 所以二面角 EABD1的余弦值为 5. 10 分 (III) 存在点 P,使得 /平面 1. 11 分法一: 取线段 1C中点 P， 中点 Q，连结 ,MPA.xyAE CDMB1z- 10 -则 /PQCD，且 1=2.又因为四边形 AE是平行四边形，所以 /AECD.因为 M为 的中点，则 /MPQ.所以四边形 是平行四边形，则 /.又因为 AQ平面 1BD,所以 /平面 1ABD.所以在线段 C1上存在点 P，使得 /平面 1， 21CP. 14 分法二：设在线段 1上存在点 ，使得 /M平面 1,设 1BP,(0), (2,30)，因为 1PB.所以 (2,3)M.因为 /平面 AD1, 所以 0Pm,所以 , 解得 21, 又因为 MP平面 ADB1,所以在线段 CB1上存在点 ，使得 /M平面 ADB1， 21C14 分18.（本小题满分 13 分）解：（I） 2()ln,.fxaxR定义域为 (0,) 1(),.f依题意， (0f.所以 1)3a，解得 3
