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1、数学试卷 一、选择题 1. 已知集合 2 560 ,2|1| x Ax xxBx, 则图中阴影部分表示的集合是( ) A.|23xx B.|10 xx C.6|0 xx D.|1x x 2. 下列关于命题的说法错误的是( ) A.命题“若 2 320 xx, 则2x”的逆否命题为“若2x, 则 2 320 xx” B.“2a”是“函数( )log a f xx在区间0,上为增函数”的充分不必要条件 C.命题“xR, 使得 2 10 xx ”的否定是: “xR均有 2 10 xx ” D.“若 0 x为yfx的极值点 , 则 0 0fx”的逆命题为真命题 3. 已知函数 32 36fxxxax,
2、 若2x是fx的极值点 , 则a等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4. 已知 3 20fxaxbxab, 若2018fk, 则2018f ( ) A.k B.k C.4k D.2k 5. 在数列 na 中, 1 1a,数列 na 是以3为公比的等比数列, 则 32019 log a等于 ( ) A.2017 B.2018 C.2019 D.2020 6. 已知等差数列 n a的前n项和为 n S,a1 S0 816 , 当 n S取最大值时n的值为 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 7. 如图是某简单组合体的三视图, 则该组合体的体积为( ) A. 36 32 B.36 3
3、2 C.108 3 D. 10832 8. 为得到函数cos 2 3 yx 的图象 , 只需将函数sin 2yx的图象 ( ) A.向右平移 5 12 个长度单位 B.向左平移 5 12 个长度单位 C.向右平移 5 6 个长度单位 D.向左平移 5 6 个长度单位 9. 已知, ,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边 , 且sinsinsinbcBCacA, 则 角B的大小为 ( ) A.30 o B.45 o C.60 o D.120 o 10. 已知函数fx是定义在 R上的偶函数 , 且对任意的,2xR fxfx , 当 2 01,xfxx, 若直线yxa与函数fx的图象在0
4、,2内恰有两个不同的公共点, 则实 数a的值是 ( ) A.0 B.0或 1 2 C. 1 4 或 1 2 D.0或 1 4 11. 设偶函数fx在0,上为增函数 , 且10f, 则不等式 0 fxfx x 的解集为 ( ) A.1,01, B., 10,1 C., 11, D.1,00,1 12. 已知fx为偶函数 , 对任意,2xR fxfx恒成立 , 且当01x时 , 2 22fxx. 设函数 3 logg xfxx, 则g x的零点的个数为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 二、填空题 13. 设变量, x y满足约束条件 10 0 240 xy xy xy , 则2zxy的最大值
5、为 _. 14. 已知 1 sin() 34 , 则 4 cos(2 ) 3 _. 15. 已知, ,a b c分别是ABC的三个内角,A B C所对的边 , 若sincoscAaC, 则 3 3sincos() 4 AB的取值范围是 _. 16. 偶函数fx定义域为,00, 22 , 其导函数是fx. 当0 2 x时, 有 cossin0fxxfxx, 则关于x的不等式2cos 4 fxfx 的解集为 _. 三、解答题 17. 设 n S为数列 n a的前n项和 , 已知 111 0,2, nn aaaSSnN. 1. 求 12 ,a a; 2. 求数列 n a的通项公式 ; 3. 求数列
6、n na的前n项和 . 18.2018 年为我国改革开放40 周年 , 某事业单位共有职工600 人, 其年龄与人数分布表如下: 年龄段 22,3535,4545,5555,59 人数( 单位: 人) 18018016080 约定 : 此单位 45 岁 -59 岁为中年人 , 其余为青年人,现按照分层抽样抽取30 人作为全市庆祝晚会的 观众 . 1. 抽出的青年观众与中年观众分别为多少人? 2. 若所抽取出的青年观众与中年观众中分别有12 人和 5 人不热衷关心民生大事, 其余人热衷关心 民生大事 .完成下列22 列联表 , 并回答能否有90% 的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关? 热衷关
7、心民生大 事 不热衷关心民生 大事 总计 青年12 中年5 总计30 3. 若从热衷关心民生大事的青年观众( 其中 1 人擅长歌舞 ,3 人擅长乐器 ) 中, 随机抽取2 人上台表演 节目 , 则抽出的2 人都能胜任才艺表演的概率是多少? 附: 2 0 P Kk 0.1000.0500.0100.001 0 k 2.7063.8416.63510.828 2 2 , n adbc Knabcd abcdacbd 19. 如图 , 在四棱锥PABCD中,PA平面 ABCD,2,7,3,2 3BCCDPAAC,BD是线段AC的中垂线 ,BDACO,G 为线段PC上的点 . 1. 证明 : 平面BD
8、G平面PAC; 2. 若G为PC的中点 ,求四面体GBCD的体积 . 20. 设椭圆 22 22 :10 xy Mab ab 的离心率与双曲线 22 1xy的离心率互为倒数, 且椭圆的 长轴长为 4. 1. 求椭圆M的方程 ; 2. 若直线2yxm交椭圆M于,A B两点 , 1,2P为椭圆M上一点 , 求PAB面积的最大 值. 21. 设函数 21 2 2 x fxxeaxax. 1. 讨论fx的单调性 ; 2. 设1a, 当0 x时,2fxkx, 求k的取值范围 22. 选修 4-4: 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中, 以O为极点 ,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l的极坐标方程
9、为 4 R, 曲线C的参数方程为 cos sin x y (为参数 ) 1. 写出直线l与曲线C的直角坐标方程; 2. 过点 ,3Ma且平行于直线l的直线与曲线C交于,A B两点 , 若11MAMB uuu ruuu r , 求a的值 . 参考答案 1. 答案： C 解析： 2. 答案： D 解析： 3. 答案： A 解析： 4. 答案： C 解析： 5. 答案： B 解析： 6. 答案： B 解析： 7. 答案： B 解析：试题分析: 由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的。圆椎底 面半径为6, 椎体底面边长为12, 高为6 3. 1111 366 31266 336
10、 32 3232 V故选 B. 考点 : 本题考查了三视图的运用 点评 : 由三视图还原空间几何体以及掌握空间几何体的体积和表面积公式是解决此类问题的关键 8. 答案： B 解析：试题分析: 利用函数sinyAwx的图象变换及诱导公式求解 因为 5 sin2sin2cos 2 12323 xxx 所以将函数sin 2yx的图像向左平移 5 12 个长度单位得到函数cos 2 3 yx 的图像 sinyAwx的图象变换及诱导公式。 点评 : 解决此类问题的关键是深刻理解函数sinyAwx的图象变换的原理,要知道每一次变换是 对x说话 , 同时要有一定的角的变换能力, 难度一般。 9. 答案： A
11、 解析： 10. 答案： D 解析： 11. 答案： A 解析： 12. 答案： C 解析： 13. 答案： 3 2 解析： 14. 答案： 7 8 解析： 15. 答案： 62 1, 2 解析： 16. 答案：,00, 44 解析： 17. 答案： 1. 令1n, 得 2 1112aaa, 因为10a, 所以11a, 令2n, 得 222 211aSa, 解得 2 2a 2. 当1n时 , 1 1a; 当2n时, 由 11 21,21 nnnn aSaS, 两式相减 , 整理得 1 2 nn aa, 于是数列 n a是首项为1, 公比为2的等比数列 , 所以 1 2 n na 3. 由 2
12、知 1 2 n n nan, 记其前n项和为 n T, 于是 21 122322 n n Tn 23 21 222322 n n Tn - 得 21 12222212 nnnn n Tnn 所以1(1) 2 n n Tn 解析： 18. 答案 1. 抽出的青年观众为18 人, 中年观众12 人; 2.22列联表如下 : 热衷关心民生大 事 不热衷关心民生 大事 总计 青年6 12 18 中年7 5 12 总计13 17 30 2 2 30 65 12 7405 1.8332.706 13 17 18 12221 K 没有90%的把握认为年龄层与热衷关心民生大事有关 3. 热衷关心民生大事的青年
13、观众有6人, 记能胜任才艺表演的四人为 1234 ,AAAA,其余两人记为 12 ,B B,则从中选两人, 一共有如下15种情况 : 12131423243411122122 ,AAA AA AAAAAAAA BA BABAB, 3132414212 ,A BA BA BA BB B , 抽出的2人都能胜任才艺表演的有6种情况 , 所以抽出的 2人都能胜任才艺表演的概率 62 155 P 解析 19. 答案： 1. BD是线段AC的中垂线 , O是AC的中点 ,BDAC. PA平面ABCD, PABD, BD平面PAC, 又BD平面BDG, 平面BDG平面PAC 2. 连接GO, G为PC的中
14、点 ,O是AC的中点 , GOPAP, GO平面BCD, 且 13 22 GOPA, 2 3,3ACCO, 由题意知BDAC, 2222 3BDBODOBCCOCDCO, 113 3 33 222 BCD SBDCO 解析： 20. 答案： 1. 由题可知 , 双曲线的离心率为2, 则椭圆的离心率 2 2 c e a , 由 222 24 2 2 a c a bac 得2,2,2acb, 故椭圆 M的方程为 22 1 42 yx 2. 联立方程 22 2 1 24 yxm xy 得 22 42 240 xmxm, 由 2 2 2 21640mm, 得2 22 2m. 且 12 2 12 2 2
15、 4 4 xxm m x x 所以 222 121212 1 123()434 2 ABxxxxx xmm 2 34 2 m 又P到直线AB的距离为 3 m d, 所以 22 2 131 44 22222 3 FAB m mm SAB dm 22 22 118 82 22 22 2 mm mm. 当且仅当22 2,22m 时取等号 , 所以2 PAB max S 解析： 21. 答案： 1. 由题意得 ,1 x xR fxxea, 当0a时, 当,1 ,0 xfx; 当1,x时 ,0fx; fx在,1单调递减 , 在1,单调递增 , 当0a时, 令0fx得1? ,lnxxa, 当ae时 ,1
16、,0 xfx; 当 1,lnxa时,0fx; 当ln,xa时 , 0fx; 所以fx在 ,1 , ln,a单调递增 , 在1,lna单调递减 ; 当ae时,0fx, 所以fx在R单调递增 , 当0ea时,ln,0 xafx; 当 ln,1xa时 ,0fx; 当1,x时,0fx; fx在,ln, 1,a单调递增 ,在 ln,1a单调递减 2. 令 21 222 2 x g xfxkxxexxkx, 有11 x gxxexk, 令11 x h xxexk, 有1 x hxxe, 当0 x时,10, x h xxeh x单调递增 . 02h xhk, 即2gxk. 当20k, 即2k时,0,gxg x在0,单调递增 ,00g xg, 不等式 2fxkx恒成立 , 当20,2
