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1、矩阵的运算及其运算规则一、矩阵的加法与减法1、运算规则 设矩阵 ， ，则简言之，两个矩阵相加减，即它们相同位置的元素相加减！注意：只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵（即同型矩阵），加减法运算才有意义，即加减运算是可行的2、 运算性质 （假设运算都是可行的） 满足交换律和结合律交换律 ； 结合律 二、矩阵与数的乘法1、 运算规则 数 乘矩阵 A，就是将数 乘矩阵 A 中的每一个元素，记为 或 特别地，称 称为 的负矩阵2、 运算性质 满足结合律和分配律结合律： ()A=(A) ； (+)A =A+A分配律： (A+B)=A+B典型例题 例 6.5.1已知两个矩阵 满足矩阵方程 ，求未知矩阵 解
2、由已知条件知三、矩阵与矩阵的乘法1、 运算规则 设 ， ，则 A 与 B 的乘积 是这样一个矩阵：(1) 行数与（左矩阵）A 相同，列数与（右矩阵）B 相同，即 (2) C 的第 行第 列的元素 由 A 的第 行元素与 B 的第 列元素对应相乘，再取乘积之和典型例题 例 6.5.2设矩阵 计算 解 是 的矩阵设它为 想一想：设列矩阵 ，行矩阵 ， 和 的行数和列数分别是多少呢 是 33 的矩阵， 是 11 的矩阵，即 只有一个元素课堂练习 1、设 ， ，求 2、在第 1 道练习题中，两个矩阵相乘的顺序是 A 在左边，B 在右边，称为 A 左乘 B 或B 右乘 A如果交换顺序，让 B 在左边，A
3、 在右边，即 A 右乘 B，运算还能进行吗？请算算试试看并由此思考：两个矩阵应当满足什么条件，才能够做乘法运算3、设列矩阵 ，行矩阵 ，求 和 ，比较两个计算结果，能得出什么结论吗？4、设三阶方阵 ，三阶单位阵为 ，试求 和，并将计算结果与 A 比较，看有什么样的结论解： 第 1 题 第 2 题对于 ， 求 是有意义的，而 是无意义的结论 1只有在下列情况下，两个矩阵的乘法才有意义，或说乘法运算是可行的：左矩阵的列数右矩阵的行数第 3 题是 矩阵， 是 的矩阵结论 2在矩阵的乘法中，必须注意相乘的顺序即使在 与 均有意义时，也未必有 = 成立可见矩阵乘法不满足交换律第 4 题计算得： 结论 3
4、方阵 A 和它同阶的单位阵作乘积，结果仍为 A，即 单位阵在矩阵乘法中的作用相当于数 1 在我们普通乘法中的作用典型例题 例 6.5.3设 ，试计算 和 解 结论 4两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵由此若 ，不能得出 或的结论例 6.5.4利用矩阵的乘法，三元线性方程组 可以写成矩阵的形式 若记系数、未知量和常数项构成的三个矩阵分别为 ， ， ，则线性方程组又可以简写为矩阵方程的形式： 2、 运算性质（假设运算都是可行的） (1)结合律 (2)分配律 （左分配律）；（右分配律）(3) 3、 方阵的幂 定义：设 A 是方阵， 是一个正整数，规定 ， 显然，记号 表示 个 A 的连乘积四、矩阵的转置
5、1、 定义 定义：将矩阵 A 的行换成同序号的列所得到的新矩阵称为矩阵 A 的转置矩阵，记作 或 例如，矩阵 的转置矩阵为 2、运算性质（假设运算都是可行的）(1) (2) (3) (4) ， 是常数典型例题 例 6.5.5 利用矩阵 验证运算性质： 解 ；而所以定义：如果方阵满足 ，即 ，则称 A 为对称矩阵对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等五、方阵的行列式1、定义 定义：由方阵 A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），称为方阵 A 的行列式，记作 或 2 、运算性质 (1) （行列式的性质）(2) ，特别地： (3) （ 是常数，A 的阶数为 n）思考：设 A 为 阶方阵，那么 的行列式 与 A 的行列式 之间的关系为什么不是 ，而是 ？不妨自行设计一个二阶方阵，计算一下 和 例如 ，则 于是 ，而 思考：设 ，有几种方法可以求 ？解 方法一：先求矩阵乘法 ，得到一个二阶方阵，再求其行列式方法二：先分别求行列式 ，再取它们的乘积
