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1、数学试卷 一、选择题 1. 已知 R是实数集， 2 1Mx x ， 1Ny yx，则 R NC M ( ) A.12（，） B.02， C. D.1 2， 2. 设i为虚数单位，复数 3-i z= i ，则z的共轭复数 z=( ) A.-1-3i B.13i C.1 3i D. 13i 3. 已知平面向量,a b ，1,2,25abab，则向量,a b 的夹角为 ( ) A. 6 B. 3 C. 4 D. 2 4. 下列命题中，真命题是( ) A. 2 ,2 x x Rx B. ,0 x xR e C. 若,ab cd ，则acbd D. 22 acbc是ab的充分不必要条件 5. 已知实数
2、,x y 满足 40 10 10 xy y x ，则 22 (1)zxy 的最大值是 ( ) A1 B9 C2 D11 6. 将函数 sin2 6 yx 图象向左平移 4 个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是( ) A. 12 x B. 12 x C. 6 x D. 3 x 7. 函数01 x yaaaa且的定义域和值域都是0,1，则 548 loglog 65 aa ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数 2 ,14 x fxaxef，则函数yfx的零点所在的区间是( ) A. 3, 2 B. 1,0 C. 0,1 D. 4,5 9. 若 n xx x) 1 (
3、6 的展开式中含有常数项，则n的最小值等于( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知函数 2 ( )2cos x f xxx，设 12 ,(0,)xx， 12 xx且 12 ()()f xf x，若 1 x、 0 x、 2 x成等差数列，则( ) A 0 ()0fx B 0 ()0fx C 0 ()0fx D 0 ()fx的符号不确定 二、填空题 11. 已知( )f x是定义在R上的奇函数 , 且当0 x时, ( )2 x f x, 则 4 (log9)f的值为 _ 12. 将函数sin(0)fxx的图象向右平移 4 个单位长度，所得图象关于点 3 (,0) 4 对称，则
4、的最小值是 _ 13. 已知等比数列 n a的前 6 项和 6 21S ，且 122 3 4, 2 aa a成等差数列，则 n a _. 14. 已知球的直径4PC，在球面上，45CPACPB，则棱锥PABC 的体积为 _. 15. 若定义在 R上的偶函数( )f x 满足(1)(1).fxf x且当1,0 x时， 2 ( )1,f xx如果 函数( )( )g xf xa x恰有 8 个零点，则实数a的值为 _ 三、解答题 16. 已知向量(1,cos 2 ),(sin2 ,3)ax bx r r ，函数( )f xa b r r （1）若 26 235 f ，求cos2的值； （2）若 0
5、, 2 x ，求函数f x的值域 17. 已知数列 n a的前n项和为 n S ，且 1 22 n n S（ * nN ）. （1）求数列 n a的通项公式； （2）令 nn bna ，求数列 n b的前n项和 n T 18. 已知( )f x 是定义在 R上的奇函数，当0 x 时，( )(2)e2 x f xx （1） 当0 x时，求( )f x 的解析式； （2）若0 2x，时，方程( )f xm有实数根，求实数m的取值范围 19. 已知数列的首项 1 2a，且 1 21N,2 nn aann （ 1）求证：数列1 n a为等比数列；并求数列 n a的通项公式； （ 2）求数列nnan 的
6、前n项和 n S 20. 设 2 ( ln1)e2 x f xxxaxaaa（ ） ， ,A B2AB （1）若0a，求 fx（ ） 的单调区间； （2）讨论f x（ ） 在区间 1 e （，）上的极值点个数； （3）是否存在a，使得f x（ ） 在区间 1 e （ ，）上与x轴相切 ?若存在，求出所有a的值若不 存在，说明理由 四、证明题 21. 如图，三角形ABC 和梯形 ACEF 所在的平面互相垂直，BF， ,AFAC AF2CE ， G 是线段BF上一点，2ABAFBC. （1）当 GBGF 时，求证：EGP平面 ABC ； （2）求二面角 EBFA的正弦值； （3）是否存在点G 满足
7、BF平面 AEG ？并说明理由 G E A F B C 参考答案 1. 答案： B 解析： 2. 答案： C 解析： 3. 答案： C 解析： 4. 答案： D 解析： 5. 答案： D 解析： 6. 答案： C 解析： 7. 答案： C 解析： 8. 答案： B 解析： 9. 答案： C 解析： 10. 答案： C 解析： 11. 答案： 1 3 解析： 12. 答案： 2 解析： 13. 答案： 1 2 3 n 解析： 14. 答案： 4 3 3 解析： 15. 答案：82 5 解析： 16. 答案：（ 1）向量(1,cos 2 ),(sin2 ,3)ax bx r r ， ( )sin
8、23 cos22sin(2) 3 f xa bxxx r r ， 246 ()=2sin()2sin, 23335 f 则 3 sin 5 ， 2 cos212sin 97 12 2525 ； （2）由 0, 2 x，则 2 2 , 333 x， 3 sin(2) ,1 32 x， 则( )3,2f x则 ( )fx 的值域为3,2 解析： 17. 答案：解： (1) 由 1 22 n n S， 当1n时， 2 1 222a， 当2n， 1 22 n n S， 则 1 1 22(22)2 nnn nnn aSS，当1n时， 1 2a满足上式，所以2 n n a (2) 由( ) ，2n nn
9、bnan 则 12 1 2222 n n TnL， 所以 231 212222 n n TnL， 则 21 2222 nn n TnL 12(1 2 ) 2 12 n n n 1 (1)22 n n 所以 1 (1)22 n n Tn 解析： 18. 答案： (1) 当0 x时，( )(2)e2 x f xx， 当0 x时，则0 x时，()(2)e2 x fxx， 由于 ( )f x 奇函数，则( )()(2)e2 x f xfxx， 故当0 x时，( )(2)e2 x f xx (2) 当0 x时，(0)0f 当 0 2x时，( )(2)e2 x f xx，( )(1)e x fxx，由(
10、)0fx，得1x， 当 01x时，( )0fx，当 12x时，( )0fx，则( )f x 在 (0,1) 上单调递减；在(1,2)上 单调递增则( )f x 在1x处取得极小值(1)2ef， 又(0)0f，(2)2f，故当 02x时，( )2e2f x， 综上，当0 2x，时，( )2e2f x， 所以实数m的取值范围是22e， 解析： 19. 答案：解： （1）由 1 21 nn aa，得 1 12(1) nn aa，故1 n a构成首项为 1 11a， 公比2q的等比数列所以 1 12 n n a，即 1 21 n n a （2） 11 22 nn n nannnnn 所以， 0121
11、1 22 23 22 n n SnL， 1231 21 22 23 2(1) 22 nn n SnnL， - ，得： 0121 22222 nn n SnL 12 2 12 n n n212 nn n (1)21 n n 解析： 20. 答案：解： （1）当0a时：( ln1)e (0) x f xxxx（ ）， 故 ( )(lnln1)eln(1)e xx fxxxxx x 当1x时：( )0fx，当1x时：( )0fx，当1x时：( )0fx 故( )f x 的减区间为：0,1 ，增区间为1, （2） 2 ( )(lnln)e x fxxxxaxa 令 2 ( )lnlng xxxxaxa
12、 ，故 1 ( )ln1g xxa x , 2 11 ( )gx x x , 显然 min ( )(1)2g xga ，又当1x时：( )0gx当1x时：( )0gx 故 min ( )(1)2g xga ，Q2a， min ( )( )20g xg xa 故( )g x 在区间 1 (,) e 上单调递增， 注意到：当x时，( )g x，故( )g x 在 1 (,) e 上的零点个数由 11 ( )(1)(1) ee gaa 的符号决定 当 1 ( )0 e g，即： 1 21a e 或1a时：( )g x 在区间 1 (,) e 上无零点，即( )f x 无极值 点 当 1 ( )0 e
13、 g，即： 1 11 e a时：( )g x 在区间 1 (,) e 上有唯一零点，即( )f x 有唯一极值 点 综上：当 1 21 e a或1a时：( )f x 在 1 (,) e 上无极值点 当 1 11 e a时：( )f x 在 1 (,) e 上有唯一极值点 （3）假设存在a，使( )f x 在区间 1 (,) e 上与x轴相切，则( )f x 必与x轴相切于极值点处 由（ 2）可知： 1 11 e a不妨设极值点为 0 x ，则有： 2 ( )e(1) t h ttt ( ) 同时成立 联立得： ln10 0 xa，即 (1) e 0 a x代入 ( )可得 (1)2 e(1)0
14、 a aa 令 1 (1),(2, ) e tat， 2 ( )e(1) t h ttt 则( )e23 t h tt，( )e2 t h t，当 1 ( 2,) e t时 1 e 2 13 ( )e10 e e h t 11 e2 eeQ（2） 故( )h t 在 1 ( 2, ) e t上单调递减又 2 ( 2)e10h， 1 e 12 ( )e30 ee h 故( )h t 在 1 ( 2, ) e t上存在唯一零点 0 t 即当 0 ( 2,)tt时( )0h t，( )h t 单调递增当 0 1 (, ) e tt时( )0h t，( )h t 单调递减 因为 2 ( 2)e10h，
15、 1 e 2 113 ( )e10 ee e h 故( )h t 在 0 ( 2,)tt上无零点，在 0 1 (, ) e tt上有唯一零点 由观察易得(0)0h，故10a，即：1a 综上可得：存在唯一的1a使得( )f x 在区间 1 (,) e 上与轴相切 解析： 21. 答案：（ 1）取AB中点D，连接,GD CD，又 GBGF ，所以AF2GD . 因为AF2CE ，所以 GDCE , 四边形 GDCE 是平行四边形， 所以CDEGP, 因为 EG平面 ABC ， CD平面 ABC 所以EG P平面 ABC . （2）因为平面 ABC 平面 ACEF ，平面 ABC平面 ACEFAC ， 且 AF AC ，所以AF平面 ABC ，所以 AFAB， AFBC 因为 BCAB，所以 BC平面ABF. 如图，以A为原点，建立空间直角坐标系Axyz . 则 (0,2,0),(2,0,0)(2,2,0)(2,2,1)FBCE ， (0, 2,0)BC u uu r 是平面ABF的一个法向量 . 1ax 设平面BEF的法向量, ,nx y z ，则 0 0 n BE n BF uuu r uuu r，即 20 220 yz xz 令1y，则2,2zx，所以( 2,1, 2)n, 所以 1 cos, 3 n BC n BC n BC uuu r uu u
