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1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教 选修 2数的运算第 1课时 常数函数与幂函数的导数第一章课堂典例探究2课 时 作 业3课前自主预习1课前自主预习 凡事皆有规律，导数也不例外，导数应用很广泛，可是用定义求导却比较复杂本节将学习基本初等函数的导数公式，熟记基本初等函数的导数公式，可以让我们在解决导数问题时得心应手 . 1. 函数 y f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义 ( 1 ) 几何意义：函数 y f ( x ) 在点 ( x 0 ， f ( x 0 ) 处的切线的斜率等于 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 2 ) 切线斜率 l i m x 0f x 0 x f
2、 x 0 x. ( 3 ) 相应的切线方程： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2判断： (正确的打 “ ” ，错误的打 “ ” )(1)若函数 f(x)在 必存在切线；若函数 f(x)在 一定不存在切线 ( )(2)函数 f(x) 0的导数为 0.( )(3)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点 ( )答案： 1.(1)f(3)y f( f(x (1) (2) (3)一、常数函数的导数 设 y f ( x ) c ， c 是常数， y l i m x 0f x x f x x l i m x 0c c x 0. 即 y 0 ，因此常数函数的导数为零
3、 函数 f(x) 0的导数是 ( )A 0 B 1C不存在 D不确定答案 A解析 常数函数的导数为零，故选 函数的导数 1 函数 y f ( x ) x 的导数 y l i m x 0 y x l i m x 0 x x x x li m x 01 1. 2 函数 y f ( x ) y l i m x 0 y x l i m x 0f x x x l i m x 0 x x 2 x l i m x 02 x x x 2 x l i m x 0( 2 x x ) 2 x . 3 函数 y f ( x ) y l i m x 0f x x f x x l i m x 0 x x 3 x l i
4、m x 03 3 x x ( x )2 3 y 3 4 函数 y f ( x ) 1y l i m x 0 y x l i m x 0f x x f x x l i m x 01x x1x x l i m x 0x x x x x x l i m x 0 1x x x 1 5 函数 y x 的导数 设 y f ( x ) x ( x 0 ) ， y l i m x 0f x x f x x l i m x 0x x x x l i m x 0 x x x x l i m x 01x x x12 x，即 y 12 x( x 0 ) 6 幂函数的导函数的规律 ( 1 1 1， ( 2 x 2 1，
5、 ( 3 3 1， ( x 1) (1x) 1 x 1 1， ( x ) ( 12 x121， 由此我们推测，对任意的幂函数 y Q 时，都有( 1，例如： ( 8 ( x13) 13x43， ( 13x23等 事实上，上面幂函数的求导公式，对任意实数幂都成立 注意： ( 1 ) 函数 y c ， y x ， y y y x 1， y 及幂函数 y Q ) 的导数公式，在以后的求导数中可直接运用，不必再利用导数定义去求，但要理解其推导过程 ( 2 ) 对于 y 先化成 y 后再求导，即 y ( 1. 曲线 y x 2处的导数为 12，则 )A 1 B 2C 3 D 4答案 C解析 y n1，
6、y|x 2 n2n 1 12. n 求下列函数的导数： ( 1 ) y ( 2 ) y 1 ( 3 ) y 5 分析 将 y 1x 4 写成 y x 4 ， y 5 x 3 写成 y ，直接使用幂函数的求导公式求导 解析 ( 1 ) y ( 12 ( 2 ) y 1 ( x 4) 4 x 54 ( 3 ) y (5 35x25 355 方法总结 求幂函数的导数的关键是正确运用幂的运算化为 y x a 的形式 求下列函数的导数： ( 1 ) y x 10 ； ( 2 ) y 1x 7 ； ( 3 ) y 5x 2 . 解析 ( 1 ) y ( 10 1 10 ( 2 ) y ( x 7) 7 x
7、 7 1 7 x 87 ( 3 ) y (5 ( ) 25 125x35 . 求曲线在某一点处的导数求函数 f ( x ) 3 x 2 在 x 1 处的导数 分析 先求 f ( x ) ，再求 f ( x ) 在 x 1 处的函数 解析 f ( x ) 3， f ( x ) 23x13 233x， f ( 1 ) 233123. 方法总结 求幂函数的导数，解题的关键是合理转化函数的关系式为可以直接运用公式的基本函数的模式，如 y 1y x 1， y 5等，这样，就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算错误 下列结论中不正确的是 ( ) A 若 y y |x 2
8、32 B 若 y 1x，则 y |x 222C 若 y 1x，则 y |x 152D 若 y x 5，则 y |x 1 5 答案 B 解析 y 1x ( x12 ) 12 x32 ， y | x 2 12 ( 2 )32 28. B 不对 . 幂函数导数的应用已知曲线 y 5 x ，求： ( 1 ) 曲线上与直线 y 2 x 4 平行的切线的方程； ( 2 ) 求过点 P ( 0 , 5 ) 且与曲线相切的切线的方程 分析 首先求得曲线在切点处的导数，即切线的斜率，再根据条件确定斜率的值，最后利用点斜式方程写出切线方程 解析 ( 1 ) 设切点为 ( ，由 y 5 x ，得 y | x 2 因
9、为切线与 y 2 x 4 平行，所以52 2 ，所以 516，所以 54，则所求切线的方程为 y 254 2x 2516，即 16 x 8 y 25 0. ( 2 ) 因为点 P ( 0 , 5 ) 不在曲线 y 5 x 上，故需设切点坐标为M ( t ， u ) ，则切线的斜率 为52 t. 又因为切线斜率为u 5t，所以52 tu 5t5 t 5t，所以 2 t 2 t t ，得 t 4 或 t 0( 舍去 ) 所以切点 M 为 ( 4 , 1 0 ) ，斜率为54，所以所求切线的方程为 y 10 54( x 4) ，即 5 x 4 y 20 0. 方法总结 根据导数的几何意义求曲线的切线
10、方程是本节的典型问题，一类为点在曲线上，另一类为点不在曲线 上，注意不同类型问题的不同思路与解法的掌握 求曲线 y 1x 与曲线 y x 的交点坐标，并分别求在该交点处的两曲线的切线方程 解析 由y 1 x1x x x 1 ，代入曲线方程，有 y 1. 两曲线的交点坐标为 ( 1 , 1 ) 由函数 y 1x得 y 1x ( x 1) 曲线 y 1 1 , 1 ) 处的切线斜率为 y |x 1 1. 曲线 y 1 1 , 1 ) 处的切线方程为 y 1 ( x 1) ， 即 x y 2 0. 又由函数 y x ，得 y ( x ) ( 12x 12， 曲线 y x 在 ( 1 , 1 ) 处的切线斜率为 y |x 112. 曲线 y x 在 ( 1 , 1 ) 处的切线方程为 y 1 12( x 1) ，即 x 2 y 1 0. y 1x与 y x 的交点为 ( 1 , 1 ) ，且在该交点处的切线方程分别为 x y 2 0 和 x 2 y 1 0. 函数 y f ( x ) 1f ( x ) 等于 ( ) B 12 12 错解 B 辨析 对于 ( 1公式记忆不清， (1x) ( x 12) 12x 12，没有在指数上减去 1. 正解 ( 1 x ) ( x 12 )
