高考数学(理)二轮专题练习 (3)推理与证明(含答案)

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1、最新海量高中、初中教学课件尽在金锄头文库第 3 讲推理与证明考情解读阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理,与函数、数列及不等式等综合命题1合情推理(1)归纳推理归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理的思维过程如下: 实 验 、观 察 概 括 、推 广 猜 测 一 般 性 结 论(2)类比推理类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理类比推理的思维过程如下: 观 察 、比 较 联 想 、类 推 猜 测 新 的 结 论2演绎

2、推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:大前提已知的一般原理;小前提所研究的特殊情况;结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理,从推理形式上看,归纳是由部分到整体、个别到一般的推理;类比是由特殊到特殊的推理;而演绎推理是由一般到特殊的推理从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下,得到的结论一定正确3直接证明(1)综合法用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:最新海量高中、初中教学课件尽在金锄头文库 P 1

3、2 n Q(2)分析法用 Q 表示要证明的结论,则分析法可用框图表示为: Q12 到 一 个 明 显 成 立 的 条 件4间接证明反证法的证明过程可以概括为“否定推理否定” ,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题 )的过程用反证法证明命题 “若 p,则 q”的过程可以用如图所示的框图表示 肯 定 条 件 结 论 q 导 致 逻 辑 矛 盾 “既 p,又 綈 q” 为 假 “若 p,则 q” 为 真5数学归纳法数学归纳法证明的步骤:(1)证明当 n 取第一个值 n0( *)时命题成立(2)假设 nk(kN *,且 kn 0)时命题成立,证明 nk1 时命

4、题也成立由(1)(2)可知,对任意 nn 0,且 nN *时,命题都成立热点一归纳推理例 1(1)有菱形纹的正六边形地面砖,按下图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A26 B31C32 D36(2)两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是()A48,49 B62,63C75,76 D84,85思维启迪(1)根据三个图案中的正六边形个数寻求规律; (2)靠窗口的座位号码能被 5 整除或最新海量高中、初中教学课件尽在金锄头文库者被 5 除余 1)B(2)1)有菱形纹的正六边形个数如下表:图

5、案 1 2 3 个数 6 11 16 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项,以 5 为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65(61) .(2)由已知图形中座位的排列顺序,可得:被 5 除余 1 的数和能被 5 整除的座位号临窗,由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析答案中的 4 组座位号,只有 D 符合条件思维升华归纳递推思想在解决问题时,从特殊情况入手,通过观察、分析、概括,猜想出一般性结论,然后予以证明,这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用其思维模式是“观察归纳猜想证明” ,解题的关键在

6、于正确的归纳猜想(1)四个小动物换座位,开始是鼠、猴、兔、猫分别坐 1、2、3、4 号位上( 如图),第一次前后排动物互换座位,第二次左右列动物互换座位,这样交替进行下去,那么第202 次互换座位后,小兔坐在第_号座位上1 鼠 2 猴3 兔 4 猫开始1 兔 2 猫3 鼠 4 猴第一次1 猫 2 兔3 猴 4 鼠第二次1 猴 2 鼠3 猫 4 兔最新海量高中、初中教学课件尽在金锄头文库第三次A1 B2C3 D4(2)已知 f(n)1 (nN *),经计算得 f(4)2,f (8) ,f (16)3,f (32) ,则有12 13 1n 52 72_答案(1)B(2) f(2n) (n2,nN

7、*)n 22解析(1)考虑小兔所坐的座位号,第一次坐在 1 号位上,第二次坐在 2 号位上,第三次坐在4 号位上,第四次坐在 3 号位上,第五次坐在 1 号位上,因此小兔的座位数更换次数以 4 为周期,因为 2025042,因此第 202 次互换后,小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同,因此小兔坐在 2 号位上,故选 B.(2)由题意得 f(22) ,f(2 3) ,f(2 4) ,42 52 62f(25) ,所以当 n2 时,有 f(2n) n 22故填 f(2n) (n2,nN *)n 22热点二类比推理例 2(1)在平面几何中有如下结论:若正三角形 内切圆面积为 接圆

8、面积为 正四面体 内切球体积为 接球4体积为 )已知双曲正弦函数 和双曲余弦函数 与我们学过的正弦函数和e x2 e 类比正弦函数和余弦函数的和角或差角公式,写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类似的正确结论_思维启迪(1)平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积; (2)可利用和角或差角公式猜想,然后验证答案(1) (2)ch(x y)1)平面几何中,圆的面积与圆的半径的平方成正比,而在空间几何中,球的体积与半最新海量高中、初中教学课件尽在金锄头文库径的立方成正比,所以 27(2) e x2 e y2 e x2 e (exy e xy e xy e xy e xy e xy e xy e x y

9、)14 (2exy 2e (xy ) ch(xy),故知 ch(xy)ch x 4 y e x y2或 sh(xy)ch x sh(xy)ch x 比推理是合情推理中的一类重要推理,强调的是两类事物之间的相似性,有共同要素是产生类比迁移的客观因素,类比可以由概念性质上的相似性引起,如等差数列与等比数列的类比,也可以由解题方法上的类似引起当然首先是在某些方面有一定的共性,才能有方法上的类比,例 2 即属于此类题型一般来说,高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上,如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等(1)若数列a n是等差数列,b n ,则数列b n也为

10、等差数列类 正项数列c n是等比数列,且d n也是等比数列,则 )Ad n d nc1d n 12nDd n )椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质,如对于椭圆有如下命题:椭圆 1(a b0)的不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 中点,则 B 是双曲线 1(a0,b0)的不平行于对称轴且不过原 为 中点,则 中教学课件尽在金锄头文库答案(1)D(2)1)由a n为等差数列,设公差为 d,则 a 1 d, n 12又正项数列c n为等比数列,设公比为 q,则 c 1 ,故选 n(2)设 A(x1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则有 A,B 代入双曲线 1 中得1, 1, ,

11、 ,x2y2 ,接证明和间接证明例 3已知数列a n满足:a 1 , ,a 0,13 73当 n3 时, (4n4n1) 0,13 513猜想当 n2 时,T 2n2,n2 时,4 n4n当 n2 时,4 216,4219,169,成立;假设当 nk( k2)时成立,即 4k4knk1 时,4 k1 44 k4(4k1)16k44k 54(k1)1,所以 nk1 时成立由得,当 n2 时,4 n4n1 成立综上,当 n1 时,T 2使用数学归纳法证明问题时,在归纳假设后,归纳假设就是证明 nk1 时的已知条件,把归纳假设当已知条件证明后续结论时,可以使用综合法、分析法、反证法已知 f(n)1

12、,g( n) ,nN *33 143 12 12)当 n1,2,3 时,试比较 f(n)与 g(n)的大小关系;(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并给出证明最新海量高中、初中教学课件尽在金锄头文库解(1)当 n1 时,f (1)1,g(1)1,所以 f(1)g(1),当 n2 时,f(2) ,g(2) ,所以 f(2)| 则 P 点的轨迹为椭圆B由 ,a n3n1,求出 2,S 3,猜想出数列的前 n 项和 圆 x2y 2r 2 的面积 想出椭圆 1 的面积 S上均不正确答案 2,S 3猜想出数列的前 n 项和 从特殊到一般的推理,所以 B 是归纳推理2观察下列各式:ab1,a 2b 23,a 3b 34,a 4b 47,a 5b 511,则b 10 等于()A28 B76C123 D199答案察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,其规律为从第三项起,每项等于其前相邻最新海量高中、初中教学课件尽在金锄头文库两项的和,所求值为数列中的第十项

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