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1、1课时跟踪检测(四十九)空间向量与空间角1.如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1底面 ABC， AB BC AA1， ABC90，点 E、 F分别是棱 AB、 BB1的中点，则直线 EF和 BC1所成的角为_2如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB90，2 AC AA1 BC2.若二面角B1 DC C1的大小为 60，则 AD的长为_3.如图，在正四棱锥 S ABCD中， O为顶点在底面上的射影， P为侧棱 SD的中点，且SO OD，则直线 BC与平面 PAC所成角为_4(2012广州模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥 P ABCD中，AD BC， ABC90，
2、PA平面 ABCD， PA3， AD2， AB2 ， BC6.3(1)求证： BD平面 PAC；(2)求二面角 P BD A的大小5(2012辽宁高考)如图，直三棱柱 ABC A B C， BAC90，2AB AC AA ，点 M， N分别为 A B和 B C的中点(1)证明： MN平面 A ACC；(2)若二面角 A MN C为直二面角，求 的值6如图 1，在 Rt ABC中， C90， BC3， AC6， D， E分别是 AC， AB上的点，且 DE BC， DE2.将 ADE沿 DE折起到 A1DE的位置，使 A1C CD，如图 2.(1)求证： A1C平面 BCDE；(2)若 M是 A
3、1D的中点，求 CM与平面 A1BE所成角的大小；(3)线段 BC上是否存在点 P，使平面 A1DP与平面 A1BE垂直？说明理由1(2013汕头模拟)如图所示，四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为正方形， PD平面ABCD， PD AB2， E、 F、 G分别为 PC、 PD、 BC的中点(1)求证： PA EF；(2)求二面角 D FG E的余弦值2(2012北京西城模拟)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB BC2 AA1， ABC90， D是 BC的中点3(1)求证： A1B平面 ADC1；(2)求二面角 C1 AD C的余弦值；(3)试问线段 A1B1上是否存在点 E，
4、使 AE与 DC1成 60角？若存在，确定 E点位置；若不存在，说明理由答 案课时跟踪检测(四十九)A级1解析：建立如图所示的空间直角坐标系设 AB BC AA12，则 C1(2,0,2)， E(0,1,0)， F(0,0,1)，则 (0，1,1)， (2,0,2)，F1BC 2，1cos ， ，E12222 12 EF和 BC1所成角为 60.答案：602解析：如图，以 C为坐标原点， CA， CB， CC1所在的直线分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(1,0,0)， B1(0,2,2)， C1(0,0,2)设 AD a，则 D点坐标为(1,0， a)，
5、 (1,0， a)， (0,2,2)，D1B设平面 B1CD的一个法向量为 m( x， y， z)则Error! Error!，令 z1，得 m( a,1，1)，又平面 C1DC的一个法向量为 n(0,1,0)，4则由 cos 60 ，得 ，即 a ，|mn|m|n| 1a2 2 12 2故 AD .2答案： 23解析：如图所示，以 O为原点建立空间直角坐标系 O xyz.设 OD SO OA OB OC a，则 A(a,0,0)， B(0， a,0)， C( a,0,0)， P .(0， a2， a2)则 (2 a,0,0)， ， ( a， a,0)CP( a， a2， a2) B设平面 P
6、AC的法向量为 n，可求得 n(0,1,1)，则 cos ， n .Bn| |n| a2a22 12 ， n60，直线 BC与平面 PAC的夹角为 906030.答案：304解：(1)证明：由题可知， AP、 AD、 AB两两垂直，则分别以AB、 AD、 AP所在直线为 x、 y、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， B(2 ，0,0)， C(2 ，6,0)， D(0,2,0)， P(0,0,3)，3 3 (0,0,3)， (2 ，6,0)， (2 ，2,0)，PA3 B3 0， 0. BD AP， BD AC.D又 PA AC A， BD平面 PAC.(2)显然平面 A
7、BD的一个法向量为 m(0,0,1)，设平面 PBD的法向量为 n( x， y， z)，则 n 0， n 0.BP由(1)知， (2 ，0,3)，3Error! 整理得Error!令 x ，则 n( ，3,2)，3 3cos m， n .mn|m|n| 12结合图形可知二面角 P BD A的大小为 60.5解：(1)法一：证明：5如图，连接 AB， AC，由已知 BAC90， AB AC，三棱柱 ABC A B C为直三棱柱，所以 M为 AB中点又因为 N为 B C的中点，所以 MN AC.又 MN平面 A ACC，A C平面 A ACC，所以 MN平面 A ACC.法二：证明：取 A B 中
8、点 P，连接 MP， NP，而 M， N分别为 AB与 B C的中点，所以 MP AA， PN A C，所以 MP平面 A ACC， PN平面 A ACC.又 MP NP P，因此平面 MPN平面 A ACC.而 MN平面 MPN，因此 MN平面 A ACC.(2)以 A为坐标原点，分别以直线 AB， AC， AA为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系 O xyz，如图所示设 AA1，则 AB AC ，于是 A(0,0,0)， B( ，0,0)， C(0， ，0)，A(0,0,1)， B( ，0,1)， C(0， ，1)，所以 M ， N .(2， 0， 12) (2， 2， 1)设 m(
9、 x1， y1， z1)是平面 A MN的法向量，由Error! 得Error!可取 m(1，1， )设 n( x2， y2， z2)是平面 MNC的法向量，由Error! 得Error!可取 n(3，1， )因为 A MN C为直二面角，所以 mn0，即3(1)(1) 20，6解得 (负值舍去)26解：(1)证明：因为 AC BC， DE BC，所以 DE AC.所以 ED A1D， DE CD，所以 DE平面 A1DC.所以 DE A1C.又因为 A1C CD.所以 A1C平面 BCDE.(2)如图，以 C为坐标原点，建立空间直角坐标系 C xyz，则A1(0,0,2 )， D(0,2,0
10、)， M(0,1, )， B(3,0,0)， E(2,2,0)3 3设平面 A1BE的法向量为 n( x， y， z)，则n 0， n =0. BE又 (3,02 ) (1,2，0)，13所以Error!令 y1，则 x2， z .3所以 n(2,1， )3设 CM与平面 A1BE所成的角为 .因为 (0,1, ),CM所以 sin |cos n, | | .CnCM|n|CM| 484 22所以 CM与平面 A1BE所成角的大小为 .4(3)线段 BC上不存在点 P，使平面 A1DP与平面 A1BE垂直，理由如下：假设这样的点 P存在，设其坐标为( p,0,0)，其中 p0,3设平面 A1D
11、P的法向量为 m( x， y， z)，则m 0， m 0.D又 0 ，2，2 ), ( p，2,0)，13 DP所以Error!令 x2，则 y p， z .p3所以 m(2， p， )p3平面 A1DP平面 A1BE，当且仅当 mn0，即 4 p p0.解得 p2，与 p0,3矛盾7所以线段 BC上不存在点 P，使平面 A1DP与平面 A1BE垂直B级1解：以 D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz，则 D(0,0,0)，A(0,2,0)， C(2,0,0)， P(0,0,2)， E(1,0,1)， F(0,0,1)， G(2,1,0)(1)证明：由于 (0,2，2)， (1
12、,0,0)，PAEF则 1002(2)00，PEF PA EF.(2)易知 (0,0,1)， (1,0,0)， (2,1，1)，DG设平面 DFG的法向量 m( x1， y1， z1)，则Error! 解得Error!令 x11，得 m(1,2,0)是平面 DFG的一个法向量设平面 EFG的法向量 n( x2， y2， z2)，同理可得 n(0,1,1)是平面 EFG的一个法向量cos m， n ，mn|m|n| 252 210 105设二面角 D FG E的平面角为 ，由图可知 m， n ，cos ，105二面角 D FG E的余弦值为 .1052解：(1)证明：连接 A1C，交 AC1于点
13、 O，连接 OD.由 ABC A1B1C1是直三棱柱，得四边形 ACC1A1为矩形， O为 A1C的中点又 D为 BC的中点，所以 OD为 A1BC的中位线，所以 A1B OD，8因为 OD平面 ADC1， A1B平面 ADC1，所以 A1B平面 ADC1.(2)由 ABC A1B1C1是直三棱柱，且 ABC90，得 BA， BC， BB1两两垂直以 BC， BA， BB1所在直线分别为 x， y， z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz.设 BA2，则 B(0,0,0)， C(2,0,0)， A(0,2,0)， C1(2,0,1)， D(1,0,0)，所以 (1，2,0)， (2，2
14、,1)D1设平面 ADC1的法向量为 n( x， y， z)，则有Error!所以Error! 取 y1，得 n(2,1，2)易知平面 ADC的一个法向量为 v(0,0,1)所以 cos n， v .nv|n|v| 23因为二面角 C1 AD C是锐二面角，所以二面角 C1 AD C的余弦值为 .23(3)假设存在满足条件的点 E.因为点 E在线段 A1B1上， A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可设 E(0， ，1)，其中 0 2.所以 (0， 2,1)， (1,0,1)1DC因为 AE与 DC1成 60角，所以|cos ， | .A1| | 12即 ，解得 1 或 3(舍去) |1 2 2 12| 12所以当点 E为线段 A1B1的中点时， AE与 DC1成 60角
