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1、1利用空间向量求空间角目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方法；一、复习回顾向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义： （2）两向量夹角公式：baba,cos| |,cosba二、知识讲解与典例分析知识点1：两直线所成的角（范围： ）2,0(（1）定义：过空间任意一点 o 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a与 b，那么直线 a与 b 所成的锐角或直角，叫做异面直线 a 与 b 所成的角.（2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线 a、b 的方向向量分别为 和 ，ab问题 1： 当 与 的夹角不大于 90时，异面直线 a、b 所成的角 与 和 的夹角的关系？
2、ab问题 2： 与 的夹角大于 90时， ，异面直线 a、b 所成的角与 和 的夹角的关系？ 结论：异面直线 a、b 所成的角的余弦值为 |,cos| nm例 1 如图，正三棱柱 的底面边长为 ,侧棱长为 ，求 和 所成的角.1CBAaa21ACB解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。解：如图建立空间直角坐标系 ，则xyz)2,0(),21,3(),21,3(),0( 11 aBaCaCA，),(1 ),(1即 和 所成的角为23|,cos11aCBAC1ACB3总结: （1） 与 相等吗？1,sEDFEDF,cosabO Oba,a,A BCA
3、1 B1C1xyZD2A BCA1 B1C1xyZD（2）空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么区别？知识点 2、直线与平面所成的角（范围： ）2,0思考：设平面 的法向量为 ，则 与 的关系？nBA,据图分析可得：结论：例 2、如图，正三棱柱 的底面边长为 ,侧棱长为 ，求 和 所成角的正弦1CBAaa21ACB1面值.分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量 3. 求以上两个向量的夹角，(锐角) 其余角为所求角解：如图建立空间直角坐标系 ，则xyzA),0(),20(1aAB设平面 的法向量为)2,13(aACB1 zyxn由 取 ， 00zyBnx)
4、0,(设 和 所成角为11面 213|,cos|in11 aNACn和 所成角的正弦值 .1ACB1面 2知识点 3：二面角（范围： ）,0方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 的大小为 ，其中 .lCDlABl,310ABOBAn,2ABOn2,O（图 1） （图 2）|,cos|i DCBA l3结论：法向量法结论： 或 归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.例 3、如图， 是一直角梯形， ， 面 ，ABCD90ABCSABCD， ，求面 与面 所成二面角的余弦值.1
5、S2SD解：如图建立空间直角坐标系 ，则xyz)1,0(,(),0(),0(CA易知面 的法向量为 ， SB21ADn )1,20(),21,(SDC设面 的法向量为 ，则有 ，取 ，得 ， D),(2zyx0zyx,yx)1,2(n即所求二面角的余弦值为 .36|,cos2121nn 36练习 1：如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点求二面角 的1ABC2D1C1CBA余弦值；解：取 中点 ，以 为原点， ， ， 的方向为 轴的正方向建立空间直角坐标1BC1O1OAxyz， ，系设平面 的法向量为 ，A()xyz， ，n)3,0(B1(02)， ， 1,AB211zxy令 ，得平面
6、的一个法向量z1D),0(n|,cosCDAB 1nl2,|,cos2121nn |,cos2121nn1nl 2n1, 21,n 21,nCxzySxzABCD1A1CBOFy4设平面 的法向量为 ， 1BCA),(cbav)3,21(BA)0,2(1BC,v021nc令 ，得平面 的一个法向量 1a1 )3,1(v, 所求的二面角 的余弦值为 。523,cosvn 1CBA51练习 2: 如图 2，在底面是直角梯形的四棱锥 SABCD 中，AD/BC ，ABC=90 0，SA面ABCD， SA= ，AB=BC=1，AD= 。 求侧面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值。121解：
7、以 A 为原点如图建立空间直角坐标系，则 S（0，0， ） ， 21A（0，0，0） ，B（0，1，0） ，C （1，1，0） ，D （ ，0，0） ， ，)2,(),2(SS ),1(),2,(CS显然平面 SBA 的一个法向量为 =(1，0，0)，1n设平面 SCD 的一个法向量为 =(x，y，z)，则 平面 SCD22n )21(,0022 ,zSCnD 则取则 ，321|,cos211n所以面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的余弦值为 。三、小结： 1异面直线所成的角： |,cos| nm2直线和平面所成的角： 3二面角：. 或AzyxDCBS图 2|,cos|inABn|,cso2121 |,cos2121nn
